Principio de Huygens-Fresnel - Huygens–Fresnel principle

Refracción de ondas a la manera de Huygens

Difracción de ondas a la manera de Huygens y Fresnel

El principio de Huygens-Fresnel (llamado así por el físico holandés Christiaan Huygens y el físico francés Augustin-Jean Fresnel ) es un método de análisis aplicado a problemas de propagación de ondas tanto en el límite del campo lejano como en la difracción y reflexión del campo cercano . Afirma que cada punto en un frente de onda es en sí mismo la fuente de ondas esféricas, y las ondas secundarias que emanan de diferentes puntos interfieren mutuamente. La suma de estas ondas esféricas forma el frente de onda.

Historia

Difracción de una onda plana cuando el ancho de la rendija es igual a la longitud de onda

En 1678, Huygens propuso que cada punto al que llega una perturbación luminosa se convierte en una fuente de onda esférica; la suma de estas ondas secundarias determina la forma de la onda en cualquier momento posterior. Supuso que las ondas secundarias viajaban solo en la dirección "hacia adelante" y no se explica en la teoría por qué este es el caso. Pudo proporcionar una explicación cualitativa de la propagación de ondas lineales y esféricas, y derivar las leyes de reflexión y refracción utilizando este principio, pero no pudo explicar las desviaciones de la propagación rectilínea que ocurren cuando la luz encuentra bordes, aberturas y pantallas, comúnmente conocidas. como efectos de difracción . La resolución de este error fue finalmente explicada por David AB Miller en 1991. La resolución es que la fuente es un dipolo (no el monopolo asumido por Huygens), que cancela en la dirección reflejada.

En 1818, Fresnel demostró que el principio de Huygens, junto con su propio principio de interferencia, podían explicar tanto la propagación rectilínea de la luz como los efectos de difracción. Para llegar a un acuerdo con los resultados experimentales, tuvo que incluir suposiciones arbitrarias adicionales sobre la fase y amplitud de las ondas secundarias, y también un factor de oblicuidad. Estas suposiciones no tienen una base física obvia, pero llevaron a predicciones que coincidieron con muchas observaciones experimentales, incluido el lugar de Poisson .

Poisson fue miembro de la Academia Francesa, que revisó el trabajo de Fresnel. Usó la teoría de Fresnel para predecir que debería aparecer un punto brillante en el centro de la sombra de un disco pequeño, y dedujo de esto que la teoría era incorrecta. Sin embargo, Arago, otro miembro del comité, realizó el experimento y demostró que la predicción era correcta. (Lisle había observado esto cincuenta años antes). Esta fue una de las investigaciones que llevaron a la victoria de la teoría ondulatoria de la luz sobre la teoría corpuscular predominante en ese momento .

En teoría e ingeniería de antenas , la reformulación del principio de Huygens-Fresnel para fuentes de corriente radiante se conoce como principio de equivalencia de superficie .

El principio de Huygens como modelo microscópico

El principio de Huygens-Fresnel proporciona una base razonable para comprender y predecir la propagación de onda clásica de la luz. Sin embargo, existen limitaciones al principio, a saber, las mismas aproximaciones realizadas para derivar la fórmula de difracción de Kirchhoff y las aproximaciones del campo cercano debido a Fresnel. Estos se pueden resumir en el hecho de que la longitud de onda de la luz es mucho más pequeña que las dimensiones de cualquier componente óptico encontrado.

La fórmula de difracción de Kirchhoff proporciona una base matemática rigurosa para la difracción, basada en la ecuación de onda. Las suposiciones arbitrarias hechas por Fresnel para llegar a la ecuación de Huygens-Fresnel surgen automáticamente de las matemáticas en esta derivación.

Un ejemplo simple del funcionamiento del principio se puede ver cuando una puerta abierta conecta dos habitaciones y se produce un sonido en un rincón remoto de una de ellas. Una persona en la otra habitación escuchará el sonido como si se originara en la entrada. En lo que respecta a la segunda habitación, el aire vibrante en la entrada es la fuente del sonido.

Interpretaciones de la física moderna

No todos los expertos están de acuerdo en que el principio de Huygens es una representación microscópica precisa de la realidad. Por ejemplo, Melvin Schwartz argumentó que "el principio de Huygens en realidad da la respuesta correcta pero por las razones equivocadas".

Esto se puede reflejar en los siguientes hechos:

• La mecánica microscópica para crear fotones y de emisión, en general, es esencialmente la aceleración de electrones.
• El análisis original de Huygens incluyó solo amplitudes. No incluye fases, ni ondas que se propagan a diferentes velocidades (debido a la difracción dentro de los medios continuos) y por lo tanto no tiene en cuenta las interferencias.
• El análisis de Huygens tampoco incluye la polarización de la luz que implica un potencial vectorial, donde en cambio las ondas sonoras pueden describirse con un potencial escalar y no existe una traducción única y natural entre los dos.
• En la descripción de Huygens , no hay explicación de por qué elegimos solo la onda hacia adelante ( onda retardada o envolvente hacia adelante de los frentes de onda) versus la onda avanzada que se propaga hacia atrás (envolvente hacia atrás).
• En la aproximación de Fresnel existe un concepto de comportamiento no local debido a la suma de ondas esféricas con diferentes fases que proviene de los diferentes puntos del frente de onda, y las teorías no locales son objeto de muchos debates (por ejemplo, no ser covariante de Lorentz ) y de investigación activa.
• La aproximación de Fresnel se puede interpretar de una manera probabilística cuántica, pero no está claro en qué medida esta suma de estados (es decir, ondas en el frente de onda) es una lista completa de estados que son significativos físicamente o representa más una aproximación sobre una base genérica como en el método de combinación lineal de orbitales atómicos (LCAO).

El principio de Huygens es esencialmente compatible con la teoría cuántica de campos en la aproximación de campo lejano , considerando campos efectivos en el centro de dispersión, considerando pequeñas perturbaciones , y en el mismo sentido que la óptica cuántica es compatible con la óptica clásica , otras interpretaciones son tema de debate. e investigación activa.

El modelo de Feynman en el que cada punto en un frente de onda imaginario tan grande como la habitación está generando una ondícula, también se interpretará en estas aproximaciones y en un contexto probabilístico, en este contexto, los puntos remotos solo pueden contribuir mínimamente a la amplitud de probabilidad general.

La teoría cuántica de campos no incluye ningún modelo microscópico para la creación de fotones y el concepto de fotón único también se pone bajo escrutinio a nivel teórico.

Expresión matemática del principio

Disposición geométrica para el cálculo de Fresnel

Considere el caso de una fuente puntual ubicada en un punto P ₀ , que vibra a una frecuencia f . La perturbación puede describirse mediante una variable compleja U ₀ conocida como amplitud compleja . Produce una onda esférica con longitud de onda λ, número de onda k = 2 π / λ . Dentro de una constante de proporcionalidad, la amplitud compleja de la onda primaria en el punto Q ubicado a una distancia r ₀ de P ₀ es:

${\ Displaystyle U (r_ {0}) \ propto {\ frac {U_ {0} e ^ {ikr_ {0}}} {r_ {0}}}.}$

Tenga en cuenta que la magnitud disminuye en proporción inversa a la distancia recorrida, y la fase cambia a medida que k multiplica la distancia recorrida.

Usando la teoría de Huygens y el principio de superposición de ondas, la amplitud compleja en otro punto P se encuentra sumando las contribuciones de cada punto en la esfera de radio r ₀ . Para estar de acuerdo con los resultados experimentales, Fresnel encontró que las contribuciones individuales de las ondas secundarias en la esfera tenían que multiplicarse por una constante, - i / λ, y por un factor de inclinación adicional, K (χ). El primer supuesto significa que las ondas secundarias oscilan en un cuarto de ciclo fuera de fase con respecto a la onda primaria, y que la magnitud de las ondas secundarias está en una proporción de 1: λ a la onda primaria. También asumió que K (χ) tenía un valor máximo cuando χ = 0, y era igual a cero cuando χ = π / 2, donde χ es el ángulo entre la normal del frente de onda primario y la normal del frente de onda secundario. . La amplitud compleja en P , debido a la contribución de ondas secundarias, viene dada por:

${\ Displaystyle U (P) = - {\ frac {i} {\ lambda}} U (r_ {0}) \ int _ {S} {\ frac {e ^ {iks}} {s}} K (\ chi) \, dS}$

donde S se describe la superficie de la esfera, y es es la distancia entre Q y P .

Fresnel utilizó un método de construcción de zonas para encontrar valores aproximados de K para las diferentes zonas, lo que le permitió hacer predicciones que estaban de acuerdo con los resultados experimentales. El teorema integral de Kirchhoff incluye la idea básica del principio de Huygens-Fresnel. Kirchhoff demostró que, en muchos casos, el teorema se puede aproximar a una forma más simple que es equivalente a la formación de la formulación de Fresnel.

Para una iluminación de apertura que consiste en una sola onda esférica en expansión, si el radio de la curvatura de la onda es lo suficientemente grande, Kirchhoff dio la siguiente expresión para K (χ):

${\ Displaystyle ~ K (\ chi) = {\ frac {1} {2}} (1+ \ cos \ chi)}$

K tiene un valor máximo en χ = 0 como en el principio de Huygens-Fresnel; sin embargo, K no es igual a cero en χ = π / 2, sino en χ = π.

La derivación anterior de K (χ) asumió que la apertura de difracción está iluminada por una sola onda esférica con un radio de curvatura suficientemente grande. Sin embargo, el principio es válido para iluminaciones más generales. Una iluminación arbitraria se puede descomponer en una colección de fuentes puntuales, y se puede invocar la linealidad de la ecuación de onda para aplicar el principio a cada fuente puntual individualmente. K (χ) se puede expresar generalmente como:

${\ Displaystyle ~ K (\ chi) = \ cos \ chi}$

En este caso, K satisface las condiciones indicadas anteriormente (valor máximo en χ = 0 y cero en χ = π / 2).

Principio generalizado de Huygens

Muchos libros y referencias, por ejemplo, y se refieren al Principio de Huygens generalizado como el referido por Feynman en esta publicación.

Feynman define el principio generalizado de la siguiente manera:

"En realidad, el principio de Huygens no es correcto en óptica. Es reemplazado por la modificación de Kirchoff que requiere que tanto la amplitud como su derivada se conozcan en la superficie adyacente. Esto es una consecuencia del hecho de que la ecuación de onda en óptica es de segundo orden en el tiempo. La ecuación de onda de la mecánica cuántica es de primer orden en el tiempo; por lo tanto, el principio de Huygens es correcto para las ondas de materia, la acción reemplaza al tiempo ".

Esto aclara el hecho de que en este contexto el principio generalizado refleja la linealidad de la mecánica cuántica y el hecho de que las ecuaciones de la mecánica cuántica son de primer orden en el tiempo. Finalmente, solo en este caso se aplica completamente el principio de superposición, es decir, la función de onda en un punto P se puede expandir como una superposición de ondas en una superficie fronteriza que encierra P. Las funciones de onda se pueden interpretar en el sentido usual de la mecánica cuántica como densidades de probabilidad donde el se aplica el formalismo de las funciones y propagadores de Green . Lo que es digno de mención es que este principio generalizado es aplicable a las "ondas de materia" y ya no a las ondas de luz. El factor de fase ahora se aclara según lo dado por la acción y no hay más confusión por qué las fases de las ondas son diferentes de la de la onda original y están modificadas por los parámetros de Fresnel adicionales.

Según Greiner, el principio generalizado se puede expresar en la forma: ${\ Displaystyle t '> t}$

${\ Displaystyle \ psi '(\ mathbf {x}', t ') = i \ int {} {} d ^ {3} xG (\ mathbf {x}', t '; \ mathbf {x}, t) \ psi (\ mathbf {x}, t)}$

Donde G es la función de Green habitual que propaga en el tiempo la función de onda . Esta descripción se asemeja y generaliza la fórmula inicial de Fresnel del modelo clásico. ${\ Displaystyle \ psi}$

La teoría de Huygens y la función de onda de fotones moderna

La teoría de Huygens sirvió como explicación fundamental de la naturaleza ondulatoria de la interferencia de la luz y fue desarrollada por Fresnel y Young, pero no resolvió por completo todas las observaciones, como el experimento de doble rendija de baja intensidad realizado por primera vez por GI Taylor en 1909. no fue hasta principios y mediados del siglo XX que se discutieron la teoría cuántica, en particular las primeras discusiones en la Conferencia Solvay de Bruselas de 1927 , donde Louis de Broglie propuso su hipótesis de De Broglie de que el fotón está guiado por una función de onda. La función de onda presenta una explicación muy diferente de las bandas claras y oscuras observadas en un experimento de doble rendija. En esta concepción, el fotón sigue un camino que es una elección aleatoria de uno de los muchos caminos posibles. Estos posibles caminos forman el patrón: en áreas oscuras, no aterrizan fotones, y en áreas brillantes, muchos fotones aterrizan. El conjunto de posibles trayectorias de fotones está determinado por el entorno: el punto de origen del fotón (átomo), la rendija y la pantalla. La función de onda es una solución a esta geometría. El enfoque de la función de onda fue respaldado por experimentos adicionales de doble rendija en Italia y Japón en las décadas de 1970 y 1980 con electrones.

Principio de Huygens y teoría cuántica de campos

El principio de Huygens puede verse como una consecuencia de la homogeneidad del espacio: el espacio es uniforme en todos los lugares. Cualquier perturbación creada en una región suficientemente pequeña de espacio homogéneo (o en un medio homogéneo) se propaga desde esa región en todas las direcciones geodésicas. Las ondas producidas por esta perturbación, a su vez, crean perturbaciones en otras regiones y así sucesivamente. La superposición de todas las ondas da como resultado el patrón observado de propagación de ondas.

La homogeneidad del espacio es fundamental para la teoría cuántica de campos (QFT), donde la función de onda de cualquier objeto se propaga a lo largo de todos los caminos libres disponibles. Cuando se integra a lo largo de todos los caminos posibles , con un factor de fase proporcional a la acción , la interferencia de las funciones de onda predice correctamente los fenómenos observables. Cada punto del frente de onda actúa como fuente de ondas secundarias que se esparcen en el cono de luz con la misma velocidad que la onda. El nuevo frente de onda se encuentra construyendo la superficie tangente a las ondas secundarias.

En otras dimensiones espaciales

En 1900, Jacques Hadamard observó que el principio de Huygens se rompía cuando el número de dimensiones espaciales es par. A partir de esto, desarrolló un conjunto de conjeturas que siguen siendo un tema activo de investigación. En particular, se ha descubierto que el principio de Huygens se aplica a una gran clase de espacios homogéneos derivados del grupo Coxeter (así, por ejemplo, los grupos de Weyl de álgebras de Lie simples ).

La declaración tradicional del principio de Huygens para el D'Alembertian da lugar a la jerarquía de KdV ; análogamente, el operador de Dirac da lugar a la jerarquía AKNS .

Ver también

Referencias

Otras lecturas

• Stratton, Julius Adams: Teoría electromagnética , McGraw-Hill, 1941. (Reeditado por Wiley - IEEE Press, ISBN  978-0-470-13153-4 ).
• BB Baker y ET Copson, La teoría matemática del principio de Huygens , Oxford, 1939, 1950; AMS Chelsea, 1987.