Fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon - Whittaker–Shannon interpolation formula

La fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon o interpolación sinc es un método para construir una función de banda limitada en tiempo continuo a partir de una secuencia de números reales. La fórmula se remonta a los trabajos de E. Borel en 1898 y ET Whittaker en 1915, y fue citada de trabajos de JM Whittaker en 1935, y en la formulación del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon por Claude Shannon en 1949. Es también comúnmente llamada fórmula de interpolación de Shannon y fórmula de interpolación de Whittaker . ET Whittaker, que lo publicó en 1915, lo llamó la serie Cardinal .

Definición

La figura de la izquierda muestra una función (en gris / negro) que se muestrea y reconstruye (en oro) con densidades de muestra en constante aumento, mientras que la figura de la derecha muestra el espectro de frecuencia de la función gris / negro, que no cambia. . La frecuencia más alta del espectro es la mitad del ancho de todo el espectro. El ancho del sombreado rosa que aumenta constantemente es igual a la frecuencia de muestreo. Cuando abarca todo el espectro de frecuencias, es el doble de grande que la frecuencia más alta, y es entonces cuando la forma de onda reconstruida coincide con la muestreada.

Dada una secuencia de números reales, x [ n ], la función continua

${\ Displaystyle x (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \, {\ rm {sinc}} \ left ({\ frac {t-nT} {T} }\derecho)\,}$

(donde "sinc" denota la función sinc normalizada ) tiene una transformada de Fourier , X ( f ), cuyos valores distintos de cero se limitan a la región | f | ≤ 1 / (2 T ). Cuando el parámetro T tiene unidades de segundos, el límite de banda , 1 / (2 T ), tiene unidades de ciclos / seg ( hercios ). Cuando la secuencia x [ n ] representa muestras de tiempo, en el intervalo T , de una función continua, la cantidad f _s = 1 / T se conoce como frecuencia de muestreo , y f _s / 2 es la frecuencia de Nyquist correspondiente . Cuando la función muestreada tiene un límite de banda, B , menor que la frecuencia de Nyquist, x ( t ) es una reconstrucción perfecta de la función original. (Consulte el teorema de muestreo ). De lo contrario, los componentes de frecuencia por encima de la frecuencia de Nyquist se "pliegan" en la región sub-Nyquist de X ( f ), lo que da como resultado una distorsión. (Ver Aliasing ).

Formulación equivalente: convolución / filtro de paso bajo

La fórmula de interpolación se deriva del artículo del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , que señala que también se puede expresar como la convolución de un tren de impulsos infinito con una función sinc :

${\ Displaystyle x (t) = \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot \ underbrace {x (nT)} _ {x [n]} \ cdot \ delta \ left (t-nT \ right) \ right) \ circledast \ left ({\ frac {1} {T}} {\ rm {sinc}} \ left ({\ frac {t} {T}} \ right) \ right ).}$

Esto es equivalente a filtrar el tren de impulsos con un filtro de paso bajo ideal ( pared de ladrillo ) con una ganancia de 1 (o 0 dB) en la banda de paso. Si la frecuencia de muestreo es suficientemente alta, esto significa que la imagen de banda base (la señal original antes del muestreo) pasa sin cambios y las otras imágenes son eliminadas por el filtro de pared de ladrillo.

Convergencia

La fórmula de interpolación siempre converge absoluta y localmente de manera uniforme siempre que

${\ Displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}, \, n \ neq 0} \ left | {\ frac {x [n]} {n}} \ right | <\ infty.}$

Por la desigualdad de Hölder esto se satisface si la secuencia pertenece a cualquiera de los espacios con 1 ≤  p  <∞, es decir ${\ Displaystyle \ scriptstyle (x [n]) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ ell ^ {p} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {C})}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ left | x [n] \ right | ^ {p} <\ infty.}$

Esta condición es suficiente, pero no necesaria. Por ejemplo, la suma convergerá generalmente si la secuencia de la muestra proviene del muestreo de casi cualquier proceso estacionario , en cuyo caso la secuencia de la muestra no es sumable al cuadrado y no está en ningún espacio. ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ ell ^ {p} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {C})}$

Procesos aleatorios estacionarios

Si x [ n ] es una secuencia infinita de muestras de una función de ejemplo de un amplio sentido proceso estacionario , entonces no es un miembro de cualquier o L ^p espacio , con probabilidad 1; es decir, la suma infinita de muestras elevadas a una potencia p no tiene un valor esperado finito. No obstante, la fórmula de interpolación converge con la probabilidad 1. La convergencia se puede mostrar fácilmente calculando las varianzas de los términos truncados de la suma y mostrando que la varianza puede hacerse arbitrariamente pequeña eligiendo un número suficiente de términos. Si la media del proceso es distinta de cero, entonces los pares de términos deben considerarse para mostrar también que el valor esperado de los términos truncados converge a cero. ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ ell ^ {p}}$

Dado que un proceso aleatorio no tiene una transformada de Fourier, la condición bajo la cual la suma converge a la función original también debe ser diferente. Un proceso aleatorio estacionario tiene una función de autocorrelación y, por lo tanto, una densidad espectral de acuerdo con el teorema de Wiener-Khinchin . Una condición adecuada para la convergencia a una función de muestra del proceso es que la densidad espectral del proceso sea cero en todas las frecuencias iguales y superiores a la mitad de la frecuencia de muestreo.

Ver también