Disco aireado - Airy disk

Una imagen generada por computadora de un disco Airy. Las intensidades de la escala de grises se han ajustado para mejorar el brillo de los anillos exteriores del patrón Airy.

Un disco de Airy generado por computadora a partir de luz blanca difractada ( espectro D65 ). Tenga en cuenta que el componente rojo se difracta más que el azul, por lo que el centro aparece ligeramente azulado.

Un disco de Airy real creado al pasar un rayo láser rojo a través de una apertura estenopeica de 90 micrómetros con 27 órdenes de difracción.

Disco aireado capturado por una lente de cámara de 2000 mm con una apertura de f / 25. Tamaño de imagen: 1 × 1 mm.

En óptica , el disco de Airy (o disco de Airy ) y el patrón de Airy son descripciones del punto de luz mejor enfocado que puede hacer una lente perfecta con una apertura circular , limitada por la difracción de la luz. El disco Airy es de importancia en física , óptica y astronomía .

El patrón de difracción resultante de una apertura circular uniformemente iluminada tiene una región central brillante , conocida como disco de Airy, que junto con la serie de anillos concéntricos alrededor se llama patrón de Airy. Ambos llevan el nombre de George Biddell Airy . El fenómeno del disco y los anillos se conocía antes de Airy; John Herschel describió la aparición de una estrella brillante vista a través de un telescopio con gran aumento para un artículo de 1828 sobre la luz para la Enciclopedia Metropolitana :

... la estrella se ve entonces (en circunstancias favorables de atmósfera tranquila, temperatura uniforme, etc.) como un disco planetario perfectamente redondo y bien definido, rodeado por dos, tres o más anillos alternativamente oscuros y brillantes, que, si examinados con atención, se ven ligeramente coloreados en sus bordes. Se suceden casi a intervalos iguales alrededor del disco central ...

Airy escribió el primer tratamiento teórico completo que explica el fenómeno (su 1835 "Sobre la difracción de un objeto-vidrio con apertura circular").

Matemáticamente, el patrón de difracción se caracteriza por la longitud de onda de la luz que ilumina la apertura circular y el tamaño de la apertura. La apariencia del patrón de difracción se caracteriza además por la sensibilidad del ojo u otro detector utilizado para observar el patrón.

La aplicación más importante de este concepto es en cámaras , microscopios y telescopios. Debido a la difracción, el punto más pequeño al que una lente o espejo puede enfocar un haz de luz es el tamaño del disco de Airy. Incluso si uno pudiera hacer una lente perfecta, todavía existe un límite para la resolución de una imagen creada por dicha lente. Se dice que un sistema óptico en el que la resolución ya no está limitada por imperfecciones en las lentes, sino solo por difracción, está limitada por difracción .

Tamaño

Lejos de la apertura, el ángulo en el que se produce el primer mínimo, medido desde la dirección de la luz entrante, viene dado por la fórmula aproximada:

${\ Displaystyle \ sin \ theta \ approx 1.22 {\ frac {\ lambda} {d}}}$

o, para ángulos pequeños, simplemente

${\ Displaystyle \ theta \ approx 1.22 {\ frac {\ lambda} {d}},}$

donde θ está en radianes, λ es la longitud de onda de la luz en metros y d es el diámetro de la apertura en metros. Airy escribió esto como

${\ Displaystyle s = {\ frac {2.76} {a}},}$

donde s era el ángulo del primer mínimo en segundos de arco, a era el radio de la apertura en pulgadas y se supuso que la longitud de onda de la luz era 0,000022 pulgadas (560 nm; la media de las longitudes de onda visibles). Esto es igual a la resolución angular de una apertura circular. El criterio de Rayleigh para resolver apenas dos objetos que son fuentes puntuales de luz, como las estrellas vistas a través de un telescopio, es que el centro del disco de Airy del primer objeto se encuentra en el primer mínimo del disco de Airy del segundo. Esto significa que la resolución angular de un sistema limitado por difracción viene dada por las mismas fórmulas.

Sin embargo, mientras que el ángulo en el que ocurre el primer mínimo (que a veces se describe como el radio del disco de Airy) depende solo de la longitud de onda y el tamaño de apertura, la apariencia del patrón de difracción variará con la intensidad (brillo) de la fuente de luz. . Debido a que cualquier detector (ojo, película, digital) utilizado para observar el patrón de difracción puede tener un umbral de intensidad para la detección, es posible que el patrón de difracción completo no sea evidente. En astronomía, los anillos exteriores con frecuencia no son aparentes incluso en una imagen muy ampliada de una estrella. Puede ser que ninguno de los anillos sea aparente, en cuyo caso la imagen de la estrella aparece como un disco (máximo central solamente) en lugar de como un patrón de difracción completo. Además, las estrellas más débiles aparecerán como discos más pequeños que las estrellas más brillantes, porque menos de su máximo central alcanza el umbral de detección. Si bien en teoría todas las estrellas u otras "fuentes puntuales" de una longitud de onda dada y vistas a través de una apertura dada tienen el mismo radio de disco de Airy caracterizado por la ecuación anterior (y el mismo tamaño de patrón de difracción), difiriendo solo en intensidad, la apariencia es que las fuentes más débiles aparecen como discos más pequeños y las fuentes más brillantes aparecen como discos más grandes. Esto fue descrito por Airy en su trabajo original:

La rápida disminución de luz en los sucesivos anillos explicará suficientemente la visibilidad de dos o tres anillos con una estrella muy brillante y la no visibilidad de los anillos con una estrella tenue. La diferencia de los diámetros de los puntos centrales (o discos espurios) de diferentes estrellas ... también se explica completamente. Así, el radio del disco espurio de una estrella tenue, donde la luz de menos de la mitad de la intensidad de la luz central no impresiona al ojo, está determinado por [ s = 1,17 / a ], mientras que el radio del disco espurio de una estrella brillante, donde la luz de 1/10 de la intensidad de la luz central es sensible, está determinada por [ s = 1,97 / a ].

A pesar de esta característica del trabajo de Airy, el radio del disco de Airy a menudo se da simplemente como el ángulo del primer mínimo, incluso en los libros de texto estándar. En realidad, el ángulo del primer mínimo es un valor límite para el tamaño del disco de Airy, y no un radio definido.

Ejemplos de

Gráfico log-log del diámetro de apertura frente a la resolución angular en el límite de difracción para varias longitudes de onda de luz en comparación con varios instrumentos astronómicos. Por ejemplo, la estrella azul muestra que el telescopio espacial Hubble está casi limitado por difracción en el espectro visible a 0,1 segundos de arco, mientras que el círculo rojo muestra que el ojo humano debería tener un poder de resolución de 20 segundos de arco en teoría, aunque con una visión de 20/20. se resuelve en solo 60 segundos de arco (1 minuto de arco)

Cámaras

Si dos objetos fotografiados por una cámara están separados por un ángulo lo suficientemente pequeño como para que sus discos Airy en el detector de la cámara comiencen a superponerse, los objetos ya no se pueden separar claramente en la imagen y comienzan a desenfocarse juntos. Se dice que dos objetos se acaban de resolver cuando el máximo del primer patrón de Airy cae sobre el primer mínimo del segundo patrón de Airy (el criterio de Rayleigh ).

Por lo tanto, la separación angular más pequeña que pueden tener dos objetos antes de que se difuminen significativamente entre sí se da como se indicó anteriormente por

${\ Displaystyle \ sin \ theta = 1.22 \, {\ frac {\ lambda} {d}}.}$

Por tanto, la capacidad del sistema para resolver detalles está limitada por la relación λ / d . Cuanto mayor sea la apertura para una longitud de onda determinada, más fino será el detalle que se puede distinguir en la imagen.

Esto también se puede expresar como

${\ Displaystyle {\ frac {x} {f}} = 1,22 \, {\ frac {\ lambda} {d}},}$

donde es la separación de las imágenes de los dos objetos en la película, y es la distancia desde la lente a la película. Si tomamos la distancia desde la lente a la película para que sea aproximadamente igual a la distancia focal de la lente, encontramos ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle x = 1.22 \, {\ frac {\ lambda \, f} {d}},}$

pero es el número f de una lente. Una configuración típica para usar en un día nublado sería f / 8 (consulte la regla Sunny 16 ). Para violeta 380-450 nm, la luz visible de longitud de onda más corta, la longitud de onda λ es de aproximadamente 420 nanómetros (ver celdas de cono para la sensibilidad de las celdas de cono S). Esto da un valor de aproximadamente 4 µm. En una cámara digital, hacer que los píxeles del sensor de imagen sean menores a la mitad de este valor (un píxel por cada objeto, uno por cada espacio entre ellos) no aumentaría significativamente la resolución de la imagen capturada . Sin embargo, puede mejorar la imagen final mediante un muestreo excesivo, lo que permite la reducción de ruido. ${\ Displaystyle {\ frac {f} {d}}}$${\ Displaystyle x}$

El ojo humano

Secciones longitudinales a través de un haz enfocado con aberración esférica (superior) negativa, (centro) cero y (inferior) positiva. La lente está a la izquierda.

El número f más rápido para el ojo humano es aproximadamente 2,1, lo que corresponde a una función de dispersión de puntos limitada por difracción con aproximadamente 1 μm de diámetro. Sin embargo, en este número f, la aberración esférica limita la agudeza visual, mientras que un diámetro de pupila de 3 mm (f / 5,7) se aproxima a la resolución alcanzada por el ojo humano. La densidad máxima de conos en la fóvea humana es de aproximadamente 170.000 por milímetro cuadrado, lo que implica que la separación de los conos en el ojo humano es de aproximadamente 2,5 μm, aproximadamente el diámetro de la función de dispersión de puntos en f / 5.

Rayo láser enfocado

Un rayo láser circular con intensidad uniforme a través del círculo (un rayo de superficie plana) enfocado por una lente formará un patrón de disco Airy en el foco. El tamaño del disco Airy determina la intensidad del láser en el foco.

Apuntando la vista

Algunas miras para apuntar con armas (por ejemplo, FN FNC ) requieren que el usuario alinee una mirilla (vista trasera, cercana, es decir, que estará desenfocada) con una punta (que debe estar enfocada y superpuesta sobre el objetivo) al final de la barril. Al mirar a través de la mirilla, el usuario notará un disco Airy que ayudará a centrar la vista sobre el pasador.

Condiciones de observación

La luz de una apertura circular uniformemente iluminada (o de un haz uniforme de superficie plana) exhibirá un patrón de difracción de Airy lejos de la apertura debido a la difracción de Fraunhofer ( difracción de campo lejano).

Las condiciones para estar en el campo lejano y exhibir un patrón Airy son: la luz entrante que ilumina la apertura es una onda plana (sin variación de fase a través de la apertura), la intensidad es constante en el área de la apertura y la distancia desde el La apertura donde se observa la luz difractada (la distancia de la pantalla) es grande en comparación con el tamaño de la apertura, y el radio de la apertura no es mucho mayor que la longitud de onda de la luz. Las dos últimas condiciones se pueden escribir formalmente como . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle R> a ^ {2} / \ lambda}$

En la práctica, las condiciones para una iluminación uniforme se pueden cumplir colocando la fuente de iluminación lejos de la abertura. Si no se cumplen las condiciones para el campo lejano (por ejemplo, si la apertura es grande), el patrón de difracción Airy de campo lejano también se puede obtener en una pantalla mucho más cercana a la apertura utilizando una lente justo después de la apertura (o la lente en sí mismo puede formar la abertura). El patrón Airy se formará en el foco de la lente en lugar de en el infinito.

Por lo tanto, el punto focal de un rayo láser circular uniforme (un rayo plano) enfocado por una lente también será un patrón Airy.

En una cámara o un sistema de imágenes, la lente del objetivo crea una imagen de un objeto lejano en la película o en el plano del detector, y el patrón de difracción de campo lejano se observa en el detector. La imagen resultante es una convolución de la imagen ideal con el patrón de difracción de Airy debido a la difracción de la apertura del iris o debido al tamaño finito de la lente. Esto conduce a la resolución finita de un sistema de lentes descrito anteriormente.

Formulación matemática

Difracción de una apertura circular. El patrón Airy es observable cuando (es decir, en el campo lejano)${\ Displaystyle R \ gg a ^ {2} / \ lambda}$

Difracción de una apertura con una lente. La imagen de campo lejano se formará (solo) en la pantalla a una distancia focal de distancia, donde R = f (f = distancia focal). El ángulo de observación sigue siendo el mismo que en el caso sin lentes.${\ Displaystyle \ theta}$

La intensidad del patrón de Airy sigue el patrón de difracción de Fraunhofer de una apertura circular, dado por el módulo al cuadrado de la transformada de Fourier de la apertura circular:

${\ Displaystyle I (\ theta) = I_ {0} \ left [{\ frac {2J_ {1} (k \, a \ sin \ theta)} {k \, a \ sin \ theta}} \ right] ^ {2} = I_ {0} \ left [{\ frac {2J_ {1} (x)} {x}} \ right] ^ {2}}$

donde es la intensidad máxima del patrón en el centro del disco de Airy, es la función de Bessel del primer tipo de orden uno, es el número de onda, es el radio de apertura y es el ángulo de observación, es decir, el ángulo entre los ejes de la apertura circular y la línea entre el centro de apertura y el punto de observación. , donde q es la distancia radial desde el punto de observación al eje óptico y R es su distancia a la apertura. Tenga en cuenta que el disco de Airy dado por la expresión anterior solo es válido para R grande , donde se aplica la difracción de Fraunhofer ; el cálculo de la sombra en el campo cercano debe manejarse más bien usando difracción de Fresnel . ${\ Displaystyle I_ {0}}$${\ Displaystyle J_ {1}}$${\ Displaystyle k = {2 \ pi} / {\ lambda}}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle x = ka \ sin \ theta = {\ frac {2 \ pi a} {\ lambda}} {\ frac {q} {R}}}$

Sin embargo, el patrón exacto Airy no aparece a una distancia finita si una lente se coloca en la abertura. Entonces, el patrón de Airy se enfocará perfectamente a la distancia dada por la distancia focal de la lente (asumiendo que la luz colimada incide en la apertura) dada por las ecuaciones anteriores.

Los ceros de están en . De esto, se sigue que el primer anillo oscuro en el patrón de difracción ocurre donde , o ${\ Displaystyle J_ {1} (x)}$${\ Displaystyle x = ka \ sin \ theta \ approx 3.8317,7.0156,10.1735,13.3237,16.4706 \ dots}$${\ Displaystyle ka \ sin {\ theta} = 3.8317 \ dots}$

${\ Displaystyle \ sin \ theta \ approx {\ frac {3.83} {ka}} = {\ frac {3.83 \ lambda} {2 \ pi a}} = 1.22 {\ frac {\ lambda} {2a}} = 1.22 {\ frac {\ lambda} {d}}}$.

Si se utiliza una lente para enfocar el patrón Airy a una distancia finita, entonces el radio del primer anillo oscuro en el plano focal viene dado únicamente por la apertura numérica A (estrechamente relacionada con el número f ) por ${\ Displaystyle q_ {1}}$

${\ Displaystyle q_ {1} = R \ sin \ theta _ {1} \ approx 1,22 {R} {\ frac {\ lambda} {d}} = 1,22 {\ frac {\ lambda} {2A}}}$

donde la apertura numérica A es igual al radio de la apertura d / 2 dividido por R ', la distancia desde el centro del patrón Airy hasta el borde de la apertura. Al ver la apertura de radio d / 2 y la lente como una cámara (ver diagrama anterior) que proyecta una imagen en un plano focal a una distancia f , la apertura numérica A está relacionada con el número f comúnmente citado N = f / d (relación de la distancia focal al diámetro de la lente) según ; para N >> 1 simplemente se aproxima como . Esto muestra que la mejor resolución de imagen posible de una cámara está limitada por la apertura numérica (y por lo tanto el número f) de su lente debido a la difracción . ${\ Displaystyle A = {\ frac {r} {R '}} = {\ frac {r} {\ sqrt {f ^ {2} + r ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {4N ^ {2} +1}}}}$${\ Displaystyle A \ approx {\ frac {1} {2N}}}$

La mitad del máximo del disco de Airy central (donde ) ocurre en ; el punto 1 / e ² (donde ) ocurre en , y el máximo del primer anillo ocurre en . ${\ Displaystyle J_ {1} (x) = {x} / {2 {\ sqrt {2}}}}$${\ Displaystyle x = 1.61633 \ dots}$${\ Displaystyle J_ {1} (x) = {x} / {2e}}$${\ Displaystyle x = 2.58383 \ dots}$${\ Displaystyle x = 5.13562 \ dots}$

La intensidad en el centro del patrón de difracción está relacionada con la potencia total incidente en la apertura por ${\ Displaystyle I_ {0}}$${\ Displaystyle P_ {0}}$

${\ Displaystyle I_ {0} = {\ frac {\ mathrm {E} _ {A} ^ {2} A ^ {2}} {2R ^ {2}}} = {\ frac {P_ {0} A} {\ lambda ^ {2} R ^ {2}}}}$

donde es la fuerza de la fuente por unidad de área en la apertura, A es el área de la apertura ( ) y R es la distancia desde la apertura. En el plano focal de una lente, . La intensidad en el máximo del primer anillo es aproximadamente el 1,75% de la intensidad en el centro del disco de Airy. ${\ Displaystyle \ mathrm {E}}$${\ Displaystyle A = \ pi a ^ {2}}$${\ Displaystyle I_ {0} = (P_ {0} A) / (\ lambda ^ {2} f ^ {2})}$

La expresión anterior se puede integrar para dar la potencia total contenida en el patrón de difracción dentro de un círculo de tamaño dado: ${\ Displaystyle I (\ theta)}$

${\ Displaystyle P (\ theta) = P_ {0} [1-J_ {0} ^ {2} (ka \ sin \ theta) -J_ {1} ^ {2} (ka \ sin \ theta)]}$

donde y son las funciones de Bessel . Por lo tanto, las fracciones de la potencia total contenidas dentro del primer, segundo y tercer anillo oscuro (donde ) son 83,8%, 91,0% y 93,8% respectivamente. ${\ Displaystyle J_ {0}}$${\ Displaystyle J_ {1}}$${\ Displaystyle J_ {1} (ka \ sin \ theta) = 0}$

El patrón de Airy en el intervalo ka sin θ  = [−10, 10]

El poder rodeado graficado junto a la intensidad.

Aproximación usando un perfil gaussiano

Una sección transversal radial a través del patrón de Airy (curva sólida) y su aproximación de perfil gaussiano (curva discontinua). La abscisa se expresa en unidades de longitud de onda multiplicada por el número f del sistema óptico.${\ Displaystyle \ lambda}$

El patrón de Airy cae bastante lentamente a cero al aumentar la distancia desde el centro, y los anillos exteriores contienen una parte significativa de la intensidad integrada del patrón. Como resultado, el tamaño del punto medio cuadrático (RMS) no está definido (es decir, infinito). Una medida alternativa del tamaño del punto es ignorar los anillos exteriores relativamente pequeños del patrón de Airy y aproximar el lóbulo central con un perfil gaussiano , de modo que

${\ Displaystyle I (q) \ approx I '_ {0} \ exp \ left ({\ frac {-2q ^ {2}} {\ omega _ {0} ^ {2}}} \ right) \,}$

donde es la irradiancia en el centro del patrón, representa la distancia radial desde el centro del patrón y es el ancho RMS gaussiano (en una dimensión). Si equiparamos la amplitud máxima del patrón de Airy y el perfil gaussiano, es decir , y encontramos el valor de dar la aproximación óptima al patrón, obtenemos ${\ Displaystyle I '_ {0}}$${\ Displaystyle q}$${\ textstyle \ omega _ {0}}$${\ Displaystyle I '_ {0} = I_ {0}}$${\ textstyle \ omega _ {0}}$

${\ textstyle \ omega _ {0} \ aproximadamente 0,42 \ lambda N \,}$

donde N es el número f . Si, por otro lado, deseamos hacer cumplir que el perfil gaussiano tiene el mismo volumen que el patrón de Airy, entonces esto se convierte en

${\ textstyle \ omega _ {0} \ aproximadamente 0,45 \ lambda N \.}$

En la teoría de la aberración óptica , es común describir un sistema de imágenes como limitado por difracción si el radio del disco de Airy es mayor que el tamaño de punto RMS determinado a partir del trazado de rayos geométricos (consulte Diseño de lente óptica ). La aproximación del perfil gaussiano proporciona un medio alternativo de comparación: el uso de la aproximación anterior muestra que la cintura gaussiana de la aproximación gaussiana al disco de Airy es aproximadamente un tercio del radio del disco de Airy, es decir, en contraposición a . ${\ textstyle \ omega _ {0}}$${\ Displaystyle 0.42 \ lambda N}$${\ Displaystyle 1,22 \ lambda N}$

Patrón Airy oscurecido

También se pueden derivar ecuaciones similares para el patrón de difracción de Airy oscurecido, que es el patrón de difracción de una abertura o haz anular, es decir, una abertura circular uniforme (haz) oscurecida por un bloque circular en el centro. Esta situación es relevante para muchos diseños de telescopios reflectores comunes que incorporan un espejo secundario, incluidos los telescopios newtonianos y los telescopios Schmidt-Cassegrain .

${\ Displaystyle I (R) = {\ frac {I_ {0}} {(1- \ epsilon ^ {2}) ^ {2}}} \ left ({\ frac {2J_ {1} (x)} { x}} - {\ frac {2 \ epsilon J_ {1} (\ epsilon x)} {x}} \ right) ^ {2}}$

donde es la relación de oscurecimiento de la abertura anular, o la relación entre el diámetro del disco de oscurecimiento y el diámetro de la abertura (haz). , yx se define como arriba: donde es la distancia radial en el plano focal desde el eje óptico, es la longitud de onda y es el número f del sistema. La energía fraccionada rodeada (la fracción de la energía total contenida dentro de un círculo de radio centrado en el eje óptico en el plano focal) viene dada por: ${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle \ left (0 \ leq \ epsilon <1 \ right)}$${\ Displaystyle x = ka \ sin (\ theta) \ approx {\ frac {\ pi R} {\ lambda N}}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle R}$

${\ displaystyle E (R) = {\ frac {1} {(1- \ epsilon ^ {2})}} \ left (1-J_ {0} ^ {2} (x) -J_ {1} ^ { 2} (x) + \ epsilon ^ {2} \ left [1-J_ {0} ^ {2} (\ epsilon x) -J_ {1} ^ {2} (\ epsilon x) \ right] -4 \ épsilon \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {J_ {1} (t) J_ {1} (\ epsilon t)} {t}} \, dt \ right)}$

Para las fórmulas, reduzca a las versiones despejadas anteriores. ${\ Displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0}$

El efecto práctico de tener una obstrucción central en un telescopio es que el disco central se vuelve un poco más pequeño y el primer anillo brillante se vuelve más brillante a expensas del disco central. Esto se vuelve más problemático con los telescopios de distancia focal corta que requieren espejos secundarios más grandes.

Comparación con el foco del rayo gaussiano

Un rayo láser circular con un perfil de intensidad uniforme, enfocado por una lente, formará un patrón Airy en el plano focal de la lente. La intensidad en el centro del foco será donde está la potencia total del rayo, es el área del rayo ( es el diámetro del rayo), es la longitud de onda y es la distancia focal de la lente. ${\ Displaystyle I_ {0, Airy} = (P_ {0} A) / (\ lambda ^ {2} f ^ {2})}$${\ Displaystyle P_ {0}}$${\ Displaystyle A = \ pi D ^ {2} / 4}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle f}$

Un rayo gaussiano con un diámetro de D enfocado a través de una apertura de diámetro D tendrá un perfil focal que es casi gaussiano, y la intensidad en el centro del foco será 0.924 veces . ${\ Displaystyle 1 / e ^ {2}}$${\ Displaystyle I_ {0, \ mathrm {Airy}}}$

Ver también

• Astronomía amateur
• Apodización
• Difracción de Fraunhofer
• Bloom (efecto de sombreado)
• Anillos de Newton
• Unidad óptica
• Función de dispersión de puntos
• Anillo Debye-Scherrer
• Relación de Strehl
• Patrón de moteado

notas y referencias

enlaces externos

• Michael W. Davidson . "Conceptos y fórmulas en microscopía: resolución" . Nikon MicroscopyU (sitio web).
  • Kenneth R. Spring; Brian O. Flynn y Michael W. Davidson. "Formación de imagen: apertura numérica y resolución de imagen" . Consultado el 15 de junio de 2006 .(Tutorial interactivo de Java) Expresiones moleculares (sitio web).
  • Kenneth R. Spring; Brian O. Flynn y Michael W. Davidson. "Formación de imágenes: formación de patrones airosos" . Consultado el 15 de junio de 2006 .(Tutorial interactivo de Java) Expresiones moleculares .
• Paul Padley. "Difracción de una apertura circular" ., Connexions (sitio web), 8 de noviembre de 2005. - Detalles matemáticos para derivar la fórmula anterior.
• "The Airy Disk: una explicación de lo que es y por qué no se puede evitar" , Oldham Optical UK .
• Weisstein, Eric W. "Ceros de función de Bessel" . MathWorld .
• "Análisis extendido de Nijboer-Zernike (ENZ) y recuperación de aberraciones" .