Prueba elemental - Elementary proof
En matemáticas , una prueba elemental es una prueba matemática que solo usa técnicas básicas. Más específicamente, el término se usa en teoría de números para referirse a demostraciones que no hacen uso de análisis complejos . Históricamente, alguna vez se pensó que ciertos teoremas , como el teorema de los números primos , solo podían demostrarse invocando teoremas o técnicas matemáticas "superiores". Sin embargo, a medida que pasa el tiempo, muchos de estos resultados también se han reprobado posteriormente utilizando solo técnicas elementales.
Si bien generalmente no hay consenso sobre lo que se considera elemental, el término es, sin embargo, una parte común de la jerga matemática . Una prueba elemental no es necesariamente simple, en el sentido de que sea fácil de entender o trivial. De hecho, algunas pruebas elementales pueden ser bastante complicadas, y esto es especialmente cierto cuando se trata de una declaración de importancia notable.
Teorema de los números primos
La distinción entre demostraciones elementales y no elementales se ha considerado especialmente importante con respecto al teorema de los números primos . Este teorema fue probado por primera vez en 1896 por Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin utilizando un análisis complejo. Luego, muchos matemáticos intentaron construir pruebas elementales del teorema, sin éxito. GH Hardy expresó fuertes reservas; consideró que la " profundidad " esencial del resultado descartaba pruebas elementales:
No se conoce ninguna prueba elemental del teorema de los números primos, y uno puede preguntarse si es razonable esperar una. Ahora sabemos que el teorema es aproximadamente equivalente a un teorema sobre una función analítica , el teorema de que la función zeta de Riemann no tiene raíces en una línea determinada . Una demostración de tal teorema, que no depende fundamentalmente de la teoría de funciones, me parece extraordinariamente improbable. Es imprudente afirmar que un teorema matemático no puede probarse de una manera particular; pero una cosa parece bastante clara. Tenemos ciertos puntos de vista sobre la lógica de la teoría; pensamos que algunos teoremas, como decimos, "son profundos" y otros más cercanos a la superficie. Si alguien presenta una demostración elemental del teorema de los números primos, demostrará que estos puntos de vista son erróneos, que el tema no cuelga de la forma que hemos supuesto y que es hora de dejar de lado los libros y teoría para ser reescrita.
- GH Hardy (1921). Conferencia en la Sociedad Matemática de Copenhague. Citado en Goldfeld (2003), p. 3
Sin embargo, en 1948, Atle Selberg produjo nuevos métodos que lo llevaron a él y a Paul Erdős a encontrar pruebas elementales del teorema de los números primos.
Una posible formalización de la noción de "elemental" en relación con una demostración de un resultado teórico de números es la restricción de que la demostración puede realizarse en aritmética de Peano . También en ese sentido, estas pruebas son elementales.
Conjetura de Friedman
Harvey Friedman conjeturaba : "Todo teorema publicado en Annals of Mathematics cuyo enunciado involucra sólo objetos matemáticos finitarios (es decir, lo que los lógicos llaman un enunciado aritmético) puede demostrarse en aritmética elemental". La forma de aritmética elemental a la que se hace referencia en esta conjetura puede formalizarse mediante un pequeño conjunto de axiomas relacionados con la aritmética de números enteros y la inducción matemática . Por ejemplo, según esta conjetura, el último teorema de Fermat debería tener una demostración elemental; La demostración de Wiles del último teorema de Fermat no es elemental. Sin embargo, hay otras afirmaciones simples sobre aritmética, como la existencia de funciones exponenciales iteradas , que no se pueden probar en esta teoría.