Prueba de Wiles del último teorema de Fermat - Wiles's proof of Fermat's Last Theorem

La demostración de Wiles del último teorema de Fermat es una demostración del matemático británico Andrew Wiles de un caso especial del teorema de modularidad para curvas elípticas . Junto con el teorema de Ribet , proporciona una demostración del último teorema de Fermat . Tanto el último teorema de Fermat como el teorema de la modularidad fueron considerados casi universalmente inaccesibles a la prueba por los matemáticos contemporáneos, lo que significa que se creía que eran imposibles de probar utilizando el conocimiento actual.

Wiles anunció por primera vez su prueba el 23 de junio de 1993 en una conferencia en Cambridge titulada "Formas modulares, curvas elípticas y representaciones de Galois". Sin embargo, en septiembre de 1993 se encontró que la prueba contenía un error. Un año después, el 19 de septiembre de 1994, en lo que él llamaría "el momento más importante de [su] vida laboral", Wiles tropezó con una revelación que le permitió corregir la prueba a satisfacción de la comunidad matemática. La prueba corregida se publicó en 1995.

La demostración de Wiles utiliza muchas técnicas de la geometría algebraica y la teoría de números , y tiene muchas ramificaciones en estas ramas de las matemáticas. También utiliza construcciones estándar de geometría algebraica moderna, como la categoría de esquemas y la teoría de Iwasawa , y otras técnicas del siglo XX que no estaban disponibles para Fermat.

Juntos, los dos artículos que contienen la prueba tienen 129 páginas y consumieron más de siete años del tiempo de investigación de Wiles. John Coates describió la prueba como uno de los mayores logros de la teoría de números, y John Conway la llamó "la prueba del siglo [XX]". El camino de Wiles para probar el último teorema de Fermat, al probar el teorema de modularidad para el caso especial de curvas elípticas semiestables , estableció poderosas técnicas de elevación de modularidad y abrió enfoques completamente nuevos a muchos otros problemas. Por demostrar el último teorema de Fermat, fue nombrado caballero y recibió otros honores como el Premio Abel 2016 . Al anunciar que Wiles había ganado el Premio Abel, la Academia Noruega de Ciencias y Letras describió su logro como una "prueba impresionante".

Precursores de la prueba de Wiles

Último teorema de Fermat y progreso antes de 1980

Último teorema de Fermat , formulada en 1637, indica que no hay tres números enteros positivos distintos a , b , y c pueden satisfacer la ecuación

${\ Displaystyle a ^ {n} + b ^ {n} = c ^ {n}}$

si n es un número entero mayor que dos ( n > 2).

Con el tiempo, esta simple afirmación se convirtió en una de las afirmaciones no probadas más famosas de las matemáticas. Entre su publicación y la eventual solución de Andrew Wiles más de 350 años después, muchos matemáticos y aficionados intentaron probar esta afirmación, ya sea para todos los valores de n> 2 o para casos específicos. Estimuló el desarrollo de áreas completamente nuevas dentro de la teoría de números . Finalmente, se encontraron pruebas para todos los valores de n hasta alrededor de 4 millones, primero a mano y luego por computadora. Sin embargo, no se encontró ninguna prueba general que fuera válida para todos los valores posibles de n , ni siquiera un indicio de cómo podría llevarse a cabo tal prueba.

La conjetura de Taniyama-Shimura-Weil

Independientemente de todo lo relacionado con el último teorema de Fermat, en las décadas de 1950 y 1960 el matemático japonés Goro Shimura , basándose en las ideas planteadas por Yutaka Taniyama , conjeturó que podría existir una conexión entre las curvas elípticas y las formas modulares . Estos eran objetos matemáticos sin conexión conocida entre ellos. Taniyama y Shimura plantearon la cuestión de si, sin que los matemáticos lo supieran, los dos tipos de objetos eran en realidad objetos matemáticos idénticos, simplemente vistos de diferentes maneras.

Conjeturaron que toda curva elíptica racional también es modular . Esto se conoció como la conjetura de Taniyama-Shimura. En Occidente, esta conjetura se hizo conocida a través de un artículo de 1967 de André Weil , quien dio evidencia conceptual de ello; por eso, a veces se le llama la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil.

Alrededor de 1980, se había acumulado mucha evidencia para formar conjeturas sobre las curvas elípticas, y se habían escrito muchos artículos que examinaban las consecuencias si la conjetura era cierta, pero la conjetura real en sí no estaba probada y generalmente se consideraba inaccesible, lo que significa que los matemáticos creían una prueba. de la conjetura era probablemente imposible usando los conocimientos actuales.

Durante décadas, la conjetura siguió siendo un problema importante pero sin resolver en matemáticas. Aproximadamente 50 años después de que se propuso por primera vez, la conjetura finalmente se demostró y se renombró como teorema de modularidad , en gran parte como resultado del trabajo de Andrew Wiles que se describe a continuación.

La curva de Frey

En otra rama separada del desarrollo, a fines de la década de 1960, a Yves Hellegouarch se le ocurrió la idea de asociar soluciones hipotéticas ( a , b , c ) de la ecuación de Fermat con un objeto matemático completamente diferente: una curva elíptica. La curva consta de todos los puntos en el plano cuyas coordenadas ( x ,  y ) satisfacen la relación

${\ Displaystyle y ^ {2} = x (xa ^ {n}) (x + b ^ {n}).}$

Tal una curva elíptica disfrutaría propiedades muy especiales debido a la aparición de altas potencias de números enteros en su ecuación y el hecho de que un ⁿ  +  b ⁿ = c ⁿ sería un n ésima potencia también.

En 1982-1985, Gerhard Frey llamó la atención sobre las propiedades inusuales de esta misma curva, ahora llamada curva de Frey . Mostró que era probable que la curva pudiera unir a Fermat y Taniyama, ya que cualquier contraejemplo del último teorema de Fermat probablemente también implicaría que existía una curva elíptica que no era modular . Frey demostró que había buenas razones para creer que cualquier conjunto de números ( a , b , c , n ) capaces de refutar el último teorema de Fermat probablemente también podría usarse para refutar la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. Por lo tanto, si la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil fuera cierta, no podría existir ningún conjunto de números capaces de refutar a Fermat, por lo que el último teorema de Fermat también tendría que ser cierto.

Matemáticamente, la conjetura dice que cada curva elíptica con racionales coeficientes puede ser construido de una forma completamente diferente, no dando su ecuación pero mediante el uso de funciones modulares para parametrizar las coordenadas x y y de los puntos sobre el mismo. Así, según la conjetura, cualquier curva elíptica sobre Q tendría que ser una curva elíptica modular , sin embargo, si una solución a la ecuación de Fermat con no-cero un , b , c y n mayor que 2 existido, la curva correspondiente no sería modular, lo que resulta en una contradicción. Si se pudiera probar el vínculo identificado por Frey, entonces, a su vez, significaría que una prueba o refutación del último teorema de Fermat o de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil probaría o refutaría simultáneamente la otra.

Teorema de ribet

Para completar este vínculo, era necesario demostrar que la intuición de Frey era correcta: que una curva de Frey, si existía, no podía ser modular. En 1985, Jean-Pierre Serre proporcionó una prueba parcial de que una curva de Frey no podía ser modular. Serre no proporcionó una prueba completa de su propuesta; la parte faltante (que Serre había notado desde el principio) se conoció como la conjetura épsilon (a veces escrita conjetura ε; ahora conocida como teorema de Ribet ). El principal interés de Serre estaba en una conjetura aún más ambiciosa, la conjetura de Serre sobre las representaciones modulares de Galois , que implicaría la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. Sin embargo, su prueba parcial estuvo cerca de confirmar el vínculo entre Fermat y Taniyama.

En el verano de 1986, Ken Ribet logró demostrar la conjetura épsilon, ahora conocida como teorema de Ribet . Su artículo fue publicado en 1990. Al hacerlo, Ribet finalmente demostró el vínculo entre los dos teoremas al confirmar, como Frey había sugerido, que una prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para los tipos de curvas elípticas que Frey había identificado, en conjunto con el teorema de Ribet, también probaría el último teorema de Fermat.

En términos matemáticos, el teorema de Ribet mostró que si la representación de Galois asociada a una curva elíptica tiene ciertas propiedades (que tiene la curva de Frey), entonces esa curva no puede ser modular, en el sentido de que no puede existir una forma modular que dé lugar a la misma. Representación de Galois.

Situación anterior a la prueba de Wiles

Siguiendo los desarrollos relacionados con la curva de Frey, y su vínculo con Fermat y Taniyama, una prueba del último teorema de Fermat se seguiría a partir de una prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, o al menos una prueba de la conjetura para los tipos de curvas elípticas que incluían la ecuación de Frey (conocidas como curvas elípticas semiestables ).

• Del teorema de Ribet y la curva de Frey, 4 números cualesquiera que se puedan usar para refutar el último teorema de Fermat también podrían usarse para hacer una curva elíptica semiestable ("curva de Frey") que nunca podría ser modular;
• Pero si la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil también fuera cierta para las curvas elípticas semiestables, entonces, por definición, todas las curvas de Frey que existían deben ser modulares.
• La contradicción podría tener solo una respuesta : si el teorema de Ribet y la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para las curvas semiestables fueran ciertas, entonces significaría que no podría haber ninguna solución para la ecuación de Fermat, porque entonces no habría ninguna curva de Frey. , lo que significa que no existirían contradicciones. Esto finalmente probaría el último teorema de Fermat.

Sin embargo, a pesar del progreso realizado por Serre y Ribet, este enfoque de Fermat también se consideró inutilizable, ya que casi todos los matemáticos vieron la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil en sí misma como completamente inaccesible a la prueba con el conocimiento actual. Por ejemplo, el ex supervisor de Wiles, John Coates, declaró que parecía "imposible de probar", y Ken Ribet se consideraba a sí mismo "una de la gran mayoría de personas que creían que [esto] era completamente inaccesible".

Andrew Wiles

Al escuchar la prueba de Ribet de 1986 de la conjetura épsilon, el matemático inglés Andrew Wiles, que había estudiado curvas elípticas y tenía una fascinación infantil por Fermat, decidió comenzar a trabajar en secreto para demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, ya que ahora era profesionalmente justificable, así como por el atractivo objetivo de probar un problema tan antiguo.

Ribet comentó más tarde que "Andrew Wiles fue probablemente una de las pocas personas en la tierra que tuvo la audacia de soñar que realmente puedes ir y probarlo".

Anuncio y novedades posteriores

Wiles presentó inicialmente su prueba en 1993. Finalmente fue aceptada como correcta y publicada en 1995, tras la corrección de un error sutil en una parte de su artículo original. Su trabajo se extendió a una prueba completa del teorema de modularidad durante los siguientes seis años por otros, que se basaron en el trabajo de Wiles.

Anuncio y prueba final (1993-1995)

Durante el 21-23 de junio de 1993, Wiles anunció y presentó su prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestables y, por lo tanto, del último teorema de Fermat, en el transcurso de tres conferencias impartidas en el Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas en Cambridge, Inglaterra. . Posteriormente hubo una cobertura de prensa relativamente grande.

Después del anuncio, Nick Katz fue designado como uno de los árbitros para revisar el manuscrito de Wiles. En el transcurso de su revisión, le hizo a Wiles una serie de preguntas aclaratorias que llevaron a Wiles a reconocer que la prueba contenía un vacío. Hubo un error en una parte crítica de la demostración que dio un límite para el orden de un grupo en particular: el sistema de Euler utilizado para extender el método de Kolyvagin y Flach estaba incompleto. El error no habría dejado su trabajo sin valor: cada parte del trabajo de Wiles era muy significativa e innovadora por sí misma, al igual que los muchos desarrollos y técnicas que había creado en el curso de su trabajo, y solo una parte se vio afectada. Sin embargo, sin esta parte probada, no había prueba real del último teorema de Fermat.

Wiles pasó casi un año tratando de reparar su prueba, inicialmente solo y luego en colaboración con su ex alumno Richard Taylor , sin éxito. A fines de 1993, se habían difundido rumores de que, bajo escrutinio, la prueba de Wiles había fallado, pero no se sabía con qué gravedad. Los matemáticos estaban comenzando a presionar a Wiles para que revelara su trabajo, ya fuera completo o no, de modo que la comunidad en general pudiera explorar y usar todo lo que había logrado. En lugar de solucionarse, el problema, que originalmente parecía menor, ahora parecía muy importante, mucho más grave y menos fácil de resolver.

Wiles afirma que en la mañana del 19 de septiembre de 1994 estuvo a punto de darse por vencido y casi resignado a aceptar que había fracasado y a publicar su trabajo para que otros pudieran construir sobre él y encontrar el error. Afirma que estaba teniendo una última mirada para tratar de comprender las razones fundamentales por las que su enfoque no podía funcionar, cuando tuvo una repentina idea de que la razón específica por la que el enfoque de Kolyvagin-Flach no funcionaría directamente también significaba que su El intento original de usar la teoría de Iwasawa podría funcionar si él la fortaleciera usando la experiencia obtenida del enfoque de Kolyvagin-Flach desde entonces. Cada uno era inadecuado por sí mismo, pero arreglar un enfoque con herramientas del otro resolvería el problema y produciría una fórmula de número de clase (CNF) válida para todos los casos que aún no fueron probados por su artículo arbitrado:

Estaba sentado en mi escritorio examinando el método Kolyvagin-Flach. No es que creyera que podría hacerlo funcionar, pero pensé que al menos podría explicar por qué no funcionó. De repente tuve esta increíble revelación. Me di cuenta de que el método Kolyvagin-Flach no estaba funcionando, pero era todo lo que necesitaba para que mi teoría original de Iwasawa funcionara tres años antes. Así que de las cenizas de Kolyvagin-Flach pareció surgir la verdadera respuesta al problema. Era tan indescriptiblemente hermoso; era tan simple y tan elegante. No podía entender cómo me lo había perdido y me quedé mirándolo con incredulidad durante veinte minutos. Luego, durante el día, caminaba por el departamento y seguía volviendo a mi escritorio para ver si todavía estaba allí. Todavía estaba ahí. No pude contenerme, estaba tan emocionado. Fue el momento más importante de mi vida laboral. Nada de lo que vuelva a hacer significará tanto.

-  Andrew Wiles, citado por Simon Singh

El 6 de octubre, Wiles pidió a tres colegas (incluido Faltings) que revisaran su nueva prueba, y el 24 de octubre de 1994, Wiles presentó dos manuscritos, "Curvas elípticas modulares y último teorema de Fermat" y "Propiedades teóricas del anillo de ciertas álgebras de Hecke", el segundo de que Wiles había escrito con Taylor y demostró que se cumplían ciertas condiciones que eran necesarias para justificar el paso corregido en el documento principal.

Los dos artículos fueron examinados y finalmente publicados como la totalidad de la edición de mayo de 1995 de Annals of Mathematics . La nueva prueba fue ampliamente analizada y se aceptó como probablemente correcta en sus componentes principales. Estos artículos establecieron el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables, el último paso para demostrar el último teorema de Fermat, 358 años después de su conjetura.

Desarrollos posteriores

Fermat afirmó que "... he descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esto, que este margen es demasiado estrecho para contener". La demostración de Wiles es muy compleja e incorpora el trabajo de tantos otros especialistas que se sugirió en 1994 que solo un pequeño número de personas eran capaces de comprender plenamente en ese momento todos los detalles de lo que había hecho. La complejidad de la prueba de Wiles motivó una conferencia de 10 días en la Universidad de Boston ; el libro resultante de las actas de conferencias tenía como objetivo hacer accesible la gama completa de temas requeridos a los estudiantes graduados en teoría de números.

Como se señaló anteriormente, Wiles demostró la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para el caso especial de curvas elípticas semiestables, en lugar de para todas las curvas elípticas. Durante los años siguientes, Christophe Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond y Richard Taylor (a veces abreviado como "BCDT") llevaron el trabajo más lejos, probando finalmente la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para todas las curvas elípticas en un artículo de 2001. Ahora demostrado, la conjetura se conoció como el teorema de modularidad .

En 2005, el informático holandés Jan Bergstra planteó el problema de formalizar la prueba de Wiles de tal manera que pudiera ser verificada por computadora .

Resumen de la prueba de Wiles

Wiles usó la prueba por contradicción , en la que se asume lo contrario de lo que se va a probar, y muestra que si eso fuera cierto, se crearía una contradicción. La contradicción muestra que la suposición debe haber sido incorrecta.

La prueba se divide aproximadamente en dos partes. En la primera parte, Wiles demuestra un resultado general sobre " ascensores ", conocido como el "teorema de elevación de modularidad". Esta primera parte le permite probar resultados sobre curvas elípticas convirtiéndolos en problemas sobre representaciones de Galois de curvas elípticas. Luego usa este resultado para demostrar que todas las curvas semiestables son modulares, al demostrar que las representaciones de Galois de estas curvas son modulares.

	Prueba de contorno	Comentario
Parte 1: configuración de la prueba
1	Comenzamos asumiendo (en aras de la contradicción) que el último teorema de Fermat es incorrecto. Eso significa que hay al menos una solución que no sea cero ( un , b , c , n ) (con todos los números racionales y n > 2 y el primer) para un n + b n = c n .
2	El teorema de Ribet (usando Frey y Serre de trabajo) muestra que podemos crear una curva semiestable elíptica E usando los números ( un , b , c , y n ), que nunca es modular .	Si podemos probar que todas esas curvas elípticas serán modulares (lo que significa que coinciden con una forma modular), entonces tenemos nuestra contradicción y hemos demostrado que nuestra suposición (que tal conjunto de números existe) era incorrecta. Si la suposición es incorrecta, eso significa que no existen tales números, lo que prueba que el último teorema de Fermat es correcto.
3	Suponga que el último teorema de Fermat es incorrecto. Esto significa que debe existir un conjunto de números ( a , b , c , n ) que sea una solución de la ecuación de Fermat, y podemos usar la solución para crear una curva de Frey que sea semiestable y elíptica. Así que asumimos que (de alguna manera) hemos encontrado una solución y creado tal curva (que llamaremos " E "), y veremos qué sucede.
Parte 2: el teorema de elevación de la modularidad
4	Las representaciones de Galois de las curvas elípticas ρ ( E , p ) para cualquier primo p > 3 han sido estudiadas por muchos matemáticos. Wiles apunta en primer lugar a probar un resultado sobre estas representaciones, que utilizará más adelante: que si una curva elíptica semiestable E tiene una representación de Galois ρ ( E , p ) que es modular, la curva elíptica en sí debe ser modular. Probar esto es útil de dos maneras: hace que contar y emparejar sea más fácil y, significativamente, para probar que la representación es modular, solo tendríamos que probarlo para un solo número primo p , y podemos hacer esto usando cualquier primo que haga nuestro trabajo es fácil, no importa qué imprimación usemos. Esta es la parte más difícil del problema: técnicamente significa probar que si la representación de Galois ρ ( E , p ) es una forma modular, también lo son todas las demás representaciones de Galois relacionadas ρ ( E , p ∞ ) para todas las potencias de p . Este es el llamado " problema de elevación modular ", y Wiles lo abordó utilizando deformaciones . Cualquier curva elíptica (o una representación de una curva elíptica) se puede clasificar como reducible o irreductible . La prueba será ligeramente diferente dependiendo de si la representación de la curva elíptica es reducible o no.	Comparar curvas elípticas y formas modulares directamente es difícil. Los esfuerzos anteriores para contar y hacer coincidir las curvas elípticas y las formas modulares habían fracasado. Pero las curvas elípticas se pueden representar dentro de la teoría de Galois . Wiles se dio cuenta de que trabajar con las representaciones de curvas elípticas en lugar de las curvas en sí facilitaría mucho el conteo y la combinación de formas modulares. A partir de este punto, la prueba tiene como objetivo principal demostrar: (1) si la representación geométrica de Galois de una curva elíptica semiestable es modular, también lo es la curva; y (2) las representaciones geométricas de Galois de todas las curvas elípticas semiestables son modulares. Juntos, estos nos permiten trabajar con representaciones de curvas en lugar de directamente con las propias curvas elípticas. Nuestro objetivo original se habrá transformado en probar la modularidad de las representaciones geométricas de Galois de curvas elípticas semiestables. Wiles describió esta realización como un "avance clave". Una representación de Galois de una curva elíptica es G -> GL ( Z p ). Para mostrar que una representación geométrica de Galois de una curva elíptica es una forma modular, necesitamos encontrar una forma propia normalizada cuyos valores propios (que también son sus coeficientes de la serie de Fourier ) satisfagan una relación de congruencia para todos menos un número finito de números primos.
5	La estrategia inicial de Wiles es contar y emparejar usando prueba por inducción y una fórmula de número de clase ("CNF"): un enfoque en el que, una vez que se prueba la hipótesis para una curva elíptica, se puede extender automáticamente para probarla para todas las elípticas posteriores. curvas.	Fue en esta área donde Wiles encontró dificultades, primero con la teoría horizontal de Iwasawa y luego con su extensión de Kolyvagin-Flach. El trabajo de Wiles ampliando Kolyvagin-Flach se relacionó principalmente con hacer que Kolyvagin-Flach fuera lo suficientemente fuerte como para demostrar el CNF completo que usaría. Más tarde resultó que ninguno de estos enfoques por sí solo podía producir un CNF capaz de cubrir todo tipo de curvas elípticas semiestables, y la pieza final de su demostración en 1995 fue darse cuenta de que podía tener éxito fortaleciendo la teoría de Iwasawa con las técnicas de Kolyvagin. –Flach.
6	En este punto, la demostración ha mostrado un punto clave sobre las representaciones de Galois: Si la representación geométrica de Galois ρ ( E , p ) de una curva elíptica semiestable E es irreducible y modular (para algún número primo p> 2), entonces sujeto a algunas condiciones técnicas, E es modular. Este es el teorema de elevación de Wiles (o teorema de elevación de modularidad ), un logro importante y revolucionario en ese momento.	Fundamentalmente, este resultado no solo muestra que las representaciones modulares irreductibles implican curvas modulares. También significa que podemos probar que una representación es modular usando cualquier número primo> 2 que encontremos más fácil de usar (porque probarlo para un solo primo> 2 lo demuestra para todos los primos> 2). Entonces podemos intentar probar que todas nuestras curvas elípticas son modulares usando un número primo como p , pero si no logramos probar esto para todas las curvas elípticas, tal vez podamos probar el resto eligiendo diferentes números primos como 'p' para los casos difíciles. La prueba debe cubrir las representaciones de Galois de todas las curvas elípticas semiestables E , pero para cada curva individual, solo necesitamos probar que es modular usando un número primo p .)
Parte 3: Demostrar que todas las curvas elípticas semiestables son modulares
7	Una vez probado el teorema de elevación, volvemos al problema original. Clasificaremos todas las curvas elípticas semiestables en función de la reducibilidad de sus representaciones de Galois y utilizaremos el poderoso teorema de elevación en los resultados. Desde arriba, no importa qué primo se elija para las representaciones. Podemos usar cualquier número primo que sea más fácil. 3 es el número primo más pequeño más que 2, y ya se ha trabajado en representaciones de curvas elípticas usando ρ ( E , 3), por lo que elegir 3 como nuestro número primo es un punto de partida útil. Wiles descubrió que era más fácil probar que la representación era modular eligiendo un primo p = 3 en los casos en que la representación ρ ( E , 3) es irreducible, pero la prueba cuando ρ ( E , 3) es reducible era más fácil de probar. eligiendo p  = 5. Entonces, la prueba se divide en dos en este punto.	El uso de la prueba de p = 3 yp = 5 a continuación, es el llamado "interruptor 3/5" al que se hace referencia en algunas descripciones de la prueba, que Wiles notó en un artículo de Mazur en 1993, aunque el truco en sí data se remonta al siglo XIX. Desde entonces, el cambio entre p = 3 yp = 5 ha abierto un área de estudio significativa por derecho propio (ver la conjetura de modularidad de Serre ) .
8	Si la representación de Galois ρ ( E , 3) (es decir, usando p  = 3) es irreducible, entonces se sabía desde alrededor de 1980 que su representación de Galois también es siempre modular. Wiles usa su teorema de elevación de modularidad para simplificar este caso: Si la representación ρ ( E , 3) es irreducible, entonces sabemos que la representación también es modular (Langlands y Tunnell), pero ... ... si la representación es irreducible y modular, entonces E es modular (teorema de elevación de la modularidad).	Langlands y Tunnell demostraron esto en dos artículos a principios de la década de 1980. La prueba se basa en el hecho de que ρ ( E , 3) tiene el mismo grupo de simetría que la ecuación cuártica general en una variable, que era una de las pocas clases generales de ecuaciones diofánticas conocidas en ese momento como modular. Este resultado existente para p = 3 es crucial para el enfoque de Wiles y es una de las razones para usar inicialmente p = 3.
9	Así que ahora consideramos qué sucede si ρ ( E , 3) es reducible. Wiles descubrió que cuando la representación de una curva elíptica usando p = 3 es reducible, era más fácil trabajar con p = 5 y usar su nuevo teorema de elevación para demostrar que ρ ( E , 5) siempre será modular, que intentar y demuestre directamente que ρ ( E , 3) en sí mismo es modular (recordando que solo necesitamos probarlo para un primo).	5 es el siguiente número primo después de 3, y se puede usar cualquier número primo, ¿quizás 5 sea un número primo más fácil de trabajar que 3? Pero inicialmente parece inútil probar que ρ ( E , 5) es siempre modular, por la misma razón por la que la ecuación quíntica general no puede resolverse mediante radicales. Así que Wiles tiene que encontrar una forma de evitar esto.
9.1	Si ρ ( E , 3) y ρ ( E , 5) son reducibles, Wiles demostró directamente que ρ ( E , 5) debe ser modular.
9.2	El último caso es si ρ ( E , 3) es reducible y ρ ( E , 5) es irreducible. Wiles mostró que en este caso, siempre se podría encontrar otra curva elíptica semiestable F tal que la representación ρ ( F , 3) sea irreductible y además las representaciones ρ ( E , 5) y ρ ( F , 5) sean isomorfas (tienen estructuras idénticas). - La primera de estas propiedades muestra que F debe ser modular (Langlands y Tunnell nuevamente: todas las representaciones irreducibles con p = 3 son modulares). - Si F es modular, entonces sabemos que ρ ( F , 5) también debe ser modular. - Pero debido a que las representaciones de E y F con p  = 5 tienen exactamente la misma estructura, y sabemos que ρ ( F , 5) es modular, ρ ( E , 5) también debe ser modular.
9.3	Por tanto, si ρ ( E , 3) es reducible, hemos demostrado que ρ ( E , 5) siempre será modular. Pero si ρ ( E , 5) es modular, entonces el teorema de elevación de la modularidad muestra que E en sí mismo es modular.	Este paso muestra el poder real del teorema de elevación de la modularidad.
Resultados
10	Ahora hemos demostrado que sea o no ρ ( E , 3) irreductible, E (que podría ser cualquier curva elíptica semiestable) siempre será modular. Esto significa que todas las curvas elípticas semiestables deben ser modulares. Esto demuestra: (a) La conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para curvas elípticas semiestables; y también (b) Debido a que no puede haber una contradicción, también prueba que los tipos de curvas elípticas descritas por Frey no pueden existir realmente. Por lo tanto, tampoco pueden existir soluciones para la ecuación de Fermat, por lo que el último teorema de Fermat también es cierto.	Tenemos nuestra prueba por contradicción, porque hemos probado que si el último teorema de Fermat es incorrecto, podríamos crear una curva elíptica semiestable que no puede ser modular (teorema de Ribet) y debe ser modular (Wiles). Como no pueden ser ambos, la única respuesta es que no existe tal curva.

Detalle matemático de la prueba de Wiles

Visión general

Wiles optó por intentar hacer coincidir las curvas elípticas con un conjunto contable de formas modulares. Encontró que este enfoque directo no funcionaba, por lo que transformó el problema haciendo coincidir las representaciones de Galois de las curvas elípticas con formas modulares. Wiles denota esta coincidencia (o mapeo) que, más específicamente, es un homomorfismo de anillo :

${\ Displaystyle R_ {n} \ rightarrow \ mathbf {T} _ {n}.}$

${\ Displaystyle R}$es un anillo de deformación y es un anillo de Hecke . ${\ Displaystyle \ mathbf {T}}$

Wiles tuvo la idea de que en muchos casos este homomorfismo de anillo podría ser un isomorfismo de anillo (Conjetura 2.16 del Capítulo 2, §3 del artículo de 1995). Se dio cuenta de que el mapa entre y es un isomorfismo si y solo si dos grupos abelianos que aparecen en la teoría son finitos y tienen la misma cardinalidad . En ocasiones, esto se denomina "criterio numérico". Dado este resultado, el último teorema de Fermat se reduce a la afirmación de que dos grupos tienen el mismo orden. Gran parte del texto de la demostración conduce a temas y teoremas relacionados con la teoría de anillos y la teoría de la conmutación . El objetivo de Wiles era verificar que el mapa es un isomorfismo y, en última instancia, eso . Al tratar las deformaciones, Wiles definió cuatro casos, y el caso de la deformación plana requirió más esfuerzo para probarlo y se trató en un artículo separado en el mismo volumen titulado "Propiedades de la teoría de anillos de ciertas álgebras de Hecke". ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \ mathbf {T}}$${\ Displaystyle R \ rightarrow \ mathbf {T}}$${\ Displaystyle R = \ mathbf {T}}$

Gerd Faltings , en su boletín, da el siguiente diagrama conmutativo (p. 745):

o finalmente eso , indicando una intersección completa . Desde Wiles no pudo demostrar que directamente, lo hizo a través y por medio de ascensores . ${\ Displaystyle R = \ mathbf {T}}$${\ Displaystyle R = \ mathbf {T}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {3}, \ mathbf {F} _ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbf {T} / {\ mathfrak {m}}}$

Para realizar este emparejamiento, Wiles tuvo que crear una fórmula de número de clase (CNF). Primero intentó utilizar la teoría horizontal de Iwasawa, pero esa parte de su trabajo tenía un problema sin resolver, por lo que no podía crear un CNF. A finales del verano de 1991, se enteró de un sistema Euler desarrollado recientemente por Victor Kolyvagin y Matthias Flach que parecía "hecho a medida" para la parte inductiva de su demostración, que podría utilizarse para crear un CNF, por lo que Wiles estableció Su trabajo de Iwasawa a un lado y comenzó a trabajar para extender el trabajo de Kolyvagin y Flach en su lugar, con el fin de crear el CNF que su prueba requeriría. Para la primavera de 1993, su trabajo había cubierto todas las familias de curvas elípticas, excepto unas pocas, y a principios de 1993, Wiles estaba lo suficientemente seguro de su próximo éxito como para dejar que un colega de confianza entrara en su secreto. Dado que su trabajo se basaba en gran medida en el uso del enfoque Kolyvagin-Flach, que era nuevo para las matemáticas y para Wiles, y que también había extendido, en enero de 1993 le pidió a su colega de Princeton, Nick Katz , que lo ayudara a revisar su trabajo en busca de errores sutiles. . Su conclusión en ese momento fue que las técnicas que usó Wiles parecían funcionar correctamente.

Más tarde se descubrió que el uso de Kolyvagin-Flach por parte de Wiles fue el punto de falla en la presentación de la prueba original, y finalmente tuvo que volver a la teoría de Iwasawa y una colaboración con Richard Taylor para solucionarlo. En mayo de 1993, mientras leía un artículo de Mazur, Wiles tuvo la idea de que el interruptor 3/5 resolvería los problemas finales y luego cubriría todas las curvas elípticas.

Enfoque y estrategia general

Dada una curva elíptica E sobre el campo Q de números racionales , para cada potencia prima , existe un homomorfismo del grupo de Galois absoluto${\ Displaystyle E ({\ bar {\ mathbf {Q}}})}$${\ Displaystyle \ ell ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ bar {\ mathbf {Q}}} / \ mathbf {Q})}$

para

${\ Displaystyle \ operatorname {GL} _ {2} (\ mathbf {Z} / l ^ {n} \ mathbf {Z}),}$

el grupo de matrices invertibles de 2 por 2 cuyas entradas son números enteros módulo . Esto se debe a que , los puntos de E encima , forman un grupo abeliano , sobre el que actúa; el subgrupo de elementos x tal que es justo , y un automorfismo de este grupo es una matriz del tipo descrito. ${\ Displaystyle \ ell ^ {n}}$${\ Displaystyle E ({\ bar {\ mathbf {Q}}})}$${\ Displaystyle {\ bar {\ mathbf {Q}}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ bar {\ mathbf {Q}}} / \ mathbf {Q})}$${\ Displaystyle \ ell ^ {n} x = 0}$${\ Displaystyle (\ mathbf {Z} / \ ell ^ {n} \ mathbf {Z}) ^ {2}}$

Menos obvio es que dada una forma modular de un cierto tipo especial, una forma propia de Hecke con valores propios en Q , también se obtiene un homomorfismo del grupo de Galois absoluto.

${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ bar {\ mathbf {Q}}} / \ mathbf {Q}) \ rightarrow \ operatorname {GL} _ {2} (\ mathbf {Z} / l ^ {n} \ mathbf {Z}).}$

Esto se remonta a Eichler y Shimura. La idea es que el grupo de Galois actúe primero sobre la curva modular sobre la que se define la forma modular, de allí sobre la variedad jacobiana de la curva y finalmente sobre los puntos de orden de poder sobre esa jacobiana. La representación resultante no suele ser bidimensional, pero los operadores de Hecke recortan una pieza bidimensional. Es fácil demostrar que estas representaciones provienen de alguna curva elíptica pero lo contrario es la parte difícil de probar. ${\ Displaystyle \ ell ^ {n}}$

En lugar de tratar de ir directamente de la curva elíptica a la forma modular, se puede pasar primero a la representación por alguna ℓ y n , y de ésta a la forma modular. En el caso ℓ  = 3 yn  = 1, los resultados del teorema de Langlands-Tunnell muestran que la representación de cualquier curva elíptica sobre Q proviene de una forma modular. La estrategia básica es utilizar la inducción en n para demostrar que esto es cierto para ℓ  = 3 y cualquier n , que en última instancia hay una única forma modular que funciona para todos los n. Para hacer esto, se usa un argumento de conteo, comparando el número de formas en las que se puede levantar una representación de Galois y la cantidad de formas en las que se puede levantar una forma modular. Un punto esencial es imponer un conjunto suficiente de condiciones a la representación de Galois; de lo contrario, habrá demasiados ascensores y la mayoría no serán modulares. Estas condiciones deben cumplirse para las representaciones provenientes de formas modulares y las provenientes de curvas elípticas. ${\ Displaystyle (\ mathrm {mod} \, \ ell ^ {n})}$${\ Displaystyle (\ mathrm {mod} \, 3)}$${\ Displaystyle (\ mathrm {mod} \, \ ell ^ {n})}$${\ Displaystyle (\ mathrm {mod} \, \ ell ^ {n + 1})}$${\ Displaystyle (\ mathrm {mod} \, \ ell ^ {n})}$

3-5 truco

Si la representación original tiene una imagen que es demasiado pequeña, uno tiene problemas con el argumento de elevación, y en este caso, hay un truco final que desde entonces ha sido estudiado con mayor generalidad en el trabajo posterior sobre la Conjetura de la modularidad de Serre . La idea implica la interacción entre las representaciones y . En particular, si el mod-5 representación Galois asociado a una curva semiestable elíptica E sobre Q es irreducible, entonces hay otra curva elíptica semiestable E' sobre Q tal que su mod-5 representación Galois asociado es isomorfo a y tal que su asociado La representación mod-3 de Galois es irreducible (y por lo tanto modular por Langlands-Tunnell). ${\ Displaystyle (\ mathrm {mod} \, 3)}$${\ Displaystyle (\ mathrm {mod} \, 3)}$${\ Displaystyle (\ mathrm {mod} \, 5)}$${\ Displaystyle {\ overline {\ rho}} _ {E, 5}}$${\ Displaystyle {\ overline {\ rho}} _ {E ', 5}}$${\ Displaystyle {\ overline {\ rho}} _ {E, 5}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ rho}} _ {E, 3}}$

Estructura de la prueba de Wiles

En su artículo de 108 páginas publicado en 1995, Wiles divide el tema en los siguientes capítulos (precedidos aquí por números de página):

Introducción

443

Capítulo 1

455 1. Deformaciones de las representaciones de Galois

472 2. Algunos cálculos de grupos de cohomología

475 3. Algunos resultados sobre subgrupos de GL ₂ (k)

Capitulo 2

479 1. La propiedad de Gorenstein

489 2. Congruencias entre anillos de Hecke

503 3. Las principales conjeturas

Capítulo 3

517 Estimaciones para el grupo Selmer

Capítulo 4

525 1. El caso CM ordinario

533 2. Cálculo de η

Capítulo 5

541 Aplicación a curvas elípticas

Apéndice

545 anillos de Gorenstein e intersecciones locales completas

Gerd Faltings posteriormente proporcionó algunas simplificaciones a la demostración de 1995, principalmente al cambiar de construcciones geométricas a construcciones algebraicas bastante más simples. El libro de la conferencia de Cornell también contenía simplificaciones de la prueba original.

Resúmenes disponibles en la literatura

El artículo de Wiles tiene más de 100 páginas y, a menudo, utiliza los símbolos y notaciones especializados de la teoría de grupos , la geometría algebraica , el álgebra conmutativa y la teoría de Galois . Los matemáticos que ayudaron a sentar las bases de Wiles a menudo crearon nuevos conceptos especializados y jerga técnica .

Entre las presentaciones introductorias se encuentran un correo electrónico que Ribet envió en 1993; La revisión rápida de Hesselink de cuestiones de nivel superior, que proporciona solo el álgebra elemental y evita el álgebra abstracta; o la página web de Daney, que proporciona un conjunto de sus propias notas y enumera los libros actuales disponibles sobre el tema. Weston intenta proporcionar un mapa útil de algunas de las relaciones entre los sujetos. El artículo de 1994 de FQ Gouvêa "Una prueba maravillosa", que repasa algunos de los temas requeridos, ganó un premio Lester R. Ford de la Asociación Matemática de América . El boletín técnico de 5 páginas de Faltings sobre el tema es una revisión rápida y técnica de la prueba para el no especialista. Para aquellos en busca de un libro disponible comercialmente para guiarlos, recomendó que aquellos familiarizados con el álgebra abstracta leyeran Hellegouarch, luego leyeran el libro de Cornell, que se afirma que es accesible para "un estudiante graduado en teoría de números". El libro de Cornell no cubre la totalidad de la prueba de Wiles.

Referencias

Bibliografía

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• Cornell, Gary (1 de enero de 1998). Formas modulares y último teorema de Fermat . ISBN 978-0-387-94609-2. Zbl  0878.11004 . (Cornell, et al.)
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• Simon Singh "Toda la historia" . Archivado desde el original el 10 de mayo de 2011. Versión editada de un ensayo de unas 2000 palabras publicado en la revista Prometheus, que describe el exitoso viaje de Andrew Wiles.
• Richard Taylor y Andrew Wiles (mayo de 1995). "Propiedades de la teoría de anillos de ciertas álgebras de Hecke". Annals of Mathematics . 141 (3): 553–572. CiteSeerX  10.1.1.128.531 . ISSN  0003-486X . JSTOR  2118560 . OCLC  37032255 . Zbl  0823.11030 .
• Wiles, Andrew (1995). "Curvas elípticas modulares y último teorema de Fermat". Annals of Mathematics . 141 (3): 443–551. CiteSeerX  10.1.1.169.9076 . doi : 10.2307 / 2118559 . ISSN  0003-486X . JSTOR  2118559 . OCLC  37032255 . Zbl  0823.11029 .

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Último teorema de Fermat" . MathWorld .
• "La Prueba" .El título de una edición de la serie de televisión de PBS NOVA analiza el esfuerzo de Andrew Wiles para demostrar el último teorema de Fermat que se transmitió en BBC Horizon y UTV / Documentary como el último teorema de Fermat ( Adobe Flash ) (se requiere suscripción)
• El último teorema de Wiles, Ribet, Shimura – Taniyama – Weil y Fermat
• ¿Están finalmente los matemáticos satisfechos con la demostración de Andrew Wiles del último teorema de Fermat? ¿Por qué este teorema ha sido tan difícil de demostrar? , Scientific American , 21 de octubre de 1999

Explicaciones de la prueba (diferentes niveles)

• Descripción general de la prueba de Wiles, accesible a los no expertos, por Henri Darmon
• Muy breve resumen de la prueba de Charles Daney
• Trabajo de 140 páginas de los estudiantes de la prueba, con ejercicios, por Nigel Boston