Teorema de modularidad - Modularity theorem
Campo | Teoría de los números |
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Conjeturado por |
Yutaka Taniyama Goro Shimura |
Conjeturado en | 1957 |
Primera prueba por |
Christophe Breuil Brian Conrad Fred Diamond Richard Taylor |
Primera prueba en | 2001 |
Consecuencias | Último teorema de Fermat |
El teorema de modularidad (anteriormente llamado conjetura de Taniyama-Shimura , conjetura de Taniyama-Weil o conjetura de modularidad para curvas elípticas ) establece que las curvas elípticas sobre el campo de los números racionales están relacionadas con formas modulares . Andrew Wiles demostró el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables , que fue suficiente para implicar el último teorema de Fermat . Más tarde, una serie de artículos de los antiguos alumnos de Wiles, Brian Conrad , Fred Diamond y Richard Taylor , que culminaron en un artículo conjunto con Christophe Breuil , ampliaron las técnicas de Wiles para demostrar el teorema de modularidad completo en 2001.
Declaración
Los teorema estados que cualquier curva elíptica sobre puede obtenerse a través de un mapa racional con enteros coeficientes de la curva modular clásico para algún entero ; esta es una curva con coeficientes enteros con una definición explícita. Este mapeo se denomina parametrización modular de nivel . Si es el entero más pequeño para el que se puede encontrar dicha parametrización (que por el teorema de la modularidad en sí se conoce ahora como un número llamado conductor ), entonces la parametrización puede definirse en términos de un mapeo generado por un tipo particular de módulo modular. forma de peso dos y nivel , una nueva forma normalizada con extensión entera , seguida si es necesario por una isogenia .
Declaraciones relacionadas
El teorema de la modularidad implica un enunciado analítico estrechamente relacionado:
A cada curva elíptica E sobre podemos adjuntar una serie L correspondiente . Los -series es una serie de Dirichlet , comúnmente escritos
La función generadora de los coeficientes es entonces
Si hacemos la sustitución
vemos que hemos escrito la expansión de Fourier de una función de la variable compleja , por lo que los coeficientes de la serie -también se consideran los coeficientes de Fourier de . La función obtenida de esta manera es, notablemente, una forma de cúspide de peso dos y nivel y también es una forma propia (un vector propio de todos los operadores de Hecke ); esta es la conjetura de Hasse-Weil , que se sigue del teorema de modularidad.
Algunas formas modulares de peso dos, a su vez, corresponden a diferenciales holomórficos para una curva elíptica. El jacobiano de la curva modular puede (hasta isogenia) escribirse como un producto de variedades abelianas irreducibles , correspondientes a formas propias de Hecke de peso 2. Los factores unidimensionales son curvas elípticas (también puede haber factores de dimensiones superiores, por lo que no todas las formas propias de Hecke corresponden a curvas elípticas racionales). La curva obtenida al encontrar la forma de cúspide correspondiente y luego construir una curva a partir de ella, es isógena a la curva original (pero no, en general, isomórfica a ella).
Historia
Yutaka Taniyama declaró una versión preliminar (ligeramente incorrecta) de la conjetura en el simposio internacional de 1955 sobre teoría algebraica de números en Tokio y Nikkō . Goro Shimura y Taniyama trabajaron para mejorar su rigor hasta 1957. André Weil redescubrió la conjetura y mostró que se seguiría de las (conjeturadas) ecuaciones funcionales para algunas series retorcidas de la curva elíptica; esta fue la primera evidencia seria de que la conjetura podría ser cierta. Weil también mostró que el conductor de la curva elíptica debe ser el nivel de la forma modular correspondiente. La conjetura de Taniyama-Shimura-Weil se convirtió en parte del programa Langlands .
La conjetura atrajo un interés considerable cuando Gerhard Frey sugirió que implica el último teorema de Fermat . Hizo esto al intentar mostrar que cualquier contraejemplo del último teorema de Fermat implicaría la existencia de al menos una curva elíptica no modular. Este argumento se completó cuando Jean-Pierre Serre identificó un eslabón perdido (ahora conocido como la conjetura épsilon o teorema de Ribet) en el trabajo original de Frey, seguido dos años más tarde por la finalización de Ken Ribet de una prueba de la conjetura épsilon.
Incluso después de recibir una atención seria, la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil fue vista por los matemáticos contemporáneos como extraordinariamente difícil de probar o tal vez incluso inaccesible de probar. Por ejemplo, el Ph.D. de Wiles. El supervisor John Coates afirma que parecía "imposible de probar", y Ken Ribet se consideraba a sí mismo "una de la gran mayoría de personas que creían que era completamente inaccesible".
Andrew Wiles, con la ayuda de Richard Taylor , demostró la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para todas las curvas elípticas semiestables , que usó para demostrar el último teorema de Fermat, y la conjetura completa de Taniyama-Shimura-Weil finalmente fue probada por Diamond, Conrad, Diamond & Taylor; y Breuil, Conrad, Diamond & Taylor; sobre la base del trabajo de Wiles, fue eliminando gradualmente los casos restantes hasta que se probó el resultado completo.
Una vez probada por completo, la conjetura se conoció como el teorema de la modularidad.
Varios teoremas de la teoría de números similares al último teorema de Fermat se derivan del teorema de modularidad. Por ejemplo: no cubo puede escribirse como la suma de dos coprimas poderes -ésimos, . (El caso ya lo conocía Euler ).
Generalizaciones
El teorema de modularidad es un caso especial de conjeturas más generales debido a Robert Langlands . El programa Langlands busca adjuntar una forma automórfica o representación automórfica (una generalización adecuada de una forma modular) a objetos más generales de geometría aritmética algebraica, como a cada curva elíptica sobre un campo numérico . La mayoría de los casos de estas conjeturas extendidas aún no se han probado. Sin embargo, Freitas, Le Hung & Siksek demostraron que las curvas elípticas definidas sobre campos cuadráticos reales son modulares.
Notas
Referencias
- Breuil, Christophe; Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (2001), "Sobre la modularidad de las curvas elípticas sobre Q : ejercicios 3-ádicos salvajes", Journal of the American Mathematical Society , 14 (4): 843–939, doi : 10.1090 / S0894-0347-01- 00370-8 , ISSN 0.894 hasta 0.347 , MR 1839918
- Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (1999), "Modularidad de ciertas representaciones potencialmente Barsotti-Tate Galois", Journal of the American Mathematical Society , 12 (2): 521–567, doi : 10.1090 / S0894-0347-99-00287-8 , ISSN 0894-0347 , MR 1639612
- Cornell, Gary; Silverman, Joseph H .; Stevens, Glenn, eds. (1997), Formas modulares y último teorema de Fermat , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94609-2, MR 1638473
- Darmon, Henri (1999), "Se anuncia una prueba de la conjetura completa de Shimura-Taniyama-Weil" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 46 (11): 1397-1401, ISSN 0002-9920 , MR 1723249Contiene una introducción suave al teorema y un bosquejo de la demostración.
- Diamond, Fred (1996), "Sobre anillos de deformación y anillos de Hecke", Annals of Mathematics , Second Series, 144 (1): 137-166, doi : 10.2307 / 2118586 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2118586 , MR 1405946
- Freitas, Nuno; Le Hung, Bao V .; Siksek, Samir (2015), "Las curvas elípticas sobre campos cuadráticos reales son modulares", Inventiones Mathematicae , 201 (1): 159-206, arXiv : 1310.7088 , Bibcode : 2015InMat.201..159F , doi : 10.1007 / s00222-014 -0550-z , ISSN 0020-9910 , Sr. 3359051
- Frey, Gerhard (1986), "Vínculos entre curvas elípticas estables y ciertas ecuaciones diofánticas", Annales Universitatis Saraviensis. Serie Mathematicae , 1 (1): iv + 40, ISSN 0933-8268 , MR 0853387
- Mazur, Barry (1991), "Teoría de números como tábano", The American Mathematical Monthly , 98 (7): 593–610, doi : 10.2307 / 2324924 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2324924 , MR 1121312 Analiza la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil 3 años antes de que se probara en una infinidad de casos.
- Ribet, Kenneth A. (1990), "Sobre representaciones modulares de Gal ( Q / Q) que surgen de formas modulares", Inventiones Mathematicae , 100 (2): 431–476, Bibcode : 1990InMat.100..431R , doi : 10.1007 / BF01231195 , hdl : 10338.dmlcz / 147454 , ISSN 0020-9910 , MR 1047143
- Serre, Jean-Pierre (1987), "Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal ( Q / Q)", Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179-230, doi : 10.1215 / S0012-7094-87-05413 -5 , ISSN 0012-7094 , MR 0885783
- Shimura, Goro (1989), "Yutaka Taniyama y su tiempo. Recuerdos muy personales", The Bulletin of the London Mathematical Society , 21 (2): 186-196, doi : 10.1112 / blms / 21.2.186 , ISSN 0024-6093 , MR 0976064
- Singh, Simon (1997), Último teorema de Fermat , ISBN 978-1-85702-521-7
- Taniyama, Yutaka (1956), "Problema 12", Sugaku (en japonés), 7 : 269Traducción al inglés en ( Shimura 1989 , p. 194)
- Taylor, Richard; Wiles, Andrew (1995), "Propiedades de la teoría del anillo de ciertas álgebras de Hecke", Annals of Mathematics , Second Series, 141 (3): 553–572, CiteSeerX 10.1.1.128.531 , doi : 10.2307 / 2118560 , ISSN 0003- 486x , JSTOR 2.118.560 , MR 1333036
- Weil, André (1967), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Mathematische Annalen , 168 : 149-156, doi : 10.1007 / BF01361551 , ISSN 0025-5831 , MR 0207658
- Wiles, Andrew (1995a), "Curvas elípticas modulares y último teorema de Fermat", Annals of Mathematics , Second Series, 141 (3): 443–551, CiteSeerX 10.1.1.169.9076 , doi : 10.2307 / 2118559 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2118559 , MR 1333035
- Wiles, Andrew (1995b), "Formas modulares, curvas elípticas y último teorema de Fermat", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. 1, 2 (Zúrich, 1994) , Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, págs. 243–245, MR 1403925
enlaces externos
- Darmon, H. (2001) [1994], "Conjetura de Shimura-Taniyama" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Weisstein, Eric W. "Conjetura de Taniyama-Shimura" . MathWorld .