Teoría de Iwasawa - Iwasawa theory
En teoría de números , la teoría de Iwasawa es el estudio de objetos de interés aritmético sobre torres infinitas de campos numéricos . Comenzó como una teoría modular de Galois de grupos de clases ideales , iniciada por Kenkichi Iwasawa ( 1959 ) (岩 澤 健 吉), como parte de la teoría de campos ciclotómicos . A principios de la década de 1970, Barry Mazur consideró las generalizaciones de la teoría de Iwasawa a las variedades abelianas . Más recientemente (principios de la década de 1990), Ralph Greenberg propuso una teoría de Iwasawa para los motivos .
Formulación
Iwasawa trabajó con las llamadas -extensiones: extensiones infinitas de un campo numérico con el grupo de Galois isomórfico al grupo aditivo de enteros p-ádicos para algún primo p . (Estos fueron llamados -extensiones en los primeros artículos.) Cada subgrupo cerrado de es de la forma así que según la teoría de Galois, una -extensión es lo mismo que una torre de campos
tal que Iwasawa estudió los módulos clásicos de Galois haciendo preguntas sobre la estructura de los módulos durante
De manera más general, la teoría de Iwasawa hace preguntas sobre la estructura de los módulos de Galois sobre extensiones con el grupo de Galois y un grupo de Lie p-ádico .
Ejemplo
Sea un número primo y sea el campo generado por las raíces de la unidad. Iwasawa consideró la siguiente torre de campos numéricos:
donde está el campo generado por contigua a la p n 1 raíces -sT de unidad y
El hecho que implica, por infinita teoría de Galois, que para obtener un módulo de Galois interesante, Iwasawa tomó el grupo de clases ideal de , y sea su parte p- torsión. Siempre hay mapas de normas y esto nos da los datos de un sistema inverso . Si ponemos
entonces no es difícil ver desde la construcción de límite inverso que es un módulo sobre De hecho, es un módulo sobre el álgebra de Iwasawa . Este es un anillo local regular bidimensional , y esto hace posible describir módulos sobre él. A partir de esta descripción es posible recuperar información sobre la p -parte del grupo de clases de
La motivación aquí es que la p- torsión en el grupo de clases ideal de ya había sido identificada por Kummer como la principal obstrucción para la demostración directa del último teorema de Fermat .
Conexiones con el análisis p-adic
Desde este comienzo en la década de 1950, se ha construido una teoría sustancial. Se notó una conexión fundamental entre la teoría del módulo y las funciones L p-ádicas que fueron definidas en la década de 1960 por Kubota y Leopoldt. Los últimos comienzan con los números de Bernoulli y utilizan la interpolación para definir los análogos p-ádicos de las funciones L de Dirichlet . Quedó claro que la teoría tenía perspectivas de avanzar finalmente a partir de los resultados centenarios de Kummer sobre números primos regulares .
Iwasawa formuló la conjetura principal de la teoría de Iwasawa como una afirmación de que dos métodos para definir funciones L p-ádicas (por teoría de módulos, por interpolación) deberían coincidir, en la medida en que eso esté bien definido. Esto fue probado por Mazur & Wiles (1984) para y para todos los campos de números totalmente reales por Wiles (1990) . Estas demostraciones se basaron en la demostración de Ken Ribet de lo contrario al teorema de Herbrand (el llamado teorema de Herbrand-Ribet ).
Karl Rubin encontró una prueba más elemental del teorema de Mazur-Wiles usando los sistemas Euler de Kolyvagin , descritos en Lang (1990) y Washington (1997) , y luego demostró otras generalizaciones de la conjetura principal para campos cuadráticos imaginarios.
Generalizaciones
El grupo de Galois de la torre infinita, el campo de partida y el tipo de módulo aritmético estudiado pueden variar. En cada caso, hay una conjetura principal que vincula la torre con una función L p -ádica.
En 2002, Christopher Skinner y Eric Urban afirmaron una prueba de una conjetura principal para GL (2). En 2010, publicaron una preimpresión ( Skinner & Urban 2010 ).
Ver también
Referencias
Fuentes
- Coates, J .; Sujatha, R. (2006), Campos ciclotómicos y valores Zeta , Monografías de Springer en matemáticas, Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33068-4, Zbl 1100.11002
- Greenberg, Ralph (2001), "Teoría de Iwasawa --- pasado y presente" , en Miyake, Katsuya (ed.), Teoría del campo de clases --- su centenario y perspectiva (Tokio, 1998) , Adv. Semental. Pure Math., 30 , Tokio: Math. Soc. Japón, págs. 335–385, ISBN 978-4-931469-11-2, MR 1846466 , Zbl 0.998,11054
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Citas
Otras lecturas
- de Shalit, Ehud (1987), teoría de Iwasawa de curvas elípticas con multiplicación compleja. p -adic L funciones , Perspectivas en Matemáticas, 3 , Boston, etc .: Academic Press, ISBN 978-0-12-210255-4, Zbl 0674.12004
enlaces externos
- "Teoría de Iwasawa" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]