Conjetura principal de la teoría de Iwasawa - Main conjecture of Iwasawa theory

Conjetura principal de la teoría de Iwasawa
Campo Teoría algebraica de números teoría de
Iwasawa
Conjeturado por Kenkichi Iwasawa
Conjeturado en 1969
Primera prueba por Barry Mazur
Andrew Wiles
Primera prueba en 1984

En matemáticas , la conjetura principal de la teoría de Iwasawa es una relación profunda entre p -adic L -Funciones y grupos de clase ideales de campos ciclotómicos , lo que prueba Kenkichi Iwasawa para números primos que satisfacen la conjetura Kummer-Vandiver y probadas para todos los números primos por Mazur y Wiles ( 1984 ). El teorema de Herbrand-Ribet y la conjetura de Gras son ambas consecuencias fáciles de la conjetura principal. Hay varias generalizaciones de la conjetura principal, a campos totalmente reales , campos CM , curvas elípticas , etc.

Motivación

Iwasawa (1969a) fue motivado en parte por una analogía con la descripción de Weil de la función zeta de una curva algebraica sobre un campo finito en términos de valores propios del endomorfismo de Frobenius en su variedad jacobiana . En esta analogía,

  • La acción del Frobenius corresponde a la acción del grupo Γ.
  • El jacobiano de una curva corresponde a un módulo X sobre Γ definido en términos de grupos de clases ideales.
  • La función zeta de una curva sobre un campo finito corresponde a una función L p -ádica.
  • El teorema de Weil que relaciona los valores propios de Frobenius con los ceros de la función zeta de la curva corresponde a la conjetura principal de Iwasawa que relaciona la acción del álgebra de Iwasawa sobre X con los ceros de la función zeta p -ádica.

Historia

La principal conjetura de la teoría de Iwasawa se formuló como una afirmación de que dos métodos para definir las funciones p -ádicas L (por la teoría del módulo, por interpolación) deberían coincidir, en la medida en que esté bien definido. Esto fue probado por Mazur & Wiles (1984) para Q , y para todos los campos numéricos totalmente reales por Wiles (1990) . Estas demostraciones se basaron en la demostración de Ken Ribet de lo contrario al teorema de Herbrand (el teorema de Herbrand-Ribet ).

Karl Rubin encontró una demostración más elemental del teorema de Mazur-Wiles usando el método de Thaine y los sistemas Euler de Kolyvagin , descritos en Lang (1990) y Washington (1997) , y luego demostró otras generalizaciones de la conjetura principal para campos cuadráticos imaginarios.

En 2014, Christopher Skinner y Eric Urban demostraron varios casos de las principales conjeturas para una gran clase de formas modulares . Como consecuencia, para una curva elíptica modular en los números racionales , que demuestran que la desaparición de la Hasse-Weil L -función de L ( E ,  s ) de E en s  = 1 implica que el p-adic grupo de Selmer de E es infinito. Combinado con los teoremas de Gross - Zagier y Kolyvagin , esto dio una prueba condicional (en la conjetura de Tate-Shafarevich ) de la conjetura de que E tiene infinitos puntos racionales si y solo si L ( E , 1) = 0, a (débil) forma de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer . Estos resultados fueron usados ​​por Manjul Bhargava , Skinner y Wei Zhang para demostrar que una proporción positiva de curvas elípticas satisface la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer .

Declaración

  • p es un número primo.
  • F n es el campo Q (ζ) donde ζ es una raíz de unidad de orden p n +1 .
  • Γ es el subgrupo más grande del grupo de Galois absoluto de F ∞ isomorfo a los enteros p -ádicos.
  • γ es un generador topológico de Γ
  • L n es el campo de clase p -Hilbert de F n .
  • H n es el grupo de Galois Gal ( L n / F n ), isomorfo al subgrupo de elementos del grupo de clases ideal de F n cuyo orden es una potencia de p .
  • H ∞ es el límite inverso de los grupos de Galois H n .
  • V es el espacio vectorial H ∞ ⊗ Z p Q p .
  • ω es el personaje de Teichmüller .
  • V i es el ω i espacio característico de V .
  • h p (ω i , T ) es el polinomio característico de γ que actúa sobre el espacio vectorial V i
  • L p es la función L p-ádica con L p (ω i , 1– k ) = –B k (ω i - k ) / k , donde B es un número de Bernoulli generalizado .
  • u es el número p-ádico único que satisface γ (ζ) = ζ u para todas las raíces de potencia p de la unidad ζ
  • G p es la serie de potencias con G p (ω i , u s –1) = L p (ω i , s )

La conjetura principal de la teoría de Iwasawa probada por Mazur y Wiles establece que si i es un número entero impar no congruente con 1 mod p –1 entonces los ideales de Z p - T - generados por h p (ω i , T ) y G p ( ω 1– i , T ) son iguales.

Notas

Fuentes