Conjetura de Kummer-Vandiver - Kummer–Vandiver conjecture

En matemáticas , la conjetura de Kummer-Vandiver , o conjetura de Vandiver , establece que un primo p no divide el número de clase h _K del subcampo real máximo del p - ésimo campo ciclotómico . La conjetura fue hecha por primera vez por Ernst Kummer el 28 de diciembre de 1849 y el 24 de abril de 1853 en cartas a Leopold Kronecker , reimpresas en ( Kummer 1975 , páginas 84, 93, 123-124), y redescubiertas independientemente alrededor de 1920 por Philipp Furtwängler y Harry Vandiver  ( 1946 , pág.576), ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{p})^{+}}$

A partir de 2011, no hay pruebas particularmente sólidas a favor o en contra de la conjetura y no está claro si es verdadera o falsa, aunque es probable que los contraejemplos sean muy raros.

Fondo

El número de clase h del campo ciclotómico es un producto de dos números enteros h ₁ y h ₂ , llamados el primer y segundo factores del número de clase, donde h ₂ es el número de clase del subcampo real máximo del p - ésimo campo ciclotómico . El primer factor h ₁ se comprende bien y se puede calcular fácilmente en términos de números de Bernoulli , y suele ser bastante grande. El segundo factor h ₂ no se comprende bien y es difícil de calcular explícitamente, y en los casos en que se ha calculado suele ser pequeño. ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{p})^{+}}$

Kummer demostró que si un primo p no divide el número de clase h , entonces el último teorema de Fermat es válido para el exponente p .

La conjetura de Kummer-Vandiver establece que p no divide el segundo factor h ₂ . Kummer demostró que si p divide el segundo factor, también divide el primer factor. En particular, la conjetura de Kummer-Vandiver es válida para los números primos regulares (aquellos para los que p no divide el primer factor).

Evidencia a favor y en contra de la conjetura de Kummer-Vandiver

Kummer verificó la conjetura de Kummer-Vandiver para p menor que 200, y Vandiver extendió esto a p menor que 600. Joe Buhler, Richard Crandall y Reijo Ernvall et al. ( 2001 ) lo verificó para p <12 millones. Buhler y Harvey (2011) ampliaron esto a números primos inferiores a 163 millones, y Hart, Harvey y Ong (2017) ampliaron esto a números primos inferiores a 2 ³¹ .

Washington (1996 , p. 158) describe un argumento de probabilidad informal, basado en suposiciones bastante dudosas sobre la equidistribución de los números de clase mod p , lo que sugiere que el número de primos menores que x que son excepciones a la conjetura de Kummer-Vandiver podría crecer como ( 1/2) log log  x . Esto crece muy lentamente y sugiere que los cálculos de la computadora no proporcionan mucha evidencia para la conjetura de Vandiver: por ejemplo, el argumento de probabilidad (combinado con los cálculos para pequeños números primos) sugiere que uno solo debería esperar alrededor de 1 contraejemplo en los primeros 10 ¹⁰⁰ números primos. , lo que sugiere que es poco probable que se encuentre un contraejemplo mediante búsquedas adicionales de fuerza bruta, incluso si hay un número infinito de excepciones.

Schoof (2003) dio cálculos conjeturales de los números de clase de campos ciclotómicos reales para primos hasta 10000, lo que sugiere fuertemente que los números de clase no están distribuidos aleatoriamente mod p . Tienden a ser bastante pequeños ya menudo son solo 1. Por ejemplo, asumiendo la hipótesis de Riemann generalizada , el número de clase del campo ciclotómico real para el primo p es 1 para p <163, y divisible por 4 para p = 163. Esto sugiere que el argumento informal de probabilidad de Washington contra la conjetura puede ser engañoso.

Mihăilescu (2010) dio una versión refinada del argumento heurístico de Washington, sugiriendo que la conjetura de Kummer-Vandiver es probablemente cierta.

Consecuencias de la conjetura de Kummer-Vandiver

Kurihara (1992) mostró que la conjetura es equivalente a un enunciado en la teoría algebraica K de los enteros, a saber, que K _n ( Z ) = 0 siempre que n es un múltiplo de 4. De hecho, a partir de la conjetura de Kummer-Vandiver y la El teorema de isomorfismo de residuo normativo sigue un cálculo conjetural completo de los grupos K para todos los valores de n ; ver la conjetura de Quillen-Lichtenbaum para más detalles.

Ver también

• Primos regulares e irregulares

Referencias

• Buhler, Joe ; Crandall, Richard ; Ernvall, Reijo; Metsänkylä, Tauno; Shokrollahi, M. Amin (2001), Bosma, Wieb (ed.), "Primos irregulares e invariantes ciclotómicas hasta 12 millones", Álgebra computacional y teoría de números (Actas de la 2da Conferencia Internacional de Magma celebrada en la Universidad de Marquette, Milwaukee, WI, 12-16 de mayo de 1996), Journal of Symbolic Computation , 31 (1): 89-96, doi : 10.1006 / jsco.1999.1011 , ISSN  0747-7171 , MR  1806208
• Ghate, Eknath (2000), "Conjetura de Vandiver a través de la teoría K" (PDF) , en Adhikari, SD; Katre, SA; Thakur, Dinesh (eds.), Cyclotomic fields and related topics , Proceedings of the Summer School on Cyclotomic Fields, celebrada en Pune, del 7 al 30 de junio de 1999, Bhaskaracharya Pratishthana, Pune, págs. 285–298, MR  1802389
• Buhler, JP ; Harvey, D. (2011), "Primos irregulares hasta 163 millones", Mathematics of Computation , 80 (276): 2435–2444, doi : 10.1090 / S0025-5718-2011-02461-0 , MR  2813369
• Hart, William; Harvey, David; Ong, Wilson (2017), "Primos irregulares hasta dos mil millones", Matemáticas de la computación , 86 : 3031–3049, arXiv : 1605.02398 , doi : 10.1090 / mcom / 3211 , MR  3667037
• Kummer, Ernst Eduard (1975), Weil, André (ed.), Artículos recopilados. Volumen 1: Contribuciones a la teoría de números , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-06835-0, MR  0465760
• Kurihara, Masato (1992), "Algunas observaciones sobre conjeturas sobre campos ciclotómicos y grupos K de Z" , Compositio Mathematica , 81 (2): 223-236, ISSN  0010-437X , MR  1145807
• Mihăilescu, Preda (2010), Cambiando la heurística de Washington a favor de la conjetura de Vandiver , arXiv : 1011.6283 , Bibcode : 2010arXiv1011.6283M
• Schoof, René (2003), "Números de clase de campos ciclotómicos reales de conductor principal", Matemáticas de Computación , 72 (242): 913–937, doi : 10.1090 / S0025-5718-02-01432-1 , ISSN  0025-5718 , Señor  1954975
• Vandiver, HS (1946), "El último teorema de Fermat. Su historia y la naturaleza de los resultados conocidos relacionados con él", The American Mathematical Monthly , 53 (10): 555–578, doi : 10.1080 / 00029890.1946.11991754 , ISSN  0002- 9890 , JSTOR  2.305.236 , MR  0018660
• Washington, Lawrence C. (1996), Introducción a los campos ciclotómicos , Springer, ISBN 978-0-387-94762-4