Función Weierstrass - Weierstrass function

No debe confundirse con la función elíptica de Weierstrass ( ) o las funciones sigma, zeta o eta de Weierstrass .${\ Displaystyle \ wp}$

Gráfico de la función de Weierstrass sobre el intervalo [−2, 2]. Como otros fractales , la función exhibe auto-similitud : cada zoom (círculo rojo) es similar a la trama global.

En matemáticas , la función de Weierstrass es un ejemplo de una función de valor real que es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna parte. Es un ejemplo de curva fractal . Lleva el nombre de su descubridor Karl Weierstrass .

La función de Weierstrass ha cumplido históricamente el papel de una función patológica , siendo el primer ejemplo publicado (1872) creado específicamente para desafiar la noción de que toda función continua es diferenciable excepto en un conjunto de puntos aislados. La demostración de Weierstrass de que la continuidad no implicaba diferenciabilidad en casi todas partes puso patas arriba las matemáticas, anulando varias pruebas que se basaban en la intuición geométrica y las vagas definiciones de suavidad . Este tipo de funciones fueron denunciadas por los contemporáneos: Henri Poincaré las describió como "monstruos" y calificó la obra de Weierstrass como "un ultraje contra el sentido común", mientras que Charles Hermite escribió que eran un "flagelo lamentable". Las funciones eran imposibles de visualizar hasta la llegada de las computadoras en el siglo siguiente, y los resultados no obtuvieron una amplia aceptación hasta que las aplicaciones prácticas, como los modelos de movimiento browniano, requirieron funciones infinitamente dentadas (hoy en día conocidas como curvas fractales).

Construcción

Animación basada en el aumento del valor b de 0,1 a 5.

En el artículo original de Weierstrass, la función se definió como una serie de Fourier :

${\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a ^ {n} \ cos (b ^ {n} \ pi x),}$

donde , es un entero impar positivo, y ${\ Displaystyle 0 <a <1}$${\ Displaystyle b}$

${\ Displaystyle ab> 1 + {\ frac {3} {2}} \ pi.}$

El valor mínimo de para el que existe tal que se satisfacen estas restricciones es . Esta construcción, junto con la prueba de que la función no es diferenciable en ningún intervalo, fue presentada por primera vez por Weierstrass en un documento presentado a la Königliche Akademie der Wissenschaften el 18 de julio de 1872. ${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle 0 <a <1}$${\ Displaystyle b = 7}$

A pesar de no ser nunca diferenciable, la función es continua: dado que los términos de la serie infinita que la define están delimitados por ± a ⁿ y esta tiene suma finita para 0 < a <1, la convergencia de la suma de los términos es uniforme por la Weierstrass Prueba M con M _n = a ⁿ . Dado que cada suma parcial es continua, según el teorema del límite uniforme , se deduce que f es continua. Además, dado que cada suma parcial es uniformemente continua , se deduce que f también es uniformemente continua.

Podría esperarse que una función continua deba tener una derivada, o que el conjunto de puntos en los que no es diferenciable sea numerablemente infinito o finito. Según Weierstrass en su artículo, los matemáticos anteriores, incluido Gauss, a menudo habían asumido que esto era cierto. Esto puede deberse a que es difícil dibujar o visualizar una función continua cuyo conjunto de puntos no diferenciables es algo diferente a un conjunto de puntos contables. Existen resultados análogos para clases de funciones continuas con mejor comportamiento, por ejemplo, las funciones de Lipschitz , cuyo conjunto de puntos de no diferenciabilidad debe ser un conjunto nulo de Lebesgue ( teorema de Rademacher ). Cuando tratamos de dibujar una función continua general, generalmente dibujamos la gráfica de una función que es Lipschitz o que se comporta bien.

La función Weierstrass fue uno de los primeros fractales estudiados, aunque este término no se utilizó hasta mucho más tarde. La función tiene detalles en todos los niveles, por lo que hacer zoom en una parte de la curva no muestra que se acerque cada vez más a una línea recta. Más bien entre dos puntos cualesquiera, sin importar cuán cerca estén, la función no será monótona.

El cálculo de la dimensión D de Hausdorff del gráfico de la función clásica de Weierstrass fue un problema abierto hasta 2018: mientras que en general se creía que D lo era . Que D sea ​​estrictamente menor que 2 se deduce de las condiciones de arriba y de arriba. Solo después de más de 30 años esto se demostró rigurosamente. ${\ Displaystyle 2- \ log _ {b} \ left (a ^ {- 1} \ right) <2 \;}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$

El término función de Weierstrass se usa a menudo en el análisis real para referirse a cualquier función con propiedades y construcción similares al ejemplo original de Weierstrass. Por ejemplo, la función coseno se puede reemplazar en la serie infinita por una función lineal en "zigzag" por partes . GH Hardy demostró que la función de la construcción anterior no es diferenciable en ninguna parte con los supuestos 0 < a <1, ab ≥ 1.

Continuidad de Hölder

Es conveniente escribir la función de Weierstrass de manera equivalente como

${\ Displaystyle W _ {\ alpha} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b ^ {- n \ alpha} \ cos (b ^ {n} \ pi x)}$

para . Entonces W _α ( x ) es la continua de Hölder de exponente α, lo que quiere decir que hay una constante C tal que ${\ Displaystyle \ alpha = - {\ frac {\ ln (a)} {\ ln (b)}}}$

${\ Displaystyle | W _ {\ alpha} (x) -W _ {\ alpha} (y) | \ leq C | xy | ^ {\ alpha}}$

para todos los x y y . Además, W ₁ es Hölder continuo de todos los órdenes α <1 pero no Lipschitz continuo .

Densidad de funciones no diferenciables en ninguna parte

Resulta que la función de Weierstrass está lejos de ser un ejemplo aislado: aunque es "patológica", también es "típica" de las funciones continuas:

• En un sentido topológico : el conjunto de funciones de valor real no diferenciables en ninguna parte en [0, 1] es comeager en el espacio vectorial C ([0, 1];  R ) de todas las funciones continuas de valor real en [0, 1] con la topología de convergencia uniforme .
• En un sentido teórico de la medida: cuando el espacio C ([0, 1];  R ) está equipado con la medida clásica de Wiener γ , la colección de funciones que son diferenciables incluso en un solo punto de [0, 1] tiene γ - medida cero . Lo mismo es cierto incluso si uno toma "cortes" de dimensión finita de C ([0, 1];  R ), en el sentido de que las funciones no diferenciables en ninguna parte forman un subconjunto predominante de C ([0, 1];  R ) .

Ver también

• Curva blancmange
• Copo de nieve de Koch
• Función continua en ninguna parte

Notas

Referencias

• David, Claire (2018), "Bypassing dynamical systems: A simple way to get the box-count dimension the graph of the Weierstrass function", Proceedings of the International Geometry Center , Academy of Sciences of Ukraine, 11 (2): 53 –68, doi : 10.15673 / tmgc.v11i2.1028
• Falconer, K. (1984), The Geometry of Fractal Sets , Cambridge Tracts in Mathematics, Libro 85, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33705-2
• Gelbaum, B Bernard R .; Olmstead, John MH (2003) [1964], Contraejemplos en análisis , Dover Books on Mathematics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-42875-8
• Hardy, GH (1916), "La función no diferenciable de Weierstrass" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 17 (3): 301-325, doi : 10.2307 / 1989005 , JSTOR  1989005
• Weierstrass, Karl (18 de julio de 1872), Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen , Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften
  • Weierstrass, Karl (1895), "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen" , Mathematische Werke von Karl Weierstrass , 2 , Berlín, Alemania: Mayer & Müller, págs. 71–74
  • Traducción al inglés: Edgar, Gerald A. (1993), "Sobre las funciones continuas de un argumento real que no poseen una derivada bien definida para ningún valor de su argumento", Classics on Fractals , Studies in Nonlinearity, Addison-Wesley Publishing Company , págs. 3 a 9, ISBN 978-0-201-58701-2

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función de Weierstrass" . MathWorld . (una función de Weierstrass diferente que también es continua y no diferenciable en ninguna parte)
• Prueba de existencia de función continua diferenciable en ninguna parte utilizando el principio de contracción de Banach .
• En ninguna parte prueba de existencia de función continua monótona utilizando el teorema de la categoría de Baire .
• Johan Thim. "Funciones diferenciables continuas en ninguna parte" . Tesis de Maestría Universidad Tecnológica de Lulea 2003 . Consultado el 28 de julio de 2006 .
• Función de Weierstrass en el plano complejo Hermoso fractal.
• SpringerLink - Journal of Fourier Analysis and Applications, Volumen 16, Número 1 Pruebas simples de diferenciación en ninguna parte para la función de Weierstrass y casos de crecimiento lento
• Funciones de Weierstrass: continuas pero no diferenciables en ninguna parte