Poliedro toroidal - Toroidal polyhedron
En geometría , un poliedro toroidal es un poliedro que también es un toroide (un toro con agujeros g ), que tiene un género topológico de 1 o mayor. Ejemplos notables incluyen los poliedros de Császár y Szilassi .
Variaciones en la definición
Los poliedros toroidales se definen como conjuntos de polígonos que se encuentran en sus bordes y vértices, formando una variedad a medida que lo hacen. Es decir, cada borde debe ser compartido exactamente por dos polígonos, y el vínculo de cada vértice debe ser un solo ciclo que alterna entre los bordes y los polígonos que se encuentran en ese vértice. Para poliedros toroidales, este colector es una superficie orientable . Algunos autores restringen la frase "poliedros toroidales" para que signifique más específicamente poliedros topológicamente equivalentes al toro (género 1) .
En esta área, es importante distinguir los poliedros toroidales empotrados , cuyas caras son polígonos planos en un espacio euclidiano tridimensional que no se cruzan entre sí ni entre sí, de los poliedros abstractos , superficies topológicas sin ninguna realización geométrica especificada. Intermedio entre estos dos extremos están los poliedros formados por polígonos geométricos o polígonos de estrellas en el espacio euclidiano que se permiten cruzarse entre sí.
En todos estos casos, la naturaleza toroidal de un poliedro puede verificarse por su orientabilidad y porque su característica de Euler no es positiva. La característica de Euler se generaliza a V - E + F = 2 - 2 N , donde N es el número de agujeros.
Poliedros de Császár y Szilassi
Modelo de poliedro interactivo de Csaszar: en la imagen SVG, mueva el mouse hacia la izquierda y hacia la derecha para rotarla.
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Modelo de poliedro interactivo de Szilassi: en la imagen SVG, mueva el mouse para rotarla.
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Dos de los poliedros toroidales incrustados más simples posibles son los poliedros de Császár y Szilassi.
El poliedro de Császár es un poliedro toroidal de siete vértices con 21 aristas y 14 caras triangulares. Este y el tetraedro son los únicos poliedros conocidos en los que cada segmento de línea posible que conecta dos vértices forma un borde del poliedro. Su doble, el poliedro de Szilassi , tiene siete caras hexagonales que son todas adyacentes entre sí, lo que proporciona la mitad de existencia del teorema de que el número máximo de colores necesarios para un mapa en un toro (género uno) es siete.
El poliedro de Császár tiene la menor cantidad de vértices posibles de cualquier poliedro toroidal incrustado, y el poliedro de Szilassi tiene la menor cantidad de caras posibles de cualquier poliedro toroidal incrustado.
Toroides Stewart
Una categoría especial de poliedros toroidales se construye exclusivamente con caras de polígono regulares , sin cruces, y con la restricción adicional de que las caras adyacentes no pueden estar en el mismo plano entre sí. Estos se llaman toroides Stewart , nombrados en honor a Bonnie Stewart , quien los estudió intensamente. Son análogos a los sólidos de Johnson en el caso de poliedros convexos ; sin embargo, a diferencia de los sólidos de Johnson, hay infinitos toroides Stewart. Incluyen también los deltaedros toroidales , poliedros cuyas caras son todos triángulos equiláteros.
Una clase restringida de toroides Stewart, también definidos por Stewart, son los poliedros toroidales cuasi-convexos . Estos son toroides Stewart que incluyen todos los bordes de sus cascos convexos . Para tal poliedro, cada cara del casco convexo se encuentra en la superficie del toroide o es un polígono cuyos bordes se encuentran en la superficie del toroide.
| Género | 1 | 1 |
|---|---|---|
| Imagen |
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| Poliedros | 6 prismas hexagonales | 8 octaedros |
| Vértices | 48 | 24 |
| Bordes | 84 | 72 |
| Caras | 36 | 48 |
| Género | 1 | 3 | 11 | 3 | 5 | 7 | 11 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Imagen |
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| Poliedros | 4 cúpulas cuadradas 8 tetraedros |
6 cúpulas triangulares 6 pirámides cuadradas |
4 cúpulas triangulares 6 pirámides cuadradas |
24 prismas triangulares 6 pirámides cuadradas 8 tetraedros |
6 cúpulas cuadradas 4 cúpulas triangulares 12 cubos |
8 cúpulas triangulares 12 cubos |
6 cúpulas cuadradas 12 cubos |
6 cúpulas cuadradas 8 cúpulas triangulares |
| Casco convexo | cubo truncado | octaedro truncado | octaedro truncado | cuboctaedro expandido | cuboctaedro truncado | cuboctaedro truncado | cuboctaedro truncado | cuboctaedro truncado |
| Vértices | 32 | 30 | 30 | 62 | 72 | 72 | 72 | 72 |
| Bordes | 64 | 60 | 72 | 168 | 144 | 168 | 168 | 168 |
| Caras | 32 | 30 | 38 | 86 | 68 | 88 | 84 | 76 |
Poliedros autocruzantes
 Octahemioctaedro |
 Cubicuboctaedro pequeño |
 Gran dodecaedro |
Un poliedro que está formado por un sistema de polígonos cruzados corresponde a una variedad topológica abstracta formada por sus polígonos y su sistema de aristas y vértices compartidos, y el género del poliedro puede determinarse a partir de esta variedad abstracta. Los ejemplos incluyen el octahemioctaedro del género 1 , el cubicuboctaedro cúbico pequeño del género 3 y el gran dodecaedro del género 4 .
Poliedros corona
Un poliedro corona o estenoide es un poliedro toroidal que también es noble , siendo tanto isogonal (vértices iguales) como isoédrico (caras iguales). Los poliedros de corona son auto-intersectantes y topológicamente auto-duales .
Ver también
- Poliedro proyectivo
- Skew apeirohedron (poliedro de sesgo infinito)
- Poliedro esférico
- Gráfico toroidal