Espacio topológicamente estratificado - Topologically stratified space

En topología , una rama de las matemáticas, un espacio topológicamente estratificado es un espacio X que se ha descompuesto en pedazos llamados estratos ; estos estratos son múltiples y se requiere que encajen de cierta manera. Los espacios topológicamente estratificados proporcionan un escenario puramente topológico para el estudio de singularidades análogas a la teoría más diferencial-geométrica de Whitney . Fueron presentados por René Thom , quien demostró que cada espacio estratificado de Whitney era también un espacio topológicamente estratificado, con los mismos estratos. John Mather dio otra prueba en 1970, inspirada en la prueba de Thom.

Los ejemplos básicos de espacios estratificados incluyen colectores con límite (dimensión superior y límite de codimensión 1) y colectores con esquinas (dimensión superior, límite de codimensión 1, esquinas de codimensión 2).

Definición

La definición es inductiva en la dimensión de X . Una estratificación topológica n- dimensional de X es una filtración

${\ Displaystyle \ emptyset = X _ {- 1} \ subconjunto X_ {0} \ subconjunto X_ {1} \ ldots \ subconjunto X_ {n} = X}$

de X por subespacios cerrados tales que para cada iy para cada punto x de

${\ Displaystyle X_ {i} \ setminus X_ {i-1}}$ ,

existe un barrio

${\ Displaystyle U \ subconjunto X}$

de x en X , un espacio estratificado L compacto ( n - i - 1) -dimensional , y un homeomorfismo que preserva la filtración

${\ Displaystyle U \ cong \ mathbb {R} ^ {i} \ times CL}$ .

Aquí es la abierta cono en L . ${\ displaystyle CL}$

Si X es un espacio topológicamente estratificado, el estrato i- dimensional de X es el espacio

${\ Displaystyle X_ {i} \ setminus X_ {i-1}}$ .

Los componentes conectados de X _i \ X _i-1 también se denominan con frecuencia estratos.

Ejemplos de

Una de las motivaciones originales para los espacios estratificados fue descomponer espacios singulares en trozos suaves. Por ejemplo, dada una variedad singular , existe una subvariedad definida naturalmente , que es el locus singular. Esta puede no ser una variedad uniforme, por lo que tomar el locus de singularidad iterado eventualmente dará una estratificación natural. Un ejemplo algebreogeométrico simple es la hipersuperficie singular ${\ Displaystyle X}$${\ displaystyle Canta (X)}$${\ displaystyle Cantar (Cantar (X))}$

${\ displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x, y, z] / (x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4})) \ xleftarrow {(0, 0,0)} {\ text {Spec}} (\ mathbb {C})}$

donde está el espectro principal . ${\ Displaystyle {\ text {Spec}} (-)}$

Ver también

• Teoría de la singularidad
• Condiciones de Whitney
• Stratifold
• Homología de intersección

Referencias

• Goresky, Mark ; MacPherson, teoría de Morse estratificada de Robert , Springer-Verlag, Berlín, 1988.
• Goresky, Mark ; MacPherson, Robert Intersection homology II , Invent. Matemáticas. 72 (1983), núm. 1, 77-129.
• Mather, J. Notas sobre estabilidad topológica , Universidad de Harvard, 1970.
• Thom, R. Ensembles et morphismes stratifiés , Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas 75 (1969), págs. 240-284.
• Weinberger, Shmuel (1994). La clasificación topológica de espacios estratificados . Conferencias de Chicago en Matemáticas. Chicago, IL: University of Chicago Press. ISBN   9780226885667 .

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