Tesseract - Tesseract

Tesseract 8 celdas 4 cubos
Diagrama de Schlegel
Escribe	4 politopos regulares convexos
Símbolo de Schläfli	{4,3,3} t 0,3 {4,3,2} o {4,3} × {} t 0,2 {4,2,4} o {4} × {4} t 0,2 , 3 {4,2,2} o {4} × {} × {} t 0,1,2,3 {2,2,2} o {} × {} × {} × {}
Diagrama de Coxeter
Células	8 {4,3}
Caras	24 {4}
Bordes	32
Vértices	dieciséis
Figura de vértice	Tetraedro
Polígono de Petrie	octágono
Grupo Coxeter	B 4 , [3,3,4]
Doble	16 celdas
Propiedades	convexo , isogonal , isotoxal , isoédrico
Índice uniforme	10

La cruz de Dalí , una red de tesseract

En geometría , el tesseract es el análogo tetradimensional del cubo ; el tesseract es al cubo como el cubo al cuadrado . Así como la superficie del cubo consta de seis caras cuadradas , la hipersuperficie del tesseract consta de ocho celdas cúbicas . El tesseract es uno de los seis politopos regulares convexos .

El tesseract también se llama octacoron , octaedroide , prisma cúbico y tetracubo de 8 celdas , C ₈ , (regular) . Es el hipercubo de cuatro dimensiones , o el cubo de cuatro dimensiones como miembro de la familia dimensional de hipercubos o politopos de medida . Coxeter lo etiqueta el politopo. El término hipercubo sin una referencia de dimensión se trata con frecuencia como sinónimo de este politopo específico . ${\ Displaystyle \ gamma _ {4}}$

Según el Oxford English Dictionary , la palabra tesseract fue utilizada por primera vez en 1888 por Charles Howard Hinton en su libro A New Era of Thought , del griego téssara ( τέσσαρα 'cuatro') y aktís ( ἀκτίς 'ray'), refiriéndose al cuatro aristas de cada vértice a otros vértices. En esta publicación, así como en algunos de los trabajos posteriores de Hinton, la palabra se escribía ocasionalmente tessaract .

Geometría

El tesseract se puede construir de varias formas. Como un politopo regular con tres cubos doblados alrededor de cada borde, tiene el símbolo de Schläfli {4,3,3} con simetría hiperoctaédrica del orden 384. Construido como un hiperprisma 4D hecho de dos cubos paralelos, se puede nombrar como un compuesto Schläfli símbolo {4,3} × {}, con orden de simetría 96. Como un duoprisma 4-4 , un producto cartesiano de dos cuadrados , puede ser nombrado por un símbolo compuesto de Schläfli {4} × {4}, con orden de simetría 64 Como ortótopo, se puede representar mediante el símbolo compuesto de Schläfli {} × {} × {} × {} o {} ⁴ , con orden de simetría 16.

Dado que cada vértice de un tesseract es adyacente a cuatro bordes, la figura del vértice del tesseract es un tetraedro regular . El politopo dual del tesseract es el de 16 celdas con el símbolo de Schläfli {3,3,4}, con el que se puede combinar para formar el compuesto de tesseract y 16 celdas .

Coordenadas

El tesseract estándar en 4 espacios euclidianos se da como el casco convexo de los puntos (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Es decir, consta de los puntos:

${\ Displaystyle \ {(x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \,: \, - 1 \ leq x_ {i} \ leq 1 \}}$

En este marco de referencia cartesiano, el tesseract tiene un radio de 2 y está limitado por ocho hiperplanos ( x _i = ± 1). Cada par de hiperplanos no paralelos se cruza para formar 24 caras cuadradas en un tesseract. Tres cubos y tres cuadrados se cruzan en cada borde. Hay cuatro cubos, seis cuadrados y cuatro bordes que se encuentran en cada vértice. En total, consta de 8 cubos, 24 cuadrados, 32 aristas y 16 vértices.

Proyecciones a dos dimensiones

Una animación del cambio de dimensiones.

La construcción de hipercubos se puede imaginar de la siguiente manera:

• Unidimensional: dos puntos A y B se pueden conectar para convertirse en una línea, dando un nuevo segmento de línea AB.
• 2D: dos segmentos de línea paralelos AB y CD se pueden conectar para formar un cuadrado, con las esquinas marcadas como ABCD.
• Tridimensional: dos cuadrados paralelos ABCD y EFGH se pueden conectar para convertirse en un cubo, con las esquinas marcadas como ABCDEFGH.
• 4-dimensional: Dos cubos paralelos ABCDEFGH e IJKLMNOP se pueden conectar para convertirse en un tesseract, con las esquinas marcadas como ABCDEFGHIJKLMNOP.

Un diagrama que muestra cómo crear un tesseract a partir de un punto.

Una proyección 3D de una celda de 8 que realiza una rotación simple sobre un plano que divide la figura de adelante hacia la izquierda a la parte posterior a la derecha y de arriba hacia abajo.

Es posible proyectar teseractos en espacios tridimensionales y bidimensionales, de manera similar a proyectar un cubo en un espacio bidimensional.

Las proyecciones en el plano 2D se vuelven más instructivas al reorganizar las posiciones de los vértices proyectados. De esta manera, se pueden obtener imágenes que ya no reflejan las relaciones espaciales dentro del tesseract, pero que ilustran la estructura de conexión de los vértices, como en los siguientes ejemplos:

Un tesseract se obtiene en principio combinando dos cubos. El esquema es similar a la construcción de un cubo a partir de dos cuadrados: yuxtaponga dos copias del cubo de menor dimensión y conecte los vértices correspondientes. Cada borde de un tesseract tiene la misma longitud. Esta vista es de interés cuando se utilizan tesseracts como base para una topología de red para vincular múltiples procesadores en computación paralela : la distancia entre dos nodos es como máximo 4 y hay muchas rutas diferentes para permitir el equilibrio de peso.

Proyecciones paralelas a 3 dimensiones

Sobres de proyección paralela del tesseract (cada celda se dibuja con caras de diferentes colores, las celdas invertidas no se dibujan)

La proyección paralela de la primera celda del tesseract en un espacio tridimensional tiene una envoltura cúbica . Las celdas más cercanas y más lejanas se proyectan en el cubo, y las seis celdas restantes se proyectan en las seis caras cuadradas del cubo.

La proyección paralela de la primera cara del tesseract en un espacio tridimensional tiene una envoltura cuboidal . Dos pares de celdas se proyectan hacia las mitades superior e inferior de este sobre, y las cuatro celdas restantes se proyectan hacia las caras laterales.

La proyección paralela del primer borde del tesseract en un espacio tridimensional tiene una envoltura en forma de prisma hexagonal . Seis celdas se proyectan sobre prismas rómbicos, que se colocan en el prisma hexagonal de una manera análoga a cómo las caras del cubo 3D se proyectan sobre seis rombos en una envoltura hexagonal bajo la proyección del primer vértice. Las dos celdas restantes se proyectan sobre las bases del prisma.

El dodecaedro rómbico forma el casco convexo de la proyección paralela del primer vértice del tesseracto. El número de vértices en las capas de esta proyección es 1 4 6 4 1, la cuarta fila del triángulo de Pascal .

La proyección paralela del primer vértice del tesseract en el espacio tridimensional tiene una envoltura dodecaédrica rómbica . Dos vértices del tesseract se proyectan al origen. Hay exactamente dos formas de diseccionar un dodecaedro rómbico en cuatro romboedros congruentes , lo que da un total de ocho romboedros posibles, cada uno de los cuales es un cubo proyectado del tesseracto. Esta proyección es también la de volumen máximo. Un conjunto de vectores de proyección son u = (1,1, -1, -1), v = (- 1,1, -1,1), w = (1, -1, -1,1).

Como configuración

Esta matriz de configuración representa el tesseract. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales dicen cuántos de cada elemento ocurren en todo el tesseract. Los números no diagonales dicen cuántos de los elementos de la columna ocurren en o en el elemento de la fila. Por ejemplo, el 2 en la primera columna de la segunda fila indica que hay 2 vértices en (es decir, en los extremos de) cada borde; el 4 en la segunda columna de la primera fila indica que 4 aristas se encuentran en cada vértice.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 16 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 32 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 24 & 2 \\ 8 & 12 & 6 & 8 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}$

Galería de imágenes

El tesseract se puede desplegar en ocho cubos en un espacio 3D, al igual que el cubo se puede desplegar en seis cuadrados en un espacio 2D. El despliegue de un politopo se llama red . Hay 261 redes distintas del tesseract. Los despliegues del tesseract se pueden contar mapeando las redes a árboles emparejados (un árbol junto con una combinación perfecta en su complemento ).

Proyección 3D estereoscópica de un tesseract (vista paralela)

Proyecciones alternativas

Una proyección 3D de un tesseract realizando una doble rotación sobre dos planos ortogonales.

Reproducir medios Proyección 3D de tres teseractos con y sin caras

Perspectiva con eliminación de volumen oculto . La esquina roja es la más cercana en 4D y tiene 4 celdas cúbicas que se unen a su alrededor.

El tetraedro forma el casco convexo de la proyección central centrada en el vértice del teseracto. Se muestran cuatro de 8 celdas cúbicas. El decimosexto vértice se proyecta al infinito y sus cuatro aristas no se muestran.

Proyección estereográfica (Los bordes se proyectan sobre las 3 esferas )

Animación que muestra cada cubo individual dentro de la proyección del plano de Coxeter B ₄ del tesseract.

Proyecciones ortográficas 2D

Proyecciones ortográficas

Avión Coxeter	B 4	B 3 / D 4 / A 2	B 2 / D 3
Grafico
Simetría diedro	[8]	[6]	[4]
Avión Coxeter	Otro	F 4	A 3
Grafico
Simetría diedro	[2]	[12/3]	[4]

Prueba sin palabras que el gráfico de tesseract no es plano usando los teoremas de Kuratowski o Wagner y encontrando subgrafos K ₅ (arriba) o K _3,3 (abajo)

Simetría radial equilátera

El radio largo (de centro a vértice) del tesseract es igual a la longitud de su borde; por lo tanto, su diagonal a través del centro (vértice a vértice opuesto) tiene 2 longitudes de borde. Solo unos pocos politopos uniformes tienen esta propiedad, incluido el tesseract de cuatro dimensiones y el de 24 celdas , el cuboctaedro tridimensional y el hexágono bidimensional . En particular, el tesseract es el único hipercubo (que no sea un punto de dimensión 0) con esta propiedad. El diámetro más largo de vértice a vértice de un hipercubo n- dimensional de longitud de arista unitaria es √ n , por lo que para el cuadrado es √ 2 , para el cubo es √ 3 , y solo para el tesseract es √ 4 , exactamente 2 longitudes de borde.

Mosaico

El tesseract, como todos los hipercubos , tesela el espacio euclidiano . El panal auto-dual tesseractic que consta de 4 tesseracts alrededor de cada cara tiene el símbolo de Schläfli {4,3,3,4} . Por lo tanto, el tesseract tiene un ángulo diedro de 90 °.

La simetría equilátera radial del teseracto hace que su teselado sea la única celosía cúbica regular centrada en el cuerpo de esferas de igual tamaño, en cualquier número de dimensiones.

El tesseract en sí se puede descomponer en politopos más pequeños. Es el casco convexo del compuesto de dos demitasseractos ( 16 celdas ). El tesseract también se puede triangular en simples de 4 dimensiones que comparten sus vértices con el tesseract. Se sabe que hay 92487256 triangulaciones de este tipo y que la menor cantidad de simples de 4 dimensiones en cualquiera de ellas es 16.

Fórmulas

Para un tesseract con longitud lateral s :

• Hipervolumen: ${\ Displaystyle H = s ^ {4}}$
• Volumen de superficie: ${\ Displaystyle SV = 8s ^ {3}}$
• Diagonal de la cara :${\ Displaystyle d _ {\ mathrm {2}} = {\ sqrt {2}} s}$
• Diagonal de la celda :${\ Displaystyle d _ {\ mathrm {3}} = {\ sqrt {3}} s}$
• Diagonal de 4 espacios: ${\ Displaystyle d _ {\ mathrm {4}} = 2s}$

Politopos y panales relacionados

El tesseract (8 celdas) es el tercero en la secuencia de 6 politopos regulares convexos de 4 (en orden de tamaño y complejidad).

4 politopos convexos regulares
Grupo de simetría	A 4	B 4		F 4	H 4
Nombre	5 celdas hiper tetraedro	16 celdas Hiper- octaedro	8 celdas hiper- cubo	24 celdas	600 celdas hiper icosaedro	120 celdas hiper dodecaedro
Símbolo de Schläfli	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Diagrama de Coxeter
Grafico
Vértices	5	8	dieciséis	24	120	600
Bordes	10	24	32	96	720	1200
Caras	10 triángulos	32 triángulos	24 cuadrados	96 triángulos	1200 triángulos	720 pentágonos
Células	5 tetraedros	16 tetraedros	8 cubos	24 octaedros	600 tetraedros	120 dodecaedros
Radio largo	1	1	1	1	1	1
Longitud de borde	√ 5/√ 2 1,581 ≈	√ 2 ≈ 1.414	1	1	1/ϕ ≈ 0,618	1/√ 2 ϕ 2 ≈ 0,270
Radio corto	1/4	1/2	1/2	√ 2/2 ≈ 0,707	1 - (√ 2/2 √ 3 φ) 2 ≈ 0,936	1 - (1/2 √ 3 φ) 2 ≈ 0,968
Zona	10 •√ 8/3 ≈ 9.428	32 •√ 3/4 13,856 ≈	24	96 •√ 3/8 20,785 ≈	1200 •√ 3/8φ 2 99,238 ≈	720 •25 + 10 √ 5/8φ 4 ≈ 621,9
Volumen	5 •5 √ 5/24 ≈ 2.329	dieciséis•1/3 ≈ 5.333	8	24 •√ 2/3 ≈ 11,314	600 •1/3 √ 8 φ 3 ≈ 16,693	120 •2 + φ/2 √ 8 φ 3 ≈ 18.118
4-Contenido	√ 5/24• (√ 5/2) 4 ≈ 0,146	2/3 ≈ 0,667	1	2	Corto ∙ Vol/4 ≈ 3.907	Corto ∙ Vol/4 ≈ 4.385

Como duoprisma uniforme , el tesseract existe en una secuencia de duoprismas uniformes : { p } × {4}.

El tesseract regular, junto con el de 16 celdas , existe en un conjunto de 15 4 politopos uniformes con la misma simetría . El tesseract {4,3,3} existe en una secuencia de 4 politopos y panales regulares , { p , 3,3} con vértices tetraédricos , {3,3}. El tesseract también está en una secuencia de 4 politopos regulares y panales , {4,3, p } con celdas cúbicas .

Ortogonal	Perspectiva
4 {4} 2 , con 16 vértices y 8 de 4 aristas, con los 8 de 4 aristas que se muestran aquí como 4 cuadrados rojos y 4 azules.

El politopo complejo regular ₄ {4} ₂ ,, en tiene una representación real como un tesseract o duoprisma 4-4 en un espacio de 4 dimensiones. ₄ {4} ₂ tiene 16 vértices y 8 4 aristas. Su simetría es ₄ [4] ₂ , orden 32. También tiene una construcción de simetría más baja,${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$, o ₄ {} × ₄ {}, con simetría ₄ [2] ₄ , orden 16. Esta es la simetría si los 4 bordes rojo y azul se consideran distintos.

En la cultura popular

Desde su descubrimiento, los hipercubos de cuatro dimensiones han sido un tema popular en el arte, la arquitectura y la ciencia ficción. Los ejemplos notables incluyen:

• " Y él construyó una casa torcida ", la historia de ciencia ficción de 1940 de Robert Heinlein que presenta un edificio en forma de hipercubo de cuatro dimensiones. Este y "The No-Sided Professor" de Martin Gardner , publicado en 1946, se encuentran entre los primeros en ciencia ficción en presentar a los lectores la banda de Moebius , la botella de Klein y el hipercubo (tesseract).
• Crucifixión (Corpus Hypercubus) , una pintura al óleo de 1954 de Salvador Dalí que presenta un hipercubo de cuatro dimensiones desplegado en una cruz latina tridimensional.
• El Grande Arche , un monumento y edificio cerca de París, Francia, terminado en 1989. Según el ingeniero del monumento, Erik Reitzel , el Grande Arche fue diseñado para parecerse a la proyección de un hipercubo.
• Fez , un videojuego en el que uno interpreta a un personaje que puede ver más allá de las dos dimensiones que otros personajes pueden ver, y debe usar esta habilidad para resolver acertijos de plataformas. Cuenta con "Dot", un tesseract que ayuda al jugador a navegar por el mundo y le dice cómo usar las habilidades, que se ajusta al tema de ver más allá de la percepción humana del espacio dimensional conocido.

La palabra tesseract se adoptó más tarde para muchos otros usos en la cultura popular, incluso como un dispositivo de trama en obras de ciencia ficción, a menudo con poca o ninguna conexión con el hipercubo de cuatro dimensiones de este artículo. Ver Tesseract (desambiguación) .

Ver también

• Matemáticas y arte

Notas

Referencias

• Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3ª ed.). Nueva York: Dover. pp.  122 -123.
• F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss (1995) Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , Publicación Wiley-Interscience ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , Mathematische Zeitschrift 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass (2008) Las simetrías de las cosas , ISBN  978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, págs. 409: Hemicubos: 1 _n1 )
• T. Gosset (1900) Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan.
• T. Proctor Hall (1893) "La proyección de cuatro figuras en un plano de tres" , American Journal of Mathematics 15: 179–89.
• Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
  • NW Johnson: La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. (1966)
• Victor Schlegel (1886) Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper , Waren.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Tesseract" . MathWorld .
• Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D (polychora) x4o3o3o - tes" .
• El Tesseract Ray trazó imágenes con eliminación de superficie oculta. Este sitio proporciona una buena descripción de los métodos para visualizar sólidos 4D.
• Der 8-Zeller (8 celdas) Politopos regulares de Marco Möller en ℝ ⁴ (alemán)
• WikiChoron: Tesseract
• HyperSolids es un programa de código abierto para Apple Macintosh (Mac OS X y superior) que genera los cinco sólidos regulares del espacio tridimensional y los seis hipersólidos regulares del espacio tetradimensional.
• Hypercube 98 Un programa de Windows que muestra hipercubos animados, por Rudy Rucker
• página de inicio de ken perlin Una forma de visualizar hipercubos, por Ken Perlin
• Algunas Notas sobre la Cuarta Dimensión incluyen tutoriales animados sobre varios aspectos diferentes del tesseract, por Davide P. Cervone
• Animación de Tesseract con eliminación de volumen oculto