Figura de vértice - Vertex figure
En geometría , una figura de vértice , en términos generales, es la figura expuesta cuando se corta una esquina de un poliedro o politopo .
Definiciones
Toma alguna esquina o vértice de un poliedro . Marque un punto en algún lugar a lo largo de cada borde conectado. Dibuja líneas a lo largo de las caras conectadas, uniendo puntos adyacentes alrededor de la cara. Cuando termina, estas líneas forman un circuito completo, es decir, un polígono, alrededor del vértice. Este polígono es la figura del vértice.
Las definiciones formales más precisas pueden variar bastante, según las circunstancias. Por ejemplo, Coxeter (por ejemplo, 1948, 1954) varía su definición según sea conveniente para el área de discusión actual. La mayor parte de las siguientes definiciones de una figura de la cima se aplican igualmente bien a infinitas embaldosados o, por extensión, a la teselación de llenado del espacio con polytope células y otros de dimensiones superiores politopos .
Como una rebanada plana
Haz un corte a través de la esquina del poliedro, cortando todos los bordes conectados al vértice. La superficie de corte es la figura del vértice. Este es quizás el enfoque más común y el más fácil de entender. Diferentes autores hacen el corte en diferentes lugares. Wenninger (2003) corta cada borde a una unidad de distancia del vértice, al igual que Coxeter (1948). Para poliedros uniformes, la construcción Dorman Luke corta cada borde conectado en su punto medio. Otros autores hacen el corte a través del vértice en el otro extremo de cada borde.
Para un poliedro irregular, cortar todos los bordes incidentes a un vértice dado a distancias iguales del vértice puede producir una figura que no se encuentra en un plano. Un enfoque más general, válido para poliedros convexos arbitrarios, es realizar el corte a lo largo de cualquier plano que separe el vértice dado de todos los demás vértices, pero por lo demás es arbitrario. Esta construcción determina la estructura combinatoria de la figura del vértice, similar a un conjunto de vértices conectados (ver más abajo), pero no su geometría precisa; puede generalizarse a politopos convexos en cualquier dimensión. Sin embargo, para poliedros no convexos, puede que no exista un plano cerca del vértice que corte todas las caras incidentes al vértice.
Como un polígono esférico
Cromwell (1999) forma la figura del vértice al intersecar el poliedro con una esfera centrada en el vértice, lo suficientemente pequeña como para intersecar sólo los bordes y las caras incidentes al vértice. Esto se puede visualizar como haciendo un corte esférico o una pala, centrado en el vértice. La superficie de corte o figura de vértice es, por tanto, un polígono esférico marcado en esta esfera. Una ventaja de este método es que la forma de la figura del vértice es fija (hasta la escala de la esfera), mientras que el método de intersección con un plano puede producir diferentes formas dependiendo del ángulo del plano. Además, este método funciona para poliedros no convexos.
Como el conjunto de vértices conectados
Muchos enfoques combinatorios y computacionales (por ejemplo, Skilling, 1975) tratan una figura de vértice como el conjunto ordenado (o parcialmente ordenado) de puntos de todos los vértices vecinos (conectados mediante un borde) al vértice dado.
Definición abstracta
En la teoría de los politopos abstractos , la figura del vértice en un vértice V dado comprende todos los elementos que inciden en el vértice; aristas, caras, etc. Más formalmente es la sección ( n −1) F n / V , donde F n es la cara más grande.
Este conjunto de elementos se conoce en otros lugares como estrella de vértice . La figura geométrica del vértice y la estrella del vértice pueden entenderse como realizaciones distintas de la misma sección abstracta.
Propiedades generales
Una figura de vértice de un n -politopo es un ( n −1) -politopo. Por ejemplo, una figura de vértice de un poliedro es un polígono y la figura de vértice de un politopo 4 es un poliedro.
En general, una figura de vértice no necesita ser plana.
Para poliedros no convexos, la figura del vértice también puede ser no convexa. Los politopos uniformes, por ejemplo, pueden tener polígonos en estrella para caras y / o figuras de vértices.
Figuras isogonales
Las figuras de vértice son especialmente significativas para uniformes y otros politopos isogonales (transitivos de vértice) porque una figura de vértice puede definir el politopo completo.
Para poliedros con caras regulares, una figura de vértice se puede representar en notación de configuración de vértice , enumerando las caras en secuencia alrededor del vértice. Por ejemplo, 3.4.4.4 es un vértice con un triángulo y tres cuadrados, y define el rombicuboctaedro uniforme .
Si el politopo es isogonal, la figura del vértice existirá en una superficie de hiperplano del n- espacio.
Construcciones
Desde los vértices adyacentes
Al considerar la conectividad de estos vértices vecinos, se puede construir una figura de vértice para cada vértice de un politopo:
- Cada vértice de la figura del vértice coincide con un vértice del politopo original.
- Cada borde de la figura del vértice existe en o dentro de una cara del politopo original que conecta dos vértices alternativos de una cara original.
- Cada cara de la figura del vértice existe en o dentro de una celda del n- politopo original (para n > 3).
- ... y así sucesivamente a elementos de orden superior en politopos de orden superior.
Construcción de Dorman Luke
Para un poliedro uniforme, la cara del poliedro dual se puede encontrar en la figura del vértice del poliedro original utilizando la construcción " Dorman Luke ".
Politopos regulares
Si un politopo es regular, se puede representar mediante un símbolo de Schläfli y tanto la celda como la figura del vértice se pueden extraer trivialmente de esta notación.
En general, un politopo regular con el símbolo de Schläfli { a , b , c , ..., y , z } tiene células como { a , b , c , ..., Y }, y de vértices figuras como { b , c ,. .., y , z }.
- Para un poliedro regular { p , q }, la figura del vértice es { q }, un q -gon.
- Ejemplo, la figura del vértice de un cubo {4,3} es el triángulo {3}.
- Para una teselación regular de 4 politopos o que llena el espacio { p , q , r }, la figura del vértice es { q , r }.
- Ejemplo, la figura del vértice de un hipercubo {4,3,3}, la figura del vértice es un tetraedro regular {3,3}.
- También la figura del vértice de un panal cúbico {4,3,4}, la figura del vértice es un octaedro regular {3,4}.
Dado que el politopo dual de un politopo regular también es regular y está representado por los índices de símbolo de Schläfli invertidos, es fácil ver que el dual de la figura del vértice es la celda del politopo dual. Para poliedros regulares, este es un caso especial de la construcción de Dorman Luke .
Un ejemplo de figura de vértice de un panal
La figura del vértice de un panal cúbico truncado es una pirámide cuadrada no uniforme . Un octaedro y cuatro cubos truncados se encuentran en cada vértice y forman una teselación que llena el espacio .
| Figura de vértice : una pirámide cuadrada no uniforme |
 Diagrama de Schlegel |
 Perspectiva |
| Creado como una base cuadrada de un octaedro |
 (3.3.3.3) |
|
| Y cuatro lados de triángulos isósceles de cubos truncados |
 (3.8.8) |
Figura de borde
En relación con la figura de vértice , una figura de borde es la figura de vértice de una figura de vértice . Las figuras de borde son útiles para expresar relaciones entre los elementos dentro de politopos regulares y uniformes.
Una figura de borde será un politopo ( n −2), que representa la disposición de las facetas alrededor de un borde dado. Los politopos uniformes del diagrama de coxeter regular y de un solo anillo tendrán un tipo de borde único. En general, un politopo uniforme puede tener tantos tipos de bordes como espejos activos en la construcción, ya que cada espejo activo produce un borde en el dominio fundamental.
Los politopos (y panales) regulares tienen una figura de un solo borde que también es regular. Para un politopo regular { p , q , r , s , ..., z }, la figura del borde es { r , s , ..., z }.
En cuatro dimensiones, la figura de borde de un 4 politopo o 3 panal es un polígono que representa la disposición de un conjunto de facetas alrededor de un borde. Por ejemplo, la figura del borde de un panal cúbico regular {4,3,4} es un cuadrado , y para un politopo regular de 4 { p , q , r } es el polígono { r }.
De manera menos trivial, el panal cúbico truncado t 0,1 {4,3,4}, tiene una figura de vértice piramidal cuadrada , con celdas truncadas de cubo y octaedro . Aquí hay dos tipos de figuras de borde . Uno es una figura de borde cuadrado en el vértice de la pirámide. Esto representa los cuatro cubos truncados alrededor de un borde. Las otras cuatro figuras de borde son triángulos isósceles en los vértices de la base de la pirámide. Estos representan la disposición de dos cubos truncados y un octaedro alrededor de los otros bordes.
Ver también
Referencias
Notas
Bibliografía
- HSM Coxeter , Regular Polytopes , Hbk (1948), ppbk (1973).
- HSM Coxeter (et al.), Uniform Polyhedra, Phil. Trans . 246 A (1954) págs. 401–450.
- P. Cromwell, Polyhedra , CUP pbk. (1999).
- HM Cundy y AP Rollett, Modelos matemáticos , Oxford Univ. Prensa (1961).
- J. Skilling, El conjunto completo de poliedros uniformes, Phil. Trans . 278 A (1975) págs. 111-135.
- M. Wenninger, Modelos duales , CUP hbk (1983) ppbk (2003).
- Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (p289 Figuras de vértice)
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Figura de vértice" . MathWorld .
- Olshevsky, George. "Figura de vértice" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
- Figuras de vértice
- Descripciones de vértices coherentes