Ludwig Schläfli - Ludwig Schläfli

Ludwig Schläfli
Ludwig Schläfli
Nació	15 de enero de 1814; Grasswil (ahora parte de Seeberg ), Cantón de Berna , Suiza
Murió	20 de marzo de 1895 (81 años); Berna , Suiza
Nacionalidad	suizo
Conocido por	De mayor dimensionales espacios, politopos
	Carrera científica
Los campos	Matemático
Estudiantes de doctorado	Fritz Bützberger ; Carl Friedrich Geiser ; Johann Heinrich Graf ; Arnold Meyer-Kaiser ; Christian Moser ; Johann Tschumi ; Elizaveta Litvinova
Otros estudiantes notables	Salomon Eduard Gubler

Ludwig Schläfli (15 de enero de 1814 - 20 de marzo de 1895) fue un matemático suizo, especializado en geometría y análisis complejo (en ese momento llamado teoría de funciones) que fue una de las figuras clave en el desarrollo de la noción de espacios de dimensiones superiores . El concepto de multidimensionalidad es omnipresente en las matemáticas , ha llegado a desempeñar un papel fundamental en la física y es un elemento común en la ciencia ficción.

Vida y carrera

Juventud y educación

Ludwig pasó la mayor parte de su vida en Suiza . Nació en Grasswil (ahora parte de Seeberg ), la ciudad natal de su madre. Luego, la familia se mudó al cercano Burgdorf , donde su padre trabajaba como comerciante . Su padre quería que Ludwig siguiera sus pasos, pero Ludwig no estaba hecho para el trabajo práctico.

Por el contrario, debido a sus dotes matemáticas, se le permitió asistir al Gimnasio en Berna en 1829. Por entonces ya estaba aprendiendo el cálculo diferencial de Abraham Gotthelf Kästner 's Mathematischen Anfangsgründe der Análisis des Unendlichen (1761). En 1831 se trasladó a la Akademie de Berna para continuar sus estudios. En 1834, la Akademie se había convertido en la nueva Universität Bern , donde comenzó a estudiar teología.

Enseñando

Después de graduarse en 1836, fue nombrado profesor de secundaria en Thun . Permaneció allí hasta 1847, pasando su tiempo libre estudiando matemáticas y botánica mientras asistía a la universidad de Berna una vez a la semana.

Un punto de inflexión en su vida llegó en 1843. Schläfli había planeado visitar Berlín y familiarizarse con su comunidad matemática, especialmente con Jakob Steiner , un conocido matemático suizo. Pero Steiner apareció inesperadamente en Berna y se conocieron. Steiner no solo quedó impresionado por los conocimientos matemáticos de Schläfli, sino que también estaba muy interesado en la fluidez de Schläfli en italiano y francés.

Steiner propuso a Schläfli para ayudar a sus colegas berlineses Carl Gustav Jacob Jacobi , Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Carl Wilhelm Borchardt y a él mismo como intérprete en un próximo viaje a Italia. Steiner vendió esta idea a sus amigos de la siguiente manera, lo que indica que Schläfli debe haber sido algo torpe en los asuntos diarios:

... während er den Berliner Freunden den neugeworbenen Reisegefaehrten durch die Worte anpries, der sei ein ländlicher Mathematiker bei Bern, für die Welt ein Esel, aber Sprachen lerne er wie ein Kinderspiel, den wollten sie als Dolmetsmen mit sich ne. [ADB]

Traducción en inglés:

... mientras él (Steiner) elogió / recomendó al nuevo compañero de viaje a sus amigos de Berlín con las palabras de que él (Schläfli) era un matemático provincial que trabajaba cerca de Berna, un 'asno para el mundo' (es decir, no muy práctico), pero que aprendió idiomas como un juego de niños, y que debían llevarlo con ellos como traductor.

Schläfli los acompañó a Italia y se benefició mucho del viaje. Se quedaron durante más de seis meses, tiempo durante el cual Schläfli incluso tradujo algunos de los trabajos matemáticos de los demás al italiano.

Vida posterior

Schläfli mantuvo correspondencia con Steiner hasta 1856. Las perspectivas que se le habían abierto lo animaron a postularse para un puesto en la universidad de Berna en 1847, donde fue nombrado (?) En 1848. Permaneció hasta su jubilación en 1891, y pasó el tiempo que le quedaba estudiando sánscrito y traduciendo la escritura hindú Rig Veda al alemán, hasta su muerte en 1895.

Mayores dimensiones

Schläfli es uno de los tres arquitectos de la geometría multidimensional, junto con Arthur Cayley y Bernhard Riemann . Alrededor de 1850, el concepto general de espacio euclidiano no se había desarrollado, pero se entendían bien las ecuaciones lineales en variables. En la década de 1840 William Rowan Hamilton había desarrollado sus cuaterniones y John T. Graves y Arthur Cayley los octoniones . Los dos últimos sistemas trabajaron con bases de cuatro y, respectivamente, ocho elementos, y sugirieron una interpretación análoga a las coordenadas cartesianas en el espacio tridimensional. ${\ Displaystyle n}$

De 1850 a 1852 Schläfli trabajó en su obra magna, Theorie der vielfachen Kontinuität , en la que inició el estudio de la geometría lineal del espacio -dimensional. También definió la esfera dimensional y calculó su volumen. Luego quiso publicar este trabajo. Fue enviado a la Akademie de Viena, pero fue rechazado por su tamaño. Posteriormente fue enviado a Berlín, con el mismo resultado. Después de una larga pausa burocrática, en 1854 se le pidió a Schläfli que escribiera una versión más corta, pero no lo hizo. Steiner luego trató de ayudarlo a publicar el trabajo en Crelle's Journal , pero de alguna manera las cosas no funcionaron. Las razones exactas siguen sin conocerse. Cayley publicó partes del trabajo en inglés en 1860. La primera publicación del manuscrito completo no fue hasta 1901, después de la muerte de Schläfli. La primera reseña del libro apareció luego en la revista matemática holandesa Nieuw Archief voor de Wiskunde en 1904, escrita por el matemático holandés Pieter Hendrik Schoute . ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n}$

Durante este período, Riemann celebró su famoso Habilitationsvortrag Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen en 1854, e introdujo el concepto de una variedad -dimensional . El concepto de espacios de dimensiones superiores estaba comenzando a florecer. ${\ Displaystyle n}$

A continuación se muestra un extracto del prefacio de Theorie der vielfachen Kontinuität :

Anzeige einer Abhandlung über die Theorie der vielfachen Kontinuität

Die Abhandlung, die ich hier der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften vorzulegen die Ehre habe, wentält einen Versuch, einen neuen Zweig der Analysis zu begründen und zu bearbeiten, welcher, gleichsam eine analytische Geometrie von Dimension des Dimension des Dimensionen, die en sich entusiasmo. Ich nenne denselben Theorie der vielfachen Kontinuität überhaupt in demselben Sinne, wie man zum Beispiel die Geometrie des Raumes eine Theorie der dreifachen Kontinuität nennen kann. Wie in dieser eine Gruppe von Werten der drei Koordinaten einen Punkt bestimmt, so soll in jener eine Gruppe gegebener Werte der Variabeln eine Lösung bestimmen. Ich gebrauche diesen Ausdruck, weil man bei einer order mehreren Gleichungen mit vielen Variabeln jede genügende Gruppe von Werten auch so nennt; das Ungewöhnliche der Benennung liegt nur darin, daß ich sie auch noch beibehalte, wenn gar keine Gleichung zwischen den Variabeln gegeben ist. In diesem Falle nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen die -fache Totalität; sind hingegen Gleichungen gegeben, por lo que heißt bzw. die Gesamtheit ihrer Lösungen -faches, -faches, -faches, ... Kontinuum. Aus der Vorstellung der allseitigen Kontinuität der in einer Totalität enthaltenen Lösungen entwickelt sich diejenige der Unabhängigkeit ihrer gegenseitigen Lage von dem System der gebrauchten Variabeln, insofern durch Transformation neue Variabeln an ihre Stelle treten können. Diese Unabhängigkeit spricht sich aus in der Unveränderlichkeit dessen, was ich den Abstand zweier gegebener Lösungen ( ), ( ) nenne und im einfachsten Fall durch

{\ Displaystyle n}

{\ Displaystyle n = 2,3}

{\ Displaystyle n}

{\ Displaystyle x, y, \ ldots}

{\ Displaystyle n}

{\ Displaystyle 1,2,3, \ ldots}

{\ Displaystyle n-1}

{\ Displaystyle n-2}

{\ Displaystyle n-3}

{\ Displaystyle x, y, \ ldots}

{\ Displaystyle x ', y', \ ldots}

{\ Displaystyle {\ sqrt {(x'-x) ^ {2} + (y'-y) ^ {2} + \ cdots}}}

definiere, indem ich gleichzeitig das System der Variabeln ein orthogonales heiße, [...]

Traducción en inglés:

El tratado que tengo el honor de presentar aquí a la Academia Imperial de Ciencias, es un intento de fundar y desarrollar una nueva rama del análisis que sería, por así decirlo, una geometría de dimensiones, que contiene la geometría del plano y el espacio como casos especiales para . Llamo a esto la teoría de la continuidad múltiple en general en el mismo sentido, en el que se puede llamar a la geometría del espacio la de la triple continuidad. Como en esa teoría el 'grupo' de valores de sus coordenadas determina un punto, entonces en esta un 'grupo' de valores dados de las variables determinará una solución. Utilizo esta expresión, porque también se llama a todo "grupo" suficiente de valores, así en el caso de una o más ecuaciones con muchas variables; lo único inusual de este nombre es que lo guardo cuando no se dan ecuaciones entre las variables. En este caso, llamo al total (conjunto) de soluciones la totalidad de pliegues; mientras que cuando se dan las ecuaciones, el total de sus soluciones se llama respectivamente (an) -fold, -fold, -fold, ... Continuum. De la noción de las soluciones contenidas en una totalidad surge la de la independencia de sus posiciones relativas (de las variables) en el sistema de variables utilizado, en la medida en que nuevas variables pudieran ocupar su lugar por transformación. Esta independencia se expresa en la inalterabilidad de eso, que llamo la distancia entre dos soluciones dadas ( ), ( ) y defino en el caso más fácil por:

{\ Displaystyle n}

{\ Displaystyle n = 2,3}

{\ Displaystyle n}

{\ Displaystyle x, y, \ ldots}

{\ Displaystyle n}

{\ Displaystyle 1,2,3, \ ldots}

{\ Displaystyle n-1}

{\ Displaystyle n-2}

{\ Displaystyle n-3}

{\ Displaystyle x, y, \ ldots}

{\ Displaystyle x ', y', \ ldots}

{\ Displaystyle {\ sqrt {(x'-x) ^ {2} + (y'-y) ^ {2} + \ cdots}}}

mientras que al mismo tiempo llamo ortogonal a un sistema de variables [...]

Podemos ver cómo todavía está pensando en puntos en el espacio dimensional como soluciones a ecuaciones lineales, y cómo está considerando un sistema sin ecuaciones , obteniendo así todos los puntos posibles del , como lo diríamos ahora. Difundió el concepto en los artículos que publicó en las décadas de 1850 y 1860, y maduró rápidamente. En 1867 comienza un artículo diciendo "Consideramos el espacio de -tuplas de puntos. [...]". Esto indica no solo que tenía un control firme sobre las cosas, sino también que su audiencia no necesitaba una explicación larga al respecto. ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle n}$

Politopos

En Theorie der Vielfachen Kontinuität pasa a definir lo que él llama polisquemas , hoy llamados politopos , que son los análogos de dimensiones superiores a los polígonos y poliedros . Desarrolla su teoría y encuentra, entre otras cosas, la versión de dimensiones superiores de la fórmula de Euler. Determina los politopos regulares, es decir, los primos dimensionales de los polígonos regulares y los sólidos platónicos . Resulta que hay seis en la dimensión cuatro y tres en todas las dimensiones superiores. ${\ Displaystyle n}$

Aunque Schläfli estaba familiarizado con sus colegas en la segunda mitad del siglo XIX, especialmente por sus contribuciones al análisis complejo, sus primeros trabajos geométricos no lograron llamar la atención durante muchos años. A principios del siglo XX, Pieter Hendrik Schoute comenzó a trabajar en politopos junto con Alicia Boole Stott . Reprobó el resultado de Schläfli en politopos regulares solo para la dimensión 4 y luego redescubrió su libro. Más tarde, Willem Abraham Wijthoff estudió politopos semi-regulares y este trabajo fue continuado por HSM Coxeter , John Conway y otros. Aún quedan muchos problemas por resolver en esta área de investigación abierta por Ludwig Schläfli.

Ver también

Referencias

Schläfli, Ludwig (1901) [1852], Graf, JH (ed.), Theorie der vielfachen Kontinuität , republicado por las monografías históricas de matemáticas de la Biblioteca de la Universidad de Cornell 2010 (en alemán), Zúrich, Basilea: Georg & Co., ISBN 978-1-4297-0481-6
[Sch] Ludwig Schläfli, Gesammelte Abhandlungen
[DSB] Diccionario de biografías científicas
[ADB] Allgemeine Deutsche Biographie , Band 54, S.29–31. Biografía de Moritz Cantor , 1896
[Kas] Abraham Gotthelf Kästner , Mathematische Anfangsgründe der Analysis des Unendlichen , Göttingen, 1761
- Nota: Este es el tercer volumen de Mathematische Anfangsgründe de Kästner , que se puede ver en línea en el Göttinger Digitalisierungszentrum .

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