Matriz simétrica sesgada - Skew-symmetric matrix

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una matriz sesgada-simétrica (o antisimétrica o antimétrica ) es una matriz cuadrada cuya transposición es igual a su negativo. Es decir, satisface la condición

En términos de las entradas de la matriz, si denota la entrada en la -ésima fila y -ésima columna, entonces la condición de simetría sesgada es equivalente a ${\ textstyle a_ {ij}}$${\ estilo de texto i}$${\ textstyle j}$

Ejemplo

La matriz

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 0 & 2 & -45 \\ - 2 & 0 & -4 \\ 45 & 4 & 0 \ end {bmatrix}}}$

es simétrico sesgado porque

${\ displaystyle -A = {\ begin {bmatrix} 0 & -2 & 45 \\ 2 & 0 & 4 \\ - 45 & -4 & 0 \ end {bmatrix}} = A ^ {\ textsf {T}}.}$

Propiedades

En todo momento, asumimos que todas las entradas de la matriz pertenecen a un campo cuya característica no es igual a 2. Es decir, asumimos que 1 + 1 ≠ 0 , donde 1 denota la identidad multiplicativa y 0 la identidad aditiva del campo dado. Si la característica del campo es 2, entonces una matriz simétrica sesgada es lo mismo que una matriz simétrica . ${\ textstyle \ mathbb {F}}$

• La suma de dos matrices simétricas sesgadas es simétrica sesgada.
• Un múltiplo escalar de una matriz simétrica sesgada es simétrica sesgada.
• Los elementos en la diagonal de una matriz simétrica sesgada son cero y, por lo tanto, su traza es igual a cero.
• Si es una matriz simétrica sesgada real y es un valor propio real , entonces , es decir, los valores propios distintos de cero de una matriz simétrica sesgada no son reales.${\ textstyle A}$${\ textstyle \ lambda}$${\ textstyle \ lambda = 0}$
• Si es una matriz simétrica sesgada real, entonces es invertible , donde es la matriz identidad.${\ textstyle A}$${\ textstyle I + A}$${\ textstyle I}$
• Si es una matriz simétrica sesgada, entonces es una matriz semidefinida negativa simétrica .${\ textstyle A}$${\ textstyle A ^ {2}}$

Estructura del espacio vectorial

Como resultado de las dos primeras propiedades anteriores, el conjunto de todas las matrices simétricas sesgadas de un tamaño fijo forma un espacio vectorial . El espacio de matrices simétricas sesgadas tiene dimensión${\ textstyle n \ times n}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} n (n-1).}$

Dejar que denotan el espacio de las matrices. Una matriz de simetría sesgada se determina mediante escalares (el número de entradas por encima de la diagonal principal ); una matriz simétrica está determinada por escalares (el número de entradas en o por encima de la diagonal principal). Deje que denotan el espacio de matrices antisimétrica y denotar el espacio de matrices simétricas. Si entonces ${\ displaystyle {\ mbox {Mat}} _ {n}}$${\ textstyle n \ times n}$${\ textstyle {\ frac {1} {2}} n (n-1)}$${\ textstyle {\ frac {1} {2}} n (n + 1)}$${\ textstyle {\ mbox {Inclinación}} _ {n}}$${\ textstyle n \ times n}$${\ textstyle {\ mbox {Sym}} _ {n}}$${\ textstyle n \ times n}$${\ textstyle A \ in {\ mbox {Mat}} _ {n}}$

Observe que y Esto es cierto para cada matriz cuadrada con entradas de cualquier campo cuya característica sea ​​diferente de 2. Entonces, dado que y${\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ left (AA ^ {\ textsf {T}} \ right) \ in {\ mbox {Skew}} _ {n}}$${\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ left (A + A ^ {\ textsf {T}} \ right) \ in {\ mbox {Sym}} _ {n}.}$ ${\ textstyle A}$${\ textstyle {\ mbox {Mat}} _ {n} = {\ mbox {Skew}} _ {n} + {\ mbox {Sym}} _ {n}}$${\ textstyle {\ mbox {Skew}} _ {n} \ cap {\ mbox {Sym}} _ {n} = 0,}$

donde denota la suma directa . ${\ Displaystyle \ oplus}$

Denote por el

producto interno estándar en La matriz real es simétrica sesgada si y solo si ${\ estilo de texto \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$${\ Displaystyle n \ times n}$${\ textstyle A}$

$${\ Displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = - \ langle x, Ay \ rangle \ quad {\ text {para todos}} x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}.}$$

Esto también es equivalente a para todos (una implicación es obvia, la otra es una simple consecuencia de para todos y ). ${\ textstyle \ langle x, Ax \ rangle = 0}$${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ textstyle \ langle x + y, A (x + y) \ rangle = 0}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

Dado que esta definición es independiente de la elección de la base , la simetría sesgada es una propiedad que depende únicamente del operador lineal y de la elección del

producto interno . ${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle 3 \ times 3}$Las matrices asimétricas asimétricas se pueden utilizar para representar productos cruzados como multiplicaciones de matrices.

Determinante

Sea una matriz simétrica sesgada. El

determinante de satisface ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ det \ left (A ^ {\ textsf {T}} \ right) = \ det (-A) = (- 1) ^ {n} \ det (A).}$

En particular, si es impar, y dado que el campo subyacente no es de la característica 2, el determinante desaparece. Por lo tanto, todas las matrices simétricas sesgadas de dimensión impar son singulares ya que sus determinantes son siempre cero. Este resultado se denomina

teorema de Jacobi , en honor a Carl Gustav Jacobi (Eves, 1980). ${\ Displaystyle n}$

El caso de dimensiones uniformes es más interesante. Resulta que el determinante de para par se puede escribir como el cuadrado de un

polinomio en las entradas de , que fue probado por primera vez por Cayley: ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ det {(A)} = \ operatorname {Pf} (A) ^ {2}.}$

Este polinomio se llama Pfaffian de y se denota . Por lo tanto, el determinante de una matriz simétrica sesgada real es siempre no negativo. Sin embargo, este último hecho puede demostrarse de manera elemental como sigue: los valores propios de una matriz simétrica sesgada real son puramente imaginarios (ver más abajo) ya cada valor propio corresponde el valor propio conjugado con la misma multiplicidad; por tanto, como el determinante es el producto de los autovalores, cada uno repetido según su multiplicidad, se deduce de inmediato que el determinante, si no es 0, es un número real positivo. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ operatorname {Pf} (A)}$

Cayley, Sylvester y Pfaff ya han considerado el número de términos distintos en la expansión del determinante de una matriz de orden asimétrica asimétrica . Debido a las cancelaciones, este número es bastante pequeño en comparación con el número de términos de una matriz genérica de orden , que es . La secuencia (secuencia

A002370 en la OEIS ) es ${\ Displaystyle s (n)}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n!}$${\ Displaystyle s (n)}$

1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0,…

y está codificado en la función de generación exponencial

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {s (n)} {n!}} x ^ {n} = \ left (1-x ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac {1} {4}}} \ exp \ left ({\ frac {x ^ {2}} {4}} \ right).}$

Este último cede a las asintóticas (por pares) ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle s (n) = \ pi ^ {- {\ frac {1} {2}}} 2 ^ {\ frac {3} {4}} \ Gamma \ left ({\ frac {3} {4} } \ derecha) \ izquierda ({\ frac {n} {e}} \ derecha) ^ {n - {\ frac {1} {4}}} \ izquierda (1 + O \ izquierda ({\ frac {1} {n}} \ derecha) \ derecha).}$

El número de términos positivos y negativos es aproximadamente la mitad del total, aunque su diferencia toma valores positivos y negativos cada vez mayores a medida que aumenta (secuencia

A167029 en la OEIS ). ${\ Displaystyle n}$

Producto cruzado

Se pueden utilizar matrices asimétricas de tres por tres para representar productos cruzados como multiplicaciones de matrices. Considere los vectores y luego, definiendo la matriz ${\ textstyle \ mathbf {a} = \ left (a_ {1} \ a_ {2} \ a_ {3} \ right) ^ {\ textsf {T}}}$${\ textstyle \ mathbf {b} = \ left (b_ {1} \ b_ {2} \ b_ {3} \ right) ^ {\ textsf {T}}.}$

${\ displaystyle [\ mathbf {a}] _ {\ times} = {\ begin {bmatrix} \, \, 0 & \! - a_ {3} & \, \, \, a_ {2} \\\, \ , \, a_ {3} & 0 & \! - a_ {1} \\\! - a_ {2} & \, \, a_ {1} & \, \, 0 \ end {bmatrix}},}$

el producto cruzado se puede escribir como

${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = [\ mathbf {a}] _ {\ times} \ mathbf {b}.}$

Esto se puede verificar inmediatamente calculando ambos lados de la ecuación anterior y comparando cada elemento correspondiente de los resultados.

Ver también: matriz de Plücker

Uno realmente tiene

${\ Displaystyle [\ mathbf {a \ times b}] _ {\ times} = [\ mathbf {a}] _ {\ times} [\ mathbf {b}] _ {\ times} - [\ mathbf {b} ] _ {\ times} [\ mathbf {a}] _ {\ times};}$

es decir, el conmutador de matrices de tres por tres simétricas sesgadas se puede identificar con el producto cruzado de tres vectores. Dado que las matrices asimétricas de tres por tres son el álgebra de

Lie del grupo de rotación, esto aclara la relación entre tres espacios , el producto cruzado y las rotaciones tridimensionales. Más sobre rotaciones infinitesimales se pueden encontrar a continuación. ${\ textstyle SO (3)}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Teoría espectral

Dado que una matriz es similar a su propia transpuesta, deben tener los mismos valores propios. De ello se deduce que los valores propios de una matriz simétrica sesgada siempre vienen en pares ± λ (excepto en el caso de dimensión impar donde hay un valor propio 0 adicional no apareado). Según el teorema espectral , para una matriz simétrica sesgada real, los valores propios distintos de cero son todos imaginarios puros y, por lo tanto, tienen la forma en que cada uno de ellos es real. ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} yo, - \ lambda _ {1} yo, \ lambda _ {2} yo, - \ lambda _ {2} yo, \ ldots}$${\ Displaystyle \ lambda _ {k}}$

Las matrices simétricas sesgadas reales son matrices normales (se conmutan con sus adjuntos ) y, por lo tanto, están sujetas al teorema espectral , que establece que cualquier matriz simétrica sesgada real puede ser diagonalizada por una matriz unitaria . Dado que los valores propios de una matriz simétrica sesgada real son imaginarios, no es posible diagonalizar uno por una matriz real. Sin embargo, es posible llevar cada matriz de simetría sesgada a una forma diagonal de bloque mediante una transformación ortogonal especial . Específicamente, cada matriz real simétrica sesgada se puede escribir en la forma donde es ortogonal y ${\ Displaystyle 2n \ times 2n}$${\ Displaystyle A = Q \ Sigma Q ^ {\ textsf {T}}}$${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle \ Sigma = {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 0 & \ lambda _ {1} \\ - \ lambda _ {1} & 0 \ end {matrix}} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & {\ begin {matrix} 0 & \ lambda _ {2} \\ - \ lambda _ {2} & 0 \ end {matrix}} && 0 \\\ vdots && \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & {\ begin {matrix} 0 & \ lambda _ {r} \\ - \ lambda _ {r} & 0 \ end {matrix}} \\ &&&& {\ begin {matrix} 0 \\ & \ ddots \\ && 0 \ end {matrix}} \ end { bmatrix}}}$

para real positivo-definido . Los valores propios distintos de cero de esta matriz son ± λ

_k i . En el caso de las dimensiones impares, Σ siempre tiene al menos una fila y una columna de ceros. ${\ Displaystyle \ lambda _ {k}}$

De manera más general, cada matriz compleja de simetría sesgada se puede escribir en la forma en la que es unitaria y tiene la forma diagonal en bloque dada anteriormente con un definido positivo aún real. Este es un ejemplo de la descomposición de Youla de una matriz cuadrada compleja. ${\ Displaystyle A = U \ Sigma U ^ {\ mathrm {T}}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ lambda _ {k}}$

Formas sesgadas simétricas y alternas

Una forma simétrica sesgada en un

espacio vectorial sobre un campo de característica arbitraria se define como una forma bilineal${\ Displaystyle \ varphi}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle K}$

${\ Displaystyle \ varphi: V \ times V \ mapsto K}$

tal que para todos en${\ Displaystyle v, w}$${\ Displaystyle V,}$

${\ Displaystyle \ varphi (v, w) = - \ varphi (w, v).}$

Esto define una forma con propiedades deseables para espacios vectoriales sobre campos de característica no igual a 2, pero en un espacio vectorial sobre un campo de característica 2, la definición es equivalente a la de una forma simétrica, ya que cada elemento es su propio inverso aditivo. .

Donde el espacio vectorial está sobre un campo de característica arbitraria que incluye la característica 2, podemos definir una forma alterna como una forma bilineal tal que para todos los vectores en${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle \ varphi (v, v) = 0.}$

Esto es equivalente a una forma simétrica sesgada cuando el campo no es de la característica 2, como se ve en

${\ Displaystyle 0 = \ varphi (v + w, v + w) = \ varphi (v, v) + \ varphi (v, w) + \ varphi (w, v) + \ varphi (w, w) = \ varphi (v, w) + \ varphi (w, v),}$

De dónde

${\ Displaystyle \ varphi (v, w) = - \ varphi (w, v).}$

Una forma bilineal estará representado por una matriz de tal manera que , una vez a la base de que se elija, y por el contrario una matriz en da lugar a una forma de enviar a Para cada una de las formas simétrica, antisimétrica y alternantes, las matrices que representan son simétricas, skew -simétrico y alterno respectivamente. ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ varphi (v, w) = v ^ {\ textsf {T}} Aw}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle K ^ {n}}$${\ Displaystyle (v, w)}$${\ displaystyle v ^ {\ textsf {T}} Aw.}$

Rotaciones infinitesimales

Las matrices de simetría sesgada sobre el campo de números reales forman el espacio tangente al grupo ortogonal real en la matriz identidad; formalmente, el álgebra de Lie ortogonal especial . En este sentido, entonces, las matrices simétricas sesgadas se pueden considerar como rotaciones infinitesimales . ${\ Displaystyle O (n)}$

Otra forma de decir esto es que el espacio de matrices simétricas sesgadas forma el álgebra de Lie del grupo de Lie. El corchete de Lie en este espacio viene dado por el conmutador : ${\ Displaystyle o (n)}$ ${\ Displaystyle O (n).}$

${\ Displaystyle [A, B] = AB-BA. \,}$

Es fácil comprobar que el conmutador de dos matrices simétricas sesgadas vuelve a ser simétricas sesgadas:

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {[} A, B {]} ^ {\ textsf {T}} & = B ^ {\ textsf {T}} A ^ {\ textsf {T}} - A ^ { \ Textosf {T}} B ^ {\ Textosf {T}} \\ & = (- B) (- A) - (- A) (- B) = BA-AB = - [A, B] \ ,. \ end {alineado}}}$

La matriz exponencial de una matriz simétrica sesgada es entonces una matriz ortogonal : ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle R}$

${\ Displaystyle R = \ exp (A) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {n}} {n!}}.}$

La imagen del mapa exponencial de un álgebra de Lie siempre se encuentra en el componente conectado del grupo de Lie que contiene el elemento de identidad. En el caso del grupo de Lie, este componente conectado es el grupo ortogonal especial que consta de todas las matrices ortogonales con determinante 1. Por lo tanto , tendrá determinante +1. Además, dado que el mapa exponencial de un grupo de Lie compacto conectado siempre es sobreyectivo, resulta que cada matriz ortogonal con determinante unitario puede escribirse como el exponencial de alguna matriz simétrica sesgada. En el caso particular importante de la dimensión, la representación exponencial de una matriz ortogonal se reduce a la forma polar bien conocida de un número complejo de módulo unitario. De hecho, si una matriz ortogonal especial tiene la forma ${\ Displaystyle O (n),}$ ${\ Displaystyle SO (n),}$${\ Displaystyle R = \ exp (A)}$${\ Displaystyle n = 2,}$${\ Displaystyle n = 2,}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & -b \\ b & \, a \ end {bmatrix}},}$

con . Por lo tanto, poner y se puede escribir ${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle a = \ cos \ theta}$${\ Displaystyle b = \ sin \ theta,}$

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cos \, \ theta & - \ sin \, \ theta \\\ sin \, \ theta & \, \ cos \, \ theta \ end {bmatrix}} = \ exp \ izquierda (\ theta {\ begin {bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \, 0 \ end {bmatrix}} \ right),}$

que corresponde exactamente a la forma polar de un número complejo de módulo unitario. ${\ Displaystyle \ cos \ theta + i \ sin \ theta = e ^ {i \ theta}}$

La representación exponencial de una matriz ortogonal de orden también se puede obtener partiendo del hecho de que en dimensión cualquier matriz ortogonal especial puede escribirse como donde es ortogonal y S es una matriz diagonal de bloques con bloques de orden 2, más uno de orden 1 si es impar; dado que cada bloque de orden 2 es también una matriz ortogonal, admite una forma exponencial. En consecuencia, la matriz  S escribe como exponencial de una matriz de bloques de simetría sesgada de la forma anterior, de modo que exponencial de la matriz de simetría sesgada A la inversa, la sobrejetividad del mapa exponencial, junto con la diagonalización de bloques antes mencionada para la asimetría matrices simétricas, implica la diagonalización de bloques para matrices ortogonales. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R = QSQ ^ {\ textsf {T}},}$${\ displaystyle Q}$${\ textstyle \ lfloor n / 2 \ rfloor}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle S = \ exp (\ Sigma),}$${\ Displaystyle R = Q \ exp (\ Sigma) Q ^ {\ textsf {T}} = \ exp (Q \ Sigma Q ^ {\ textsf {T}}),}$${\ Displaystyle Q \ Sigma Q ^ {\ textsf {T}}.}$

Sin coordenadas

Más intrínsecamente (es decir, sin el uso de coordenadas), transformaciones lineales antisimétrica sobre un espacio vectorial con un producto interno pueden definirse como los bivectores en el espacio, que son sumas de bivectores simples ( 2-Blades ) La correspondencia se propuesta por el mapa donde es el covector dual al vector ; en coordenadas ortonormales, estas son exactamente las matrices elementales de simetría sesgada. Esta caracterización se utiliza para interpretar el rizo de un campo vectorial (naturalmente, un 2-vector) como una rotación infinitesimal o "rizo", de ahí el nombre. ${\ Displaystyle V}$${\ textstyle v \ wedge w.}$${\ textstyle v \ wedge w \ mapsto v ^ {*} \ otimes ww ^ {*} \ otimes v,}$${\ textstyle v ^ {*}}$${\ textstyle v}$

Matriz sesgada simétricamente

Se dice que una matriz es sesgada-simétrica si existe una matriz diagonal invertible tal que es sesgada-simétrica. Para matrices reales , a veces se agrega la condición para tener entradas positivas. ${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle DA}$ ${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle D}$

Ver también

• Cayley transform
• Matriz simétrica
• Matriz oblicua-hermitiana
• Matriz simpléctica
• Simetría en matemáticas

Referencias

Otras lecturas

• Eves, Howard (1980). Teoría de la matriz elemental . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-63946-8.
• Suprunenko, DA (2001) [1994], "Matriz simétrica sesgada" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Aitken, AC (1944). "Sobre el número de términos distintos en la expansión de determinantes simétricos y sesgados" . Matemáticas de Edimburgo. Notas . 34 : 1–5. doi : 10.1017 / S0950184300000070 .

enlaces externos

• "Matriz antisimétrica" . Wolfram Mathworld .
• Benner, Peter; Kressner, Daniel. "HAPACK - Software para problemas de valores propios hamiltonianos (sesgados)" .
• Ward, RC; Gray, LJ (1978). "Algoritmo 530: un algoritmo para calcular el sistema propio de matrices simétricas sesgadas y una clase de matrices simétricas [F2]". Transacciones ACM en software matemático . 4 (3): 286. doi : 10.1145 / 355791.355799 . S2CID  8575785 . Fortran Fortran90