Operador de firma - Signature operator

En matemáticas , el operador de firma es un operador diferencial elíptico definido en un cierto subespacio del espacio de formas diferenciales en una variedad Riemanniana compacta de dimensión uniforme , cuyo índice analítico es el mismo que la firma topológica de la variedad si la dimensión de la variedad es un múltiplo de cuatro. Es una instancia de un operador de tipo Dirac.

Definición en el caso de dimensión uniforme

Sea una variedad compacta de Riemann de dimensión uniforme . Dejar ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle 2l}$

${\ Displaystyle d: \ Omega ^ {p} (M) \ rightarrow \ Omega ^ {p + 1} (M)}$

ser la derivada exterior en formas diferenciales de -ésimo orden en . La métrica de Riemann sobre nos permite definir el operador estrella de Hodge y con él el producto interno ${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ star}$

${\ Displaystyle \ langle \ omega, \ eta \ rangle = \ int _ {M} \ omega \ wedge \ star \ eta}$

en formularios. Denotamos por

${\ Displaystyle d ^ {*}: \ Omega ^ {p + 1} (M) \ rightarrow \ Omega ^ {p} (M)}$

el operador adjunto del diferencial exterior . Este operador se puede expresar puramente en términos del operador estrella de Hodge de la siguiente manera: ${\ Displaystyle d}$

${\ Displaystyle d ^ {*} = (- 1) ^ {2l (p + 1) + 2l + 1} \ star d \ star = - \ star d \ star}$

Ahora considere actuar en el espacio de todas las formas . Una forma de considerar esto como un operador graduado es la siguiente: Sea una involución en el espacio de todas las formas definidas por: ${\ Displaystyle d + d ^ {*}}$${\ Displaystyle \ Omega (M) = \ bigoplus _ {p = 0} ^ {2l} \ Omega ^ {p} (M)}$${\ Displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle \ tau (\ omega) = i ^ {p (p-1) + l} \ star \ omega \ quad, \ quad \ omega \ in \ Omega ^ {p} (M)}$

Se verifica que anti-conmuta con y, en consecuencia, conmuta los - eigenspaces de ${\ Displaystyle d + d ^ {*}}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle (\ pm 1)}$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {\ pm} (M)}$${\ Displaystyle \ tau}$

Como consecuencia,

${\ displaystyle d + d ^ {*} = {\ begin {pmatrix} 0 & D \\ D ^ {*} & 0 \ end {pmatrix}}}$

Definición: El operador con la calificación anterior y el operador anterior se llama operador de firma de . ${\ Displaystyle d + d ^ {*}}$${\ Displaystyle D: \ Omega _ {+} (M) \ flecha derecha \ Omega _ {-} (M)}$${\ Displaystyle M}$

Definición en el caso de las dimensiones impares

En el caso de las dimensiones impares, se define que el operador de firma actúa sobre las formas de dimensiones pares de . ${\ Displaystyle i (d + d ^ {*}) \ tau}$${\ Displaystyle M}$

Teorema de la firma de Hirzebruch

Si , de modo que la dimensión de es un múltiplo de cuatro, entonces la teoría de Hodge implica que: ${\ Displaystyle l = 2k}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ mathrm {índice} (D) = \ mathrm {signo} (M)}$

en el que el lado derecho es la firma topológica ( es decir, la firma de una forma cuadrática en definido por el producto taza ). ${\ Displaystyle H ^ {2k} (M) \}$

El enfoque de la ecuación de calor para el teorema del índice de Atiyah-Singer se puede utilizar para demostrar que:

${\ Displaystyle \ mathrm {signo} (M) = \ int _ {M} L (p_ {1}, \ ldots, p_ {l})}$

donde es el Hirzebruch L-polinómica , y los las formas Pontrjagin sobre . ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle p_ {i} \}$${\ Displaystyle M}$

Invarianza de homotopía de los índices más altos

Kaminker y Miller demostraron que los índices más altos del operador de firma son invariantes de homotopía.

Ver también

• Teorema de la firma de Hirzebruch
• Clase Pontryagin
• Friedrich Hirzebruch
• Michael Atiyah
• Cantante Isadore

Notas

Referencias

• Atiyah, MF; Bott, R. (1967), "Una fórmula de punto fijo de Lefschetz para complejos elípticos I", Annals of Mathematics , 86 (2): 374–407, doi : 10.2307 / 1970694 , JSTOR   1970694
• Atiyah, MF; Bott, R .; Patodi, VK (1973), "Sobre la ecuación del calor y el teorema del índice", Inventiones Math. , 19 (4): 279–330, doi : 10.1007 / bf01425417
• Gilkey, PB (1973), "Curvatura y los valores propios del Laplaciano para complejos elípticos", Advances in Mathematics , 10 (3): 344–382, doi : 10.1016 / 0001-8708 (73) 90119-9
• Hirzebruch, Friedrich (1995), Métodos topológicos en geometría algebraica, 4ª edición , Berlín y Heidelberg: Springer-Verlag. Páginas. 234, ISBN   978-3-540-58663-0
• Kaminker, Jerome; Miller, John G. (1985), "Invarianza de homotopía del índice analítico de operadores de firma sobre C * -Algebras" (PDF) , Journal of Operator Theory , 14 : 113-127