Base Schauder - Schauder basis

En matemáticas , una base Schauder o base contable es similar a la habitual ( Hamel ) base de un espacio vectorial ; la diferencia es que las bases de Hamel usan combinaciones lineales que son sumas finitas, mientras que para las bases de Schauder pueden ser sumas infinitas. Esto hace que las bases de Schauder sean más adecuadas para el análisis de espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita, incluidos los espacios de Banach .

Las bases de Schauder fueron descritas por Juliusz Schauder en 1927, aunque tales bases se discutieron anteriormente. Por ejemplo, la base de Haar se dio en 1909, y Georg Faber discutió en 1910 una base para funciones continuas en un intervalo , a veces llamado sistema de Faber-Schauder .

Definiciones

Let V denotan un espacio de Banach sobre el campo   F . Una base de Schauder es una secuencia { b _n } de elementos de  V tal que para cada elemento v ∈ V existe una secuencia única {α _n } de escalares en  F de modo que

${\ Displaystyle v = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ alpha _ {n} b_ {n},}$

donde la convergencia se entiende con respecto a la topología norma, es decir ,

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left \ | v- \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ alpha _ {k} b_ {k} \ right \ | _ {V} = 0.}$

Las bases de Schauder también se pueden definir de forma análoga en un espacio vectorial topológico general . A diferencia de una base de Hamel , los elementos de la base deben ordenarse ya que la serie no puede converger incondicionalmente .

Base A Schauder { b _n } _{n ≥ 0} se dice que está normalizado cuando todos los vectores de la base tienen norma 1 en el espacio de Banach  V .

Una secuencia { x _n } _{n ≥ 0} en V es una secuencia básica si es una base de Schauder de su tramo lineal cerrado .

Se dice que dos bases de Schauder, { b _n } en V y { c _n } en W , son equivalentes si existen dos constantes c > 0 y C tales que para cada número natural N ≥ 0 y todas las secuencias {α _n } de escalares

${\ Displaystyle c \ left \ | \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ alpha _ {k} b_ {k} \ right \ | _ {V} \ leq \ left \ | \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ alpha _ {k} c_ {k} \ right \ | _ {W} \ leq C \ left \ | \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ alpha _ {k} b_ {k} \ right \ | _ {V}.}$

Una familia de vectores en V es total de si su envolvente lineal (el conjunto de finito lineal combinaciones) es denso en V . Si V es un espacio de Hilbert , una base ortogonal es un subconjunto total B de V tal que los elementos en B son distintos de cero y ortogonales por pares. Además, cuando cada elemento de B tiene norma 1, entonces B es una base ortonormal de V .

Propiedades

Sea { b _n } una base Schauder de un espacio de Banach V sobre F  = R o  C . Es una consecuencia sutil del teorema de mapeo abierto que los mapeos lineales { P _n } definidos por

${\ Displaystyle v = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} b_ {k} \ \ {\ overset {\ textstyle P_ {n}} {\ longrightarrow}} \ \ P_ { n} (v) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ alpha _ {k} b_ {k}}$

son uniformemente limitada por alguna constante C . Cuando C = 1 , la base se denomina base monótona . Los mapas { P _n } son las proyecciones base .

Sea { b * _n } las coordenadas funcionales , donde b * _n asigna a cada vector v en V la coordenada α _n de v en la expansión anterior. Cada b * _n es un delimitado lineal funcional en V . De hecho, para cada vector v en V ,

${\ Displaystyle | b_ {n} ^ {*} (v) | \; \ | b_ {n} \ | _ {V} = | \ alpha _ {n} | \; \ | b_ {n} \ | _ {V} = \ | \ alpha _ {n} b_ {n} \ | _ {V} = \ | P_ {n} (v) -P_ {n-1} (v) \ | _ {V} \ leq 2C \ | v \ | _ {V}.}$

Estos funcionales { b * _n } se denominan funcionales biortogonales asociados a la base { b _n }. Cuando la base { b _n } se normaliza, los funcionales {coordinar b * _n } tiene norma ≤ 2 C en el dual continuo V  ' de  V .

Un espacio de Banach con una base de Schauder es necesariamente separable , pero lo contrario es falso. Dado que todo vector v en un espacio de Banach V con una base de Schauder es el límite de P _n ( v ), con P _n de rango finito y acotado uniformemente, dicho espacio V satisface la propiedad de aproximación acotada .

Un teorema atribuido a Mazur afirma que todo espacio de Banach de dimensión infinita V contiene una secuencia básica, es decir , hay un subespacio de dimensión infinita de V que tiene una base de Schauder. El problema básico es la pregunta formulada por Banach, si cada espacio Banach separable tiene una base Schauder. Esto fue respondido negativamente por Per Enflo, quien construyó un espacio de Banach separable sin la propiedad de aproximación, por lo tanto, un espacio sin una base de Schauder.

Ejemplos de

Las bases de vectores unitarios estándar de c ₀ , y de ℓ ^p para 1 ≤ p  <∞, son bases de Schauder monótonas. En esta base de vector unitario { b _n }, el vector b _n en V = c ₀ o en V = ℓ ^p es la secuencia escalar [ b _{n , j} ] _j donde todas las coordenadas b _{n, j} son 0, excepto la n- ésima coordinar:

${\ Displaystyle b_ {n} = \ {b_ {n, j} \} _ {j = 0} ^ {\ infty} \ in V, \ \ b_ {n, j} = \ delta _ {n, j} ,}$

donde δ _{n, j} es el delta de Kronecker . El espacio ℓ ^∞ no es separable y, por lo tanto, no tiene una base de Schauder.

Cada base ortonormal en un espacio de Hilbert separable es una base de Schauder. Cada base ortonormal contable es equivalente a la base del vector unitario estándar en ℓ ² .

El sistema Haar es un ejemplo de base para L ^p ([0, 1]) , cuando 1 ≤ p  <∞. Cuando 1 < p  <∞ , otro ejemplo es el sistema trigonométrico definido a continuación. El espacio de Banach C ([0, 1]) de funciones continuas en el intervalo [0, 1], con la norma supremum , admite una base de Schauder. El sistema Faber-Schauder es la base de Schauder más utilizada para  C ([0, 1]).

Se descubrieron varias bases para los espacios clásicos antes de que apareciera el libro de Banach ( Banach (1932) ), pero algunos otros casos permanecieron abiertos durante mucho tiempo. Por ejemplo, la cuestión de si el álgebra de disco A ( D ) tiene una base de Schauder permaneció abierta durante más de cuarenta años, hasta que Bočkarev demostró en 1974 que existe una base construida a partir del sistema de Franklin en  A ( D ). También se puede probar que el sistema de Franklin periódico es una base para un espacio de Banach A _r isomorfo a A ( D ). Este espacio A _r consta de todas las funciones continuas complejas en el círculo unitario T cuya función conjugada también es continua. El sistema de Franklin es otra base de Schauder para C ([0, 1]), y es una base de Schauder en L ^p ([0, 1]) cuando 1 ≤ p <∞ . Los sistemas derivados del sistema de Franklin dan bases en el espacio C ¹ ([0, 1] ² ) de funciones diferenciables en el cuadrado unitario. La existencia de una base de Schauder en C ¹ ([0, 1] ² ) fue una pregunta del libro de Banach.

Relación con la serie de Fourier

Sea { x _n }, en el caso real, la secuencia de funciones

${\ Displaystyle \ {1, \ cos (x), \ sin (x), \ cos (2x), \ sin (2x), \ cos (3x), \ sin (3x), \ ldots \}}$

o, en el caso complejo,

${\ Displaystyle \ left \ {1, e ^ {ix}, e ^ {- ix}, e ^ {2ix}, e ^ {- 2ix}, e ^ {3ix}, e ^ {- 3ix}, \ ldots \derecho\}.}$

La secuencia { x _n } se llama sistema trigonométrico . Es una base de Schauder para el espacio L ^p ([0, 2 π ]) para cualquier p tal que 1 < p <∞ . Para p  = 2, este es el contenido del teorema de Riesz-Fischer , y para p  ≠ 2, es una consecuencia de la acotación en el espacio L ^p ([0, 2 π ]) de la transformada de Hilbert en el círculo . De esta acotación se deduce que las proyecciones P _N definidas por

${\ Displaystyle \ left \ {f: x \ to \ sum _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {k} e ^ {ikx} \ right \} \ {\ overset {P_ {N} } {\ longrightarrow}} \ \ left \ {P_ {N} f: x \ to \ sum _ {k = -N} ^ {N} c_ {k} e ^ {ikx} \ right \}}$

están uniformemente acotadas en L ^p ([0, 2 π ]) cuando 1 < p <∞ . Esta familia de mapas { P _N } es equicontinua y tiende a la identidad en el subconjunto denso que consiste en polinomios trigonométricos . De ello se deduce que P _N f tiende af en L ^p -norm para todo f ∈ L ^p ([0, 2 π ]) . En otras palabras, { x _n } es una base de Schauder de L ^p ([0, 2 π ]).

Sin embargo, el conjunto { x _n } no es una base de Schauder para L ¹ ([0, 2 π ]). Esto significa que hay funciones en L ¹ cuya serie de Fourier no converge en la norma L ¹ , o de manera equivalente, que las proyecciones P _N no están uniformemente acotadas en la norma L ¹ . Además, el conjunto { x _n } no es una base de Schauder para C ([0, 2 π ]).

Bases para espacios de operadores

El espacio K (ℓ ² ) de operadores compactos en el espacio de Hilbert ℓ ² tiene una base de Schauder. Para cada x , y en ℓ ² , sea x ⊗ y el operador de rango uno v ∈ ℓ ² → < v , x > y . Si { e _n } _{n ≥ 1} es la base ortonormal estándar de ℓ ² , una base para K (ℓ ² ) viene dada por la secuencia

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & e_ {1} \ otimes e_ {1}, \ \ e_ {1} \ otimes e_ {2}, \; e_ {2} \ otimes e_ {2}, \; e_ { 2} \ otimes e_ {1}, \ ldots, \\ & e_ {1} \ otimes e_ {n}, e_ {2} \ otimes e_ {n}, \ ldots, e_ {n} \ otimes e_ {n}, e_ {n} \ otimes e_ {n-1}, \ ldots, e_ {n} \ otimes e_ {1}, \ ldots \ end {alineado}}}$

Para cada n , la secuencia que consta de los n ² primeros vectores en esta base es un ordenamiento adecuado de la familia { e _j ⊗ e _k }, para 1 ≤ j , k ≤ n .

El resultado anterior se puede generalizar: un espacio de Banach X con una base tiene la propiedad de aproximación , por lo que el espacio K ( X ) de operadores compactos en X es isométricamente isomorfo al producto tensorial inyectivo

${\ Displaystyle X '{\ widehat {\ otimes}} _ {\ varepsilon} X \ simeq {\ mathcal {K}} (X).}$

Si X es un espacio de Banach con una base de Schauder { e _n } _{n ≥ 1} tal que los funcionales biortogonales son una base del dual, es decir, un espacio de Banach con una base de contracción , entonces el espacio K ( X ) admite una base formada por los operadores de rango uno e * _j ⊗ e _k : v → e * _j ( v ) e _k , con el mismo orden que antes. Esto se aplica en particular a cada espacio reflexivo de Banach X con una base de Schauder

Por otro lado, el espacio B (ℓ ² ) no tiene base, ya que no es separable. Además, B (ℓ ² ) no tiene la propiedad de aproximación.

Incondicionalidad

Una base de Schauder { b _n } es incondicional si siempre que la serie converge, converge incondicionalmente . Para una base de Schauder { b _n }, esto es equivalente a la existencia de una constante C tal que ${\ Displaystyle \ sum \ alpha _ {n} b_ {n}}$

${\ Displaystyle {\ Bigl \ |} \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ varepsilon _ {k} \ alpha _ {k} b_ {k} {\ Bigr \ |} _ {V} \ leq C {\ Bigl \ |} \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ alpha _ {k} b_ {k} {\ Bigr \ |} _ {V}}$

para todos los números naturales n , todos los coeficientes escalares {α _k } y todos los signos ε _k = ± 1 . La incondicionalidad es una propiedad importante, ya que permite olvidarse del orden de suma. Una base de Schauder es simétrica si es incondicional y uniformemente equivalente a todas sus permutaciones : existe una constante C tal que para cada número natural n , cada permutación π del conjunto {0, 1, ..., n }, todo escalar coeficientes {α _k } y todos los signos {ε _k },

${\ Displaystyle {\ Bigl \ |} \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ varepsilon _ {k} \ alpha _ {k} b _ {\ pi (k)} {\ Bigr \ |} _ {V } \ leq C {\ Bigl \ |} \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ alpha _ {k} b_ {k} {\ Bigr \ |} _ {V}.}$

Las bases estándar de los espacios de secuencia c ₀ y ℓ ^p para 1 ≤ p  <∞, así como todas las bases ortonormales en un espacio de Hilbert, son incondicionales. Estas bases también son simétricas.

El sistema trigonométrico no es una base incondicional en L ^p , excepto para p  = 2.

El sistema Haar es una base incondicional en L ^p para cualquier 1 < p  <∞. El espacio L ¹ ([0, 1]) no tiene una base incondicional.

Una pregunta natural es si todo espacio de Banach de dimensión infinita tiene un subespacio de dimensión infinita con una base incondicional. Esto fue resuelto negativamente por Timothy Gowers y Bernard Maurey en 1992.

Bases de Schauder y dualidad

Una base { e _n } _{n ≥0} de un espacio de Banach X está acotada completa si para cada secuencia { a _n } _{n ≥0} de escalares tales que las sumas parciales

${\ Displaystyle V_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} e_ {k}}$

están delimitadas en X , la secuencia { V _n } converge en X . La base del vector unitario para ℓ ^p , 1 ≤ p <∞ , está acotada completa. Sin embargo, la base del vector unitario no está acotada completa en c ₀ . De hecho, si a _n  = 1 para cada n , entonces

${\ Displaystyle \ | V_ {n} \ | _ {c_ {0}} = \ max _ {0 \ leq k \ leq n} | a_ {k} | = 1}$

para cada n , pero la secuencia { V _n } no es convergente en c ₀ , ya que || V _{n +1} - V _n || = 1 por cada  n .

Un espacio X con una base completa delimitada { e _n } _{n ≥0} es isomorfo a un espacio dual, es decir, el espacio X es isomorfo al dual del tramo lineal cerrado en el X  ′ dual de los funcionales biortogonales asociados a la base { e _n }.

Una base { e _n } _{n ≥0} de X se está reduciendo si para cada f funcional lineal acotada en X , la secuencia de números no negativos

${\ Displaystyle \ varphi _ {n} = \ sup \ {| f (x) |: x \ in F_ {n}, \; \ | x \ | \ leq 1 \}}$

tiende a 0 cuando n → ∞ , donde F _n es el intervalo lineal de los vectores base e _m para m ≥ n . La base del vector unitario para ℓ ^p , 1 < p <∞, o para c ₀ , se está reduciendo. No se contrae en ℓ ¹ : si f es el funcional lineal acotado en ℓ ¹ dado por

${\ Displaystyle f: x = \ {x_ {n} \} \ in \ ell ^ {1} \ \ rightarrow \ \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x_ {n},}$

entonces φ _n ≥ f ( e _n ) = 1 para cada n .

Una base [ e _n ] _{n ≥ 0} de X se contrae si y solo si los funcionales biortogonales [ e * _n ] _{n ≥ 0} forman una base de la X  ′ dual .

Robert C. James caracterizó la reflexividad en los espacios de Banach con una base: el espacio X con una base de Schauder es reflexivo si y solo si la base es a la vez encogida y delimitadamente completa. James también demostró que un espacio con una base incondicional no es reflexivo si y solo si contiene un subespacio isomórfico ac ₀ o ℓ ¹ .

Conceptos relacionados

Una base de Hamel es un subconjunto B de un espacio vectorial V tal que cada elemento v ∈ V puede escribirse únicamente como

${\ Displaystyle v = \ sum _ {b \ in B} \ alpha _ {b} b}$

con α _b ∈ F , con la condición adicional de que el conjunto

${\ Displaystyle \ {b \ in B \ mid \ alpha _ {b} \ neq 0 \}}$

es finito. Esta propiedad hace que la base de Hamel sea difícil de manejar para espacios Banach de dimensiones infinitas; como base de Hamel para un espacio de Banach de dimensión infinita tiene que ser incontable . (Todo subespacio de dimensión finita de un espacio de Banach de dimensión infinita X tiene un interior vacío y no es denso en ningún lugar en X. Del teorema de la categoría de Baire se deduce que una unión contable de estos subespacios de dimensión finita no puede servir como base .)

Ver también

• Base de Markushevich
• Serie de Fourier generalizada
• Polinomios ortogonales
• Haar wavelet
• Espacio banach

Notas

Este artículo incorpora material de Countable en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

Referencias

• Schauder, Juliusz (1927), "Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen", Mathematische Zeitschrift (en alemán), 26 : 47–65, doi : 10.1007 / BF01475440 , hdl : 10338.dmlcz / 104881 .
• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). 1 . Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl   0005.20901 . Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 .
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• Sistema Franklin. BI Golubov (creador), Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655

Otras lecturas

• Kufner, Alois (2013), Espacios funcionales , Serie De Gruyter en análisis y aplicaciones no lineales, 14 , Praga: Academia Editorial de la Academia de Ciencias de Checoslovaquia, de Gruyter