Superficie reglada - Ruled surface

En geometría , una superficie S se dictaminó (también llamado un desplazamiento ) si a través de cada punto de S no es una línea recta que se encuentra en S . Los ejemplos incluyen el plano , la superficie lateral de un cilindro o cono , una superficie cónica con directriz elíptica , el conoide derecho , el helicoide y la tangente desarrollable de una curva suave en el espacio.

Una superficie reglada se puede describir como el conjunto de puntos barridos por una línea recta en movimiento. Por ejemplo, un cono se forma manteniendo fijo un punto de una línea mientras se mueve otro punto a lo largo de un círculo . Una superficie está doblemente reglada si a través de cada uno de sus puntos hay dos líneas distintas que se encuentran en la superficie. El paraboloide hiperbólico y el hiperboloide de una hoja son superficies doblemente regladas. El plano es la única superficie que contiene al menos tres líneas distintas a través de cada uno de sus puntos ( Fuchs & Tabachnikov 2007 ).

Las propiedades de ser gobernado o doblemente gobernado se conservan mediante mapas proyectivos y, por tanto, son conceptos de geometría proyectiva . En geometría algebraica, las superficies regladas a veces se consideran superficies en el espacio afín o proyectivo sobre un campo, pero a veces también se consideran superficies algebraicas abstractas sin una incrustación en un espacio afín o proyectivo, en cuyo caso se entiende que "línea recta" significa una línea afín o proyectiva.

Definición y representación paramétrica

Una variedad diferenciable bidimensional se llama superficie reglada , si es la unión de una familia de líneas uniparamétricas. Las líneas de esta familia son las generadoras de la superficie reglada.

Una superficie reglada se puede describir mediante una representación paramétrica de la forma

• (CR) .${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)={\color {red}\mathbf {c} (u)}+v\;{\color {blue}\mathbf {r} (u)}\ ,\ v\in \mathbb {R} \ ,}$

Cualquier curva con parámetro fijo es un generador (línea) y la curva es la directriz de la representación. Los vectores describen las direcciones de los generadores. ${\displaystyle \;v\mapsto \mathbf {x} (u_{0},v)\;}$${\displaystyle u=u_{0}}$${\displaystyle \;u\mapsto \mathbf {c} (u)\;}$${\displaystyle \;\mathbf {r} (u)\neq {\bf {0\;}}}$

La directriz puede colapsar en un punto (en el caso de un cono, vea el ejemplo a continuación).

Alternativamente, la superficie reglada (CR) se puede describir mediante

• (CD) ${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\;{\color {red}\mathbf {c} (u)}+v\;{\color {green}\mathbf {d} (u)}\ }$

con la segunda directriz . ${\displaystyle \;\mathbf {d} (u)=\mathbf {c} (u)+\mathbf {r} (u)\;}$

Alternativamente, se puede comenzar con dos curvas que no se cruzan como directrices y obtener (CD) una superficie reglada con direcciones de línea${\displaystyle \mathbf {c} (u),\mathbf {d} (u)}$${\displaystyle \;\mathbf {r} (u)=\mathbf {d} (u)-\mathbf {c} (u)\ .}$

Para la generación de una superficie reglada por dos directrices (o una directriz y los vectores de direcciones de línea) no solo la forma geométrica de estas curvas es esencial, sino que también las representaciones paramétricas especiales de las mismas influyen en la forma de la superficie reglada (ver ejemplos a). ), D)).

Para las investigaciones teóricas, la representación (CR) es más ventajosa, porque el parámetro aparece solo una vez. ${\displaystyle v}$

Ejemplos de

Cilindro circular derecho

${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=a^{2}\ }$:

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)^{T}}$

${\displaystyle ={\color {red}(a\cos u,a\sin u,0)^{T}}\;+\;v\;{\color {blue}(0,0,1)^{T}}}$

${\displaystyle =(1-v)\;{\color {red}(a\cos u,a\sin u,0)^{T}}\;+\;v\;{\color {green}(a\cos u,a\sin u,1)^{T}}\ .}$

con

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(a\cos u,a\sin u,0)^{T}\ ,\ \mathbf {r} (u)=(0,0,1)^{T}\ ,\ \mathbf {d} (u)=(a\cos u,a\sin u,1)^{T}\ .}$

Cono circular recto

${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=z^{2}\ }$:

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\;+\;v\;(\cos u,\sin u,1)^{T}}$

${\displaystyle =(1-v)\;(\cos u,\sin u,1)^{T}\;+\;v\;(2\cos u,2\sin u,2)^{T}.}$

con En este caso se podría haber utilizado el vértice como directriz, es decir: y como direcciones de línea. ${\displaystyle \quad \mathbf {c} (u)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\;=\;\mathbf {r} (u)\ ,\quad \mathbf {d} (u)=(2\cos u,2\sin u,2)^{T}\ .}$
${\displaystyle \ \mathbf {c} (u)=(0,0,0)^{T}\ }$${\displaystyle \ \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\ }$

Para cualquier cono se puede elegir el vértice como directriz. Este caso muestra: La directriz de una superficie reglada puede degenerar hasta un punto .

Helicoide

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\;(v\cos u,v\sin u,ku)^{T}\;}$

${\displaystyle =\;(0,0,ku)^{T}\;+\;v\;(\cos u,\sin u,0)^{T}\ }$

${\displaystyle =\;(1-v)\;(0,0,ku)^{T}\;+\;v\;(\cos u,\sin u,ku)^{T}\ .}$

La directriz es el eje z, las direcciones de la línea son y la segunda directriz es una hélice . ${\displaystyle \ \mathbf {c} (u)=(0,0,ku)^{T}\;}$${\displaystyle \;\mathbf {r} (u)=\ (\cos u,\sin u,0)^{T}\;}$${\displaystyle \ \mathbf {d} (u)=(\cos u,\sin u,ku)^{T}\ }$

El helicoide es un caso especial de los helicoides generalizados reglados .

Cilindro, cono e hiperboloides

La representación paramétrica

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\;(\cos(u-\varphi ),\sin(u-\varphi ),-1)^{T}\;+\;v\;(\cos(u+\varphi ),\sin(u+\varphi ),1)^{T}}$

tiene dos círculos horizontales como directrices. El parámetro adicional permite variar las representaciones paramétricas de los círculos. Para ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi =0\ }$uno obtiene el cilindro , por${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle \varphi =\pi /2\ }$uno recibe el cono y por${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

${\displaystyle 0<\varphi <\pi /2\ }$se obtiene un hiperboloide de una hoja con la ecuación y los semiejes .${\displaystyle \ {\tfrac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ }$${\displaystyle \ a=\cos \varphi \;,\;c=\cot \varphi }$

Un hiperboloide de una hoja es una superficie doblemente reglada.

Paraboloide hiperbólico

Si las dos directrices en (CD) son las líneas

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2},\quad \mathbf {d} (u)=(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}}$

uno consigue

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v){\big (}(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2}{\big )}\ +\ v{\big (}(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}{\big )}\ }$,

que es el paraboloide hiperbólico que interpola los 4 puntos bilinealmente. ${\displaystyle \ \mathbf {a} _{1},\;\mathbf {a} _{2},\;\mathbf {b} _{1},\;\mathbf {b} _{2}\ }$

Obviamente, la superficie reglada es una superficie doblemente reglada , porque cualquier punto se encuentra en dos líneas de la superficie.

Para el ejemplo que se muestra en el diagrama:

${\displaystyle \ \mathbf {a} _{1}=(0,0,0)^{T},\;\mathbf {a} _{2}=(1,0,0)^{T},\;\mathbf {b} _{1}=(0,1,0)^{T},\;\mathbf {b} _{2}=(1,1,1)^{T}\ }$.

El paraboloide hiperbólico tiene la ecuación . ${\displaystyle z=xy}$

Cinta de Moebius

La superficie reglada

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

con

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(\cos 2u,\sin 2u,0)^{T}\ }$ (circule como directriz),

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u\cos 2u,\cos u\sin 2u,\sin u)^{T}\ ,\quad 0\leq u<\pi \ ,}$

contiene una tira de Möbius.

El diagrama muestra la tira de Möbius para . ${\displaystyle -0.3\leq v\leq 0.3}$

Se muestra un cálculo simple (consulte la siguiente sección). Por tanto, la realización dada de una tira de Möbius no es desarrollable . Pero existen bandas de Möbius desarrollables. ${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (0)\;,\;\mathbf {\dot {r}} (0)\;,\;\mathbf {r} (0))\;\neq \;0\ }$

Planos tangentes, superficies desarrollables

Para las consideraciones siguientes, se supone que existe cualquier derivada necesaria.

Para la determinación del vector normal en un punto se necesitan las derivadas parciales de la representación  : ${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{u}=\mathbf {\dot {c}} (u)+v\;\mathbf {\dot {r}} (u)\ }$ ,${\displaystyle \quad \mathbf {x} _{v}=\;\mathbf {r} (u)}$

Por tanto, el vector normal es

• ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {x} _{u}\times \mathbf {x} _{v}=\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} +v(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} )\ .}$

Debido a (¡Un producto mixto con dos vectores iguales siempre es 0!), El vector es un vector tangente en cualquier punto . Los planos tangentes a lo largo de esta línea son todos iguales, si es un múltiplo de . Esto solo es posible si los tres vectores se encuentran en un plano, es decir, son linealmente dependientes. La dependencia lineal de tres vectores se puede verificar usando el determinante de estos vectores: ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} =0}$${\displaystyle \mathbf {r} (u_{0})}$${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)}$${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} \ }$

• Los planos tangentes a lo largo de la línea son iguales, si${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)=\mathbf {c} (u_{0})+v\;\mathbf {r} (u_{0})}$

${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (u_{0})\;,\;\mathbf {\dot {r}} (u_{0})\;,\;\mathbf {r} (u_{0}))\;=\;0\ .}$

La importancia de esta condición determinante muestra el siguiente enunciado:

• Una superficie reglada se puede desarrollar en un plano, si en algún punto desaparece la curvatura de Gauss . Este es exactamente el caso si${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} )\;=\;0\quad }$

en cualquier momento es cierto.

Los generadores de cualquier superficie reglada se fusionan con una familia de sus líneas asintóticas. Para las superficies desarrollables, también forman una familia de sus líneas de curvatura . Se puede demostrar que cualquier superficie desarrollable es un cono, un cilindro o una superficie formada por todas las tangentes de una curva espacial.

Más ejemplos

• Conoide
• Superficie catalana
• Rodillos desarrollables ( oloide , esfericón )

Aplicación e historia de superficies desarrollables

La condición determinante de las superficies desarrollables se utiliza para determinar conexiones desarrollables numéricamente entre curvas espaciales (directrices). El diagrama muestra una conexión desarrollable entre dos elipses contenidas en diferentes planos (uno horizontal, otro vertical) y su desarrollo.

Una impresión del uso de superficies desarrollables en diseño asistido por computadora ( CAD ) se da en Diseño interactivo de superficies desarrollables.

Se puede encontrar un estudio histórico sobre superficies desarrollables en Superficies desarrollables: su historia y aplicación.

Superficies regladas en geometría algebraica

En geometría algebraica , las superficies regladas se definieron originalmente como superficies proyectivas en el espacio proyectivo que contiene una línea recta a través de cualquier punto dado. Esto implica inmediatamente que hay una línea proyectiva en la superficie a través de cualquier punto dado, y esta condición ahora se usa a menudo como la definición de una superficie reglada: las superficies regladas se definen como superficies proyectivas abstractas que satisfacen esta condición de que hay una línea proyectiva. a través de cualquier punto. Esto equivale a decir que son biracionales al producto de una curva y una línea proyectiva. A veces, una superficie reglada se define como aquella que satisface la condición más fuerte de tener una fibración sobre una curva con fibras que son líneas proyectivas. Esto excluye el plano proyectivo, que tiene una línea proyectiva en todos los puntos, pero no puede escribirse como tal fibración.

Las superficies regladas aparecen en la clasificación de Enriques de superficies complejas proyectivas, porque cada superficie algebraica de la dimensión de Kodaira es una superficie reglada (o un plano proyectivo, si se utiliza la definición restrictiva de superficie reglada). Cada superficie mínima reglada proyectiva que no sea el plano proyectivo es el paquete proyectivo de un paquete vectorial bidimensional sobre alguna curva. Las superficies regladas con curva base del género 0 son las superficies de Hirzebruch . ${\displaystyle -\infty }$

Superficies regladas en arquitectura

Las superficies doblemente regladas son la inspiración para estructuras hiperboloides curvas que se pueden construir con una celosía de elementos rectos, a saber:

• Paraboloides hiperbólicos, como techos de silla de montar .
• Hiperboloides de una hoja, como torres de enfriamiento y algunos cubos de basura .

El motor de cohete RM-81 Agena empleó canales de enfriamiento rectos que se colocaron en una superficie reglada para formar la garganta de la sección de la boquilla .

• 

  Torres hiperbólicas de enfriamiento en Didcot Power Station , Reino Unido; la superficie se puede regir doblemente.

• 

  Torre de agua doblemente gobernada con tanque toroidal , por Jan Bogusławski en Ciechanów , Polonia

• 

  Un hiperboloide Kobe Port Tower , Kobe , Japón, con doble fallo.

• 

  Torre de agua hiperboloide, 1896 en Nizhny Novgorod .

• 

  La cuadrícula de la Torre Shújov en Moscú, cuyas secciones están doblemente gobernadas.

• 

  Una escalera de caracol helicoidal reglada en el interior del Torrazzo de Cremona .

• 

  Iglesia de pueblo en Selo, Eslovenia: tanto el techo (cónico) como la pared (cilíndrica) son superficies regladas.

• 

  Un techo paraboloide hiperbólico de la estación de tren Warszawa Ochota en Varsovia , Polonia.

• 

  Un sombrero cónico rayado .

• 

  Tejas de techo onduladas regidas por líneas paralelas en una dirección y sinusoidales en la dirección perpendicular

• 

  Construcción de una superficie plana mediante revestimiento ( enrasado ) de hormigón.

Referencias

• Do Carmo, Manfredo P.: Geometría diferencial de curvas y superficies , Prentice-Hall; 1 edición, 1976 ISBN  978-0132125895
• Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlín, doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225
• Beauville, Arnaud (1996), Superficies algebraicas complejas , London Mathematical Society Student Texts, 34 (2a ed.), Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511623936 , ISBN 978-0-521-49510-3, MR  1406314
• Edge, WL (1931), The Theory of Goled Surfaces , Cambridge University Press, a través de Internet Archive. Revisión: Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas 37 (1931), 791-793, doi : 10.1090 / S0002-9904-1931-05248-4
• Fuchs, D .; Tabachnikov, Serge (2007), "16.5 No hay superficies no planas triplemente regladas", Ómnibus matemático: Treinta conferencias sobre matemáticas clásicas , American Mathematical Society, p. 228, ISBN 9780821843161.
• Li, Ta-chʻien (ed.) (2011), Problemas y soluciones en matemáticas, 3103 (2a ed.), World Scientific Publishing CompanyCS1 maint: extra text: authors list (link).
• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2.a ed.), Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8.
• Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Superficie reglada" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
• Sharp, John (2008), D-Forms: nuevas formas 3D sorprendentes a partir de formas curvas planas , Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3. Revisión: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229-230, doi : 10.1080 / 17513470903332913

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Superficie gobernada" . MathWorld .
• Imágenes de superficies regladas de la Universidad de Arizona
• Ejemplos de superficies desarrollables en el sitio web de Rhino3DE