Conoid - Conoid

conoide circular derecho: la directriz (rojo) es un círculo, el eje (azul) es perpendicular al plano de la directriz (amarillo)

En geometría, un conoide (griego: κωνος cono y -ειδης similar) es una superficie reglada , cuyas reglas (líneas) cumplen las condiciones adicionales

(1) Todas las reglas son paralelas a un plano, el plano directriz .

(2) Todas las reglas cortan una línea fija, el eje .

• El conoide es un conoide recto , si su eje es perpendicular a su plano directriz. Por tanto, todas las reglas son perpendiculares al eje.

Debido a (1) cualquier conoide es una superficie catalana y se puede representar paramétricamente por

• ${\ Displaystyle \ mathbf {x} (u, v) = \ mathbf {c} (u) + v \ mathbf {r} (u) \,}$

Cualquier curva con parámetro fijo es una regla, describe la directriz y los vectores son todos paralelos al plano de la directriz. La planaridad de los vectores se puede representar mediante ${\ Displaystyle \ mathbf {x} (u_ {0}, v)}$${\ Displaystyle u = u_ {0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {c} (u)}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (u)}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (u)}$

${\ Displaystyle \ det (\ mathbf {r}, \ mathbf {\ dot {r}}, \ mathbf {\ ddot {r}}) = 0}$.

• Si la directriz es un círculo, el conoide se llama conoide circular .

El término conoide ya fue utilizado por Arquímedes en su tratado Sobre conoides y esferoides .

Ejemplos

Conoide circular derecho

La representación paramétrica

${\ Displaystyle \ mathbf {x} (u, v) = (\ cos u, \ sin u, 0) + v (0, - \ sin u, z_ {0}) \, \ 0 \ leq u <2 \ pi, v \ in \ mathbb {R}}$

describe un conoide circular recto con el círculo unitario del plano xy como directriz y un plano directriz, que es paralelo al plano y - z. Su eje es la línea${\ Displaystyle (x, 0, z_ {0}) \ x \ in \ mathbb {R} \.}$

Características especiales :

1. La intersección con un plano horizontal es una elipse.
2. ${\ Displaystyle (1-x ^ {2}) (z-z_ {0}) ^ {2} -y ^ {2} z_ {0} ^ {2} = 0}$es una representación implícita. Por tanto, el conoide circular derecho es una superficie de grado 4.
3. Regla de Kepler da para un conoide circular recto con el radio y la altura del volumen exacto: .${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle V = {\ tfrac {\ pi} {2}} r ^ {2} h}$

La representación implícita también se cumple con los puntos de la línea . Para estos puntos no existen planos tangentes . Estos puntos se denominan singulares . ${\ Displaystyle (x, 0, z_ {0})}$

Conoide parabólico

conoide parabólico: la directriz es una parábola

La representación paramétrica

${\ Displaystyle \ mathbf {x} (u, v) = \ left (1, u, -u ^ {2} \ right) + v \ left (-1,0, u ^ {2} \ right)}$

${\ Displaystyle = \ left (1-v, u, - (1-v) u ^ {2} \ right) \, u, v \ in \ mathbb {R} \,}$

describe un conoide parabólico con la ecuación . El conoide tiene una parábola como directriz, el eje y como eje y un plano paralelo al plano xz como plano directriz. Los arquitectos lo utilizan como superficie de techo (véase más abajo). ${\ Displaystyle z = -xy ^ {2}}$

El conoide parabólico no tiene puntos singulares.

Más ejemplos

1. paraboloide hiperbólico
2. Plücker conoide
3. Paraguas Whitney
4. helicoide

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  paraboloide hiperbólico

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  Plücker conoide

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  Paraguas Whitney

Aplicaciones

conoide en arquitectura

conoides en arquitectura

Matemáticas

Hay muchos conoides con puntos singulares, que se investigan en geometría algebraica .

Arquitectura

Como otras superficies regladas, los conoides son de gran interés para los arquitectos, ya que se pueden construir mediante vigas o barras. Los conoides rectos se pueden fabricar fácilmente: uno enrosca las barras en un eje de modo que solo puedan girarse alrededor de este eje. Luego uno desvía las barras por una directriz y genera un conoide (s. Conoide parabólico).

enlaces externos

• mundo matemático: conoide Plücker
• "Conoid" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Referencias

• A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Geometría diferencial moderna de curvas y superficies con Mathematica , 3ª ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 2006. [1] ( ISBN  978-1-58488-448-4 )
• Vladimir Y. Rovenskii, Geometría de curvas y superficies con MAPLE [2] ( ISBN  978-0-8176-4074-3 )