Ruleta (curva) - Roulette (curve)

En la geometría diferencial de curvas , una ruleta es una especie de curva que generaliza cicloides , epicicloides , hipocicloides , trocoides , epitrocoides , hipotrocoides e involutas .

Definición

Definición informal

Una parábola verde rueda a lo largo de una parábola azul igual que permanece fija. El generador es el vértice de la parábola rodante y describe la ruleta, que se muestra en rojo. En este caso la ruleta es el cissoide de Diocles .

En términos generales, una ruleta es la curva descrita por un punto (llamado generador o poste ) unido a una curva dada cuando esa curva rueda sin deslizarse, a lo largo de una segunda curva determinada que es fija. Más precisamente, dada una curva unida a un plano que se mueve de modo que la curva rueda, sin deslizarse, a lo largo de una curva dada unida a un plano fijo que ocupa el mismo espacio, entonces un punto unido al plano en movimiento describe una curva, en el plano fijo llamado ruleta.

Casos especiales y conceptos relacionados

En el caso de que la curva rodante sea una línea y el generador sea un punto de la línea, la ruleta se denomina involuta de la curva fija. Si la curva rodante es un círculo y la curva fija es una línea, entonces la ruleta es un trocoide . Si, en este caso, el punto está en el círculo, entonces la ruleta es una cicloide .

Un concepto relacionado es un glissette , la curva descrita por un punto unido a una curva dada mientras se desliza a lo largo de dos (o más) curvas dadas.

Definicion formal

Hablando formalmente, las curvas deben ser curvas diferenciables en el plano euclidiano . La curva fija se mantiene invariante; la curva rodante está sujeta a una transformación de congruencia continua de modo que en todo momento las curvas son tangentes en un punto de contacto que se mueve con la misma velocidad cuando se toma a lo largo de cualquiera de las curvas (otra forma de expresar esta restricción es que el punto de contacto del dos curvas es el centro instantáneo de rotación de la transformación de congruencia). La ruleta resultante está formada por el locus del generador sometido al mismo conjunto de transformaciones de congruencia.

Modelado de las curvas originales como curvas en el plano complejo , vamos a ser los dos parametrizaciones naturales de la laminación ( ) fijos y ( ) curvas, de manera que , y para todos . La ruleta del generador a medida que avanza viene dada por el mapeo: ${\ Displaystyle r, f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle r (0) = f (0)}$ ${\ Displaystyle r '(0) = f' (0)}$ ${\ Displaystyle | r '(t) | = | f' (t) | \ neq 0}$ ${\ Displaystyle t}$ ${\ Displaystyle p \ in \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle f}$

{\ Displaystyle t \ mapsto f (t) + (pr (t)) {f '(t) \ over r' (t)}.}

Generalizaciones

Si, en lugar de unir un solo punto a la curva rodante, se lleva otra curva dada a lo largo del plano en movimiento, se produce una familia de curvas congruentes. El sobre de esta familia también se puede llamar ruleta.

Ciertamente se pueden imaginar las ruletas en espacios más altos, pero es necesario alinear algo más que las tangentes.

Ejemplo

Si la curva fija es una catenaria y la curva rodante es una línea , tenemos:

{\ Displaystyle f (t) = t + yo (\ cosh (t) -1) \ qquad r (t) = \ sinh (t)}

{\ Displaystyle f '(t) = 1 + i \ sinh (t) \ qquad r' (t) = \ cosh (t).}

La parametrización de la línea se elige de modo que

{\ Displaystyle | f '(t) | = {\ sqrt {1 ^ {2} + \ sinh ^ {2} (t)}} = {\ sqrt {\ cosh ^ {2} (t)}} = | r '(t) |.}

Aplicando la fórmula anterior obtenemos:

{\ Displaystyle f (t) + (pr (t)) {f '(t) \ over r' (t)} = t-i + {p- \ sinh (t) + i (1 + p \ sinh (t) )) \ over \ cosh (t)} = t-i + (p + i) {1 + i \ sinh (t) \ over \ cosh (t)}.}

Si p = - i, la expresión tiene una parte imaginaria constante (a saber, - i ) y la ruleta es una línea horizontal. Una aplicación interesante de esto es que una rueda cuadrada podría rodar sin rebotar en una carretera que es una serie combinada de arcos de catenaria.

Lista de ruletas

Curva fija	Curva rodante	Punto generador	Ruleta
Cualquier curva	Línea	Punto en la línea	Involuta de la curva
Línea	Alguna	Alguna	Ciclogon
Línea	Circulo	Alguna	Trocoide
Línea	Circulo	Punto en el círculo	Cicloide
Línea	Sección cónica	Centro de la cónica	Ruleta Sturm
Línea	Sección cónica	Foco de la cónica	Ruleta delaunay
Línea	Parábola	Foco de la parábola	De cadena
Línea	Elipse	Foco de la elipse	Catenaria elíptica
Línea	Hipérbola	Foco de la hipérbola	Catenaria hiperbólica
Línea	Hipérbola	Centro de la hipérbola	Elástica rectangular
Línea	Ciclocicloide	Centrar	Elipse
Circulo	Circulo	Alguna	Trocoide centrado
Fuera de un círculo	Circulo	Alguna	Epitrocoide
Fuera de un círculo	Circulo	Punto en el círculo	Epicicloide
Fuera de un círculo	Círculo de radio idéntico	Alguna	Limaçon
Fuera de un círculo	Círculo de radio idéntico	Punto en el círculo	Cardioide
Fuera de un círculo	Círculo de la mitad del radio	Punto en el círculo	Nefroide
Dentro de un circulo	Circulo	Alguna	Hipotrocoide
Dentro de un circulo	Circulo	Punto en el círculo	Hipocicloide
Dentro de un circulo	Círculo de un tercio del radio	Punto en el círculo	Deltoides
Dentro de un circulo	Círculo de un cuarto del radio	Punto en el círculo	Astroide
Parábola	Parábola igual parametrizada en dirección opuesta	Vértice de la parábola	Cissoide de Diocles
De cadena	Línea	Ver ejemplo arriba	Línea

Ver también

Notas

Referencias

WH Besant (1890) Notas sobre Roulettes y Glissettes de las monografías históricas de matemáticas de la Universidad de Cornell , publicado originalmente por Deighton, Bell & Co.
Weisstein, Eric W. "Ruleta" . MathWorld .

Otras lecturas

Ruleta en 2dcurves.com
Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan (en francés)
Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (en alemán)

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