Parábola - Parabola

En matemáticas , una parábola es una curva plana que es simétrica y está aproximadamente U- forma . Se ajusta a varias descripciones matemáticas superficialmente diferentes , que se puede probar que definen exactamente las mismas curvas.

Una descripción de una parábola involucra un punto (el foco ) y una línea (la directriz ). El foco no está en la directriz. La parábola es el lugar geométrico de los puntos en ese plano que son equidistantes tanto de la directriz como del foco. Otra descripción de una parábola es como una sección cónica , creada a partir de la intersección de una superficie cónica circular derecha y un plano paralelo a otro plano que es tangencial a la superficie cónica.

La línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco (es decir, la línea que divide la parábola por el medio) se llama "eje de simetría". El punto donde la parábola interseca su eje de simetría se llama " vértice " y es el punto donde la parábola tiene una curva más pronunciada. La distancia entre el vértice y el foco, medida a lo largo del eje de simetría, es la "distancia focal". El " latus recto " es la cuerda de la parábola que es paralela a la directriz y pasa por el foco. Las parábolas pueden abrirse hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda, hacia la derecha o en alguna otra dirección arbitraria. Cualquier parábola se puede reposicionar y cambiar de escala para que encaje exactamente en cualquier otra parábola, es decir, todas las parábolas son geométricamente similares .

Las parábolas tienen la propiedad de que, si están hechas de material que refleja la luz , entonces la luz que viaja paralela al eje de simetría de una parábola y golpea su lado cóncavo se refleja en su foco, sin importar en qué lugar de la parábola ocurra la reflexión. Por el contrario, la luz que se origina en una fuente puntual en el foco se refleja en un haz paralelo (" colimado "), dejando la parábola paralela al eje de simetría. Los mismos efectos ocurren con el sonido y otras ondas. Esta propiedad reflectante es la base de muchos usos prácticos de las parábolas.

La parábola tiene muchas aplicaciones importantes, desde una antena parabólica o un micrófono parabólico hasta los reflectores de los faros de los automóviles y el diseño de misiles balísticos . Se utiliza con frecuencia en física , ingeniería y muchas otras áreas.

Historia

El primer trabajo conocido sobre secciones cónicas fue de Menaecmo en el siglo IV a. C. Descubrió una forma de resolver el problema de duplicar el cubo usando parábolas. (La solución, sin embargo, no cumple los requisitos de construcción con compás y regla no graduada .) El área encerrada por una parábola y un segmento de línea, el llamado "segmento de parábola", fue calculada por Arquímedes mediante el método de agotamiento en el siglo III a. C., en su La cuadratura de la parábola . El nombre "parábola" se debe a Apolonio , quien descubrió muchas propiedades de las secciones cónicas. Significa "aplicación", refiriéndose al concepto de "aplicación de áreas", que tiene una conexión con esta curva, como lo había demostrado Apolonio. La propiedad de foco-directriz de la parábola y otras secciones cónicas se debe a Pappus .

Galileo demostró que la trayectoria de un proyectil sigue una parábola, consecuencia de la aceleración uniforme debida a la gravedad.

La idea de que un reflector parabólico pudiera producir una imagen ya era bien conocida antes de la invención del telescopio reflector . Los diseños fueron propuestos a principios y mediados del siglo XVII por muchos matemáticos , incluidos René Descartes , Marin Mersenne y James Gregory . Cuando Isaac Newton construyó el primer telescopio reflector en 1668, se saltó el uso de un espejo parabólico debido a la dificultad de fabricación y optó por un espejo esférico . Los espejos parabólicos se utilizan en la mayoría de los telescopios reflectores modernos y en antenas parabólicas y receptores de radar .

Definición como lugar geométrico de puntos

Una parábola se puede definir geométricamente como un conjunto de puntos ( lugar geométrico de puntos ) en el plano euclidiano:

• Una parábola es un conjunto de puntos, de modo que para cualquier punto del conjunto la distancia a un punto fijo , el foco , es igual a la distancia a una línea fija , la directriz :${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle | PF |}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle | Pl |}$${\ Displaystyle l}$

${\ Displaystyle \ {P: | PF | = | Pl | \}.}$

El punto medio de la perpendicular desde el foco a la directriz se llama vértice y la línea es el eje de simetría de la parábola. ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle l}$${\ displaystyle FV}$

En un sistema de coordenadas cartesiano

Eje de simetría paralelo al eje y

Si se introducen coordenadas cartesianas , tales que y la directriz tiene la ecuación , se obtiene un punto de la ecuación . Resolviendo por rendimientos ${\ Displaystyle F = (0, f), \ f> 0,}$${\ Displaystyle y = -f}$${\ Displaystyle P = (x, y)}$${\ Displaystyle | PF | ^ {2} = | Pl | ^ {2}}$${\ Displaystyle x ^ {2} + (yf) ^ {2} = (y + f) ^ {2}}$${\ Displaystyle y}$

${\ Displaystyle y = {\ frac {1} {4f}} x ^ {2}.}$

Esta parábola tiene forma de U (se abre hacia arriba ).

La cuerda horizontal a través del foco (vea la imagen en la sección inicial) se llama latus recto ; la mitad es el recto semi-latus . El recto latus es paralelo a la directriz. El recto semilato se designa con la letra . De la imagen se obtiene ${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle p = 2f.}$

El latus recto se define de manera similar para las otras dos cónicas: la elipse y la hipérbola. El recto latus es la línea trazada a través de un foco de una sección cónica paralela a la directriz y termina en ambos sentidos por la curva. En cualquier caso, es el radio del círculo osculante en el vértice. Para una parábola, el recto semilato es la distancia entre el foco y la directriz. Usando el parámetro , la ecuación de la parábola se puede reescribir como ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$

${\ displaystyle x ^ {2} = 2py.}$

De manera más general, si el vértice es el foco y la directriz , se obtiene la ecuación ${\ Displaystyle V = (v_ {1}, v_ {2})}$${\ Displaystyle F = (v_ {1}, v_ {2} + f)}$${\ Displaystyle y = v_ {2} -f}$

${\ Displaystyle y = {\ frac {1} {4f}} (x-v_ {1}) ^ {2} + v_ {2} = {\ frac {1} {4f}} x ^ {2} - { \ frac {v_ {1}} {2f}} x + {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {4f}} + v_ {2}.}$

Observaciones

1. En el caso de la parábola tiene una apertura hacia abajo.${\ Displaystyle f <0}$
2. La presunción de que el eje es paralelo al eje y permite considerar una parábola como la gráfica de un polinomio de grado 2, y viceversa: la gráfica de un polinomio arbitrario de grado 2 es una parábola (ver la siguiente sección).
3. Si se intercambia y , se obtienen ecuaciones de la forma . Estas parábolas se abren hacia la izquierda (si ) o hacia la derecha (si ).${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle y ^ {2} = 2px}$${\ Displaystyle p <0}$${\ Displaystyle p> 0}$

Posición general

Si el foco es , y la directriz , entonces se obtiene la ecuación ${\ Displaystyle F = (f_ {1}, f_ {2})}$${\ Displaystyle ax + by + c = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {(ax + by + c) ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} = (x-f_ {1}) ^ {2} + (y- f_ {2}) ^ {2}}$

(el lado izquierdo de la ecuación usa la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia ). ${\ Displaystyle | Pl |}$

Para una ecuación paramétrica de una parábola en posición general, ver § Como imagen afín de la parábola unitaria .

La ecuación implícita de una parábola está definida por un polinomio irreducible de grado dos:

${\ Displaystyle ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2} + dx + ey + f = 0,}$

tal que o, de manera equivalente, tal que sea ​​el cuadrado de un polinomio lineal . ${\ displaystyle b ^ {2} -4ac = 0,}$${\ Displaystyle ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}}$

Como gráfica de una función

La sección anterior muestra que cualquier parábola con el origen como vértice y el eje y como eje de simetría se puede considerar como la gráfica de una función.

${\ Displaystyle f (x) = ax ^ {2} {\ text {with}} a \ neq 0.}$

Porque las parábolas se abren hacia arriba y para abajo (ver imagen). De la sección anterior se obtiene: ${\ Displaystyle a> 0}$${\ Displaystyle a <0}$

• El enfoque es ,${\ Displaystyle \ left (0, {\ frac {1} {4a}} \ right)}$
• la distancia focal , el recto semi-latus es ,${\ Displaystyle {\ frac {1} {4a}}}$${\ Displaystyle p = {\ frac {1} {2a}}}$
• el vértice es ,${\ Displaystyle (0,0)}$
• la directriz tiene la ecuación ,${\ Displaystyle y = - {\ frac {1} {4a}}}$
• la tangente en el punto tiene la ecuación .${\ Displaystyle (x_ {0}, ax_ {0} ^ {2})}$${\ displaystyle y = 2ax_ {0} x-ax_ {0} ^ {2}}$

Para la parábola es la parábola unitaria con ecuación . Su foco es el recto semi-latus , y la directriz tiene la ecuación . ${\ Displaystyle a = 1}$${\ Displaystyle y = x ^ {2}}$${\ Displaystyle \ left (0, {\ tfrac {1} {4}} \ right)}$${\ Displaystyle p = {\ tfrac {1} {2}}}$${\ Displaystyle y = - {\ tfrac {1} {4}}}$

La función general del grado 2 es

${\ Displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c {\ text {with}} a, b, c \ in \ mathbb {R}, \ a \ neq 0}$.

Completando los rendimientos cuadrados

${\ Displaystyle f (x) = a \ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} + {\ frac {4ac-b ^ {2}} {4a}},}$

que es la ecuación de una parábola con

• el eje (paralelo al eje y ),${\ Displaystyle x = - {\ frac {b} {2a}}}$
• la distancia focal , el recto semilato ,${\ Displaystyle {\ frac {1} {4a}}}$ ${\ Displaystyle p = {\ frac {1} {2a}}}$
• el vértice ,${\ Displaystyle V = \ left (- {\ frac {b} {2a}}, {\ frac {4ac-b ^ {2}} {4a}} \ right)}$
• el foco ,${\ Displaystyle F = \ left (- {\ frac {b} {2a}}, {\ frac {4ac-b ^ {2} +1} {4a}} \ right)}$
• la directriz ,${\ Displaystyle y = {\ frac {4ac-b ^ {2} -1} {4a}}}$
• el punto de la parábola que cruza el eje y tiene coordenadas ,${\ displaystyle (0, c)}$
• la tangente en un punto del eje y tiene la ecuación .${\ Displaystyle y = bx + c}$

Similitud con la parábola unitaria

Dos objetos en el plano euclidiano son similares si uno puede transformarse en otro por una similitud , es decir, una composición arbitraria de movimientos rígidos ( traslaciones y rotaciones ) y escalas uniformes .

Una parábola con vértice se puede transformar mediante la traslación a una con el origen como vértice. Una rotación adecuada alrededor del origen puede transformar la parábola en una que tenga el eje y como eje de simetría. Por tanto, la parábola se puede transformar mediante un movimiento rígido en una parábola con una ecuación . Una parábola así se puede transformar mediante la escala uniforme en la parábola unitaria con ecuación . Por lo tanto, cualquier parábola se puede asignar a la parábola unitaria mediante una similitud. ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle V = (v_ {1}, v_ {2})}$${\ Displaystyle (x, y) \ to (x-v_ {1}, y-v_ {2})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle y = ax ^ {2}, \ a \ neq 0}$ ${\ Displaystyle (x, y) \ to (ax, ay)}$${\ Displaystyle y = x ^ {2}}$

También se puede utilizar un enfoque sintético , utilizando triángulos similares, para establecer este resultado.

El resultado general es que dos secciones cónicas (necesariamente del mismo tipo) son similares si y solo si tienen la misma excentricidad. Por lo tanto, solo los círculos (todos con excentricidad 0) comparten esta propiedad con las parábolas (todos con excentricidad 1), mientras que las elipses e hipérbolas generales no.

Hay otras transformaciones afines simples que mapean la parábola en la parábola unitaria, como . Pero este mapeo no es una similitud, y solo muestra que todas las parábolas son afinamente equivalentes (ver § Como imagen afín de la parábola unitaria ). ${\ Displaystyle y = ax ^ {2}}$${\ Displaystyle (x, y) \ to \ left (x, {\ tfrac {y} {a}} \ right)}$

Como sección cónica especial

El lápiz de secciones cónicas con el eje x como eje de simetría, un vértice en el origen (0, 0) y el mismo recto semilato se pueden representar mediante la ecuación ${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle y ^ {2} = 2px + (e ^ {2} -1) x ^ {2}, \ quad e \ geq 0,}$

con la excentricidad . ${\ Displaystyle e}$

• Porque la cónica es un círculo (círculo osculador del lápiz),${\ Displaystyle e = 0}$
• para una elipse ,${\ Displaystyle 0 <e <1}$
• para la parábola con ecuación${\ Displaystyle e = 1}$${\ Displaystyle y ^ {2} = 2px,}$
• para una hipérbola (ver imagen).${\ Displaystyle e> 1}$

En coordenadas polares

Si p > 0 , la parábola con ecuación (apertura a la derecha) tiene la representación polar${\ Displaystyle y ^ {2} = 2px}$

${\ Displaystyle r = 2p {\ frac {\ cos \ varphi} {\ sin ^ {2} \ varphi}}, \ quad \ varphi \ in \ left [- {\ tfrac {\ pi} {2}}, { \ tfrac {\ pi} {2}} \ right] \ setminus \ {0 \}}$

( ).${\ Displaystyle r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}, \ x = r \ cos \ varphi}$

Su vértice es , y su foco es . ${\ Displaystyle V = (0,0)}$${\ displaystyle F = \ left ({\ tfrac {p} {2}}, 0 \ right)}$

Si se cambia el origen al foco, es decir , se obtiene la ecuación ${\ Displaystyle F = (0,0)}$

${\ Displaystyle r = {\ frac {p} {1- \ cos \ varphi}}, \ quad \ varphi \ neq 2 \ pi k.}$

Observación 1: La inversión de esta forma polar muestra que una parábola es la inversa de un cardioide .

Observación 2: La segunda forma polar es un caso especial de un lápiz de cónicas con foco (ver imagen): ${\ Displaystyle F = (0,0)}$

${\ Displaystyle r = {\ frac {p} {1-e \ cos \ varphi}}}$( es la excentricidad).${\ Displaystyle e}$

Sección cónica y forma cuadrática

Diagrama, descripción y definiciones

El diagrama representa un cono con su eje AV . El punto A es su vértice . Una sección transversal inclinada del cono, que se muestra en rosa, está inclinada desde el eje en el mismo ángulo θ , como el lado del cono. Según la definición de una parábola como sección cónica, el límite de esta EPD de sección transversal rosa es una parábola.

Una sección transversal perpendicular al eje del cono pasa por el vértice P de la parábola. Esta sección transversal es circular, pero parece elíptica cuando se ve oblicuamente, como se muestra en el diagrama. Su centro es V y PK es un diámetro. Llamaremos a su radio  r .

Otra sección transversal circular perpendicular al eje del cono está más alejada del vértice A que la que se acaba de describir. Tiene un acorde DE , que une los puntos donde la parábola se cruza con el círculo. Otro acorde BC es la bisectriz perpendicular de DE y, en consecuencia, es un diámetro del círculo. Estos dos acordes y el eje de simetría de la parábola PM se cruzan en el punto M.

Todos los puntos etiquetados, excepto D y E, son coplanares . Están en el plano de simetría de toda la figura. Esto incluye el punto F, que no se menciona anteriormente. Se define y comenta a continuación, en § Posición del foco .

Llamemos a la longitud de DM y de EM x , y la longitud de PM  y .

Derivación de ecuación cuadrática

Las longitudes de BM y CM son:

${\ Displaystyle {\ overline {\ mathrm {BM}}} = 2y \ sin \ theta}$ (el triángulo BPM es isósceles , porque ),${\ Displaystyle {\ overline {PM}} \ paralelo {\ overline {AC}} \ implica \ ángulo PMB = \ ángulo ACB = \ ángulo ABC}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ mathrm {CM}}} = 2r}$ (PMCK es un paralelogramo ).

Usando el teorema de los acordes que se cruzan en los acordes BC y DE , obtenemos

${\ Displaystyle {\ overline {\ mathrm {BM}}} \ cdot {\ overline {\ mathrm {CM}}} = {\ overline {\ mathrm {DM}}} \ cdot {\ overline {\ mathrm {EM} }}.}$

Sustituyendo:

${\ Displaystyle 4ry \ sin \ theta = x ^ {2}.}$

Reorganizando:

${\ Displaystyle y = {\ frac {x ^ {2}} {4r \ sin \ theta}}.}$

Para cualquier cono dado y parábola, r y θ son constantes, pero x e y son variables que dependen de la altura arbitraria a la que se hace la sección transversal horizontal BECD. Esta última ecuación muestra la relación entre estas variables. Se pueden interpretar como coordenadas cartesianas de los puntos D y E, en un sistema en el plano rosa con P como origen. Dado que x está al cuadrado en la ecuación, el hecho de que D y E estén en lados opuestos del eje y no es importante. Si las horizontales de la sección transversal se mueve hacia arriba o hacia abajo, hacia o lejos desde el vértice del cono, D y E movimiento a lo largo de la parábola, manteniendo siempre la relación entre x y y se muestran en la ecuación. La curva parabólica es, por tanto, el lugar geométrico de los puntos donde se satisface la ecuación, lo que la convierte en un gráfico cartesiano de la función cuadrática en la ecuación.

Longitud focal

En una sección anterior se demuestra que si una parábola tiene su vértice en el origen y se abre en la dirección y positiva , entonces su ecuación es y = x ²/4 f, donde f es su distancia focal. Comparando esto con la última ecuación anterior, se muestra que la distancia focal de la parábola en el cono es r sen θ .

Posición del foco

En el diagrama de arriba, el punto V es el pie de la perpendicular desde el vértice de la parábola al eje del cono. El punto F es el pie de la perpendicular desde el punto V al plano de la parábola. Por simetría, F está en el eje de simetría de la parábola. El ángulo VPF es complementario a θ , y el ángulo PVF es complementario al ángulo VPF, por lo tanto el ángulo PVF es θ . Dado que la longitud de PV es r , la distancia de F desde el vértice de la parábola es r sen θ . Se muestra arriba que esta distancia es igual a la distancia focal de la parábola, que es la distancia desde el vértice al foco. Por tanto, el foco y el punto F están igualmente distantes del vértice, a lo largo de la misma línea, lo que implica que son el mismo punto. Por tanto, el punto F, definido anteriormente, es el foco de la parábola .

Esta discusión comenzó con la definición de una parábola como una sección cónica, pero ahora ha llevado a una descripción como una gráfica de una función cuadrática. Esto muestra que estas dos descripciones son equivalentes. Ambos definen curvas de exactamente la misma forma.

Prueba alternativa con esferas Dandelin

Se puede hacer una prueba alternativa usando esferas Dandelin . Funciona sin cálculo y utiliza únicamente consideraciones geométricas elementales (consulte la derivación a continuación).

La intersección de un cono vertical con un plano , cuya inclinación desde la vertical es la misma que una generatriz (también conocida como línea generadora, una línea que contiene el vértice y un punto en la superficie del cono) del cono, es una parábola (curva roja en la diagrama). ${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle m_ {0}}$

Esta generatriz es la única generatriz del cono que es paralela al plano . De lo contrario, si hay dos generatrices paralelas al plano de intersección, la curva de intersección será una hipérbola (o hipérbola degenerada , si las dos generatrices están en el plano de intersección). Si no hay una generatriz paralela al plano de intersección, la curva de intersección será una elipse o un círculo (o un punto ). ${\ Displaystyle m_ {0}}$${\ Displaystyle \ pi}$

Sea plano el plano que contiene el eje vertical del cono y la recta . La inclinación del plano de la vertical es la misma que la línea de medios que, se muestran desde el lado (es decir, el plano es perpendicular al plano ), . ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle m_ {0}}$${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle m_ {0}}$${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle m_ {0} \ paralelo \ pi}$

Para probar la propiedad de la directriz de una parábola (ver § Definición como un lugar geométrico de puntos arriba), se usa una esfera Dandelin , que es una esfera que toca el cono a lo largo de un círculo y un plano en un punto . El plano que contiene el círculo se interseca con el plano en la línea . Hay una simetría especular en el sistema que consta del plano , la esfera de Dandelin y el cono (el plano de simetría es ). ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle l}$${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle \ sigma}$

Dado que el plano que contiene el círculo es perpendicular al plano y , su línea de intersección también debe ser perpendicular al plano . Desde la línea está en plano , . ${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ pi \ perp \ sigma}$${\ Displaystyle l}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle m_ {0}}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle l \ perp m_ {0}}$

Resulta que es el foco de la parábola y es la directriz de la parábola. ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle l}$

1. Sea un punto arbitrario de la curva de intersección.${\ Displaystyle P}$
2. La generatriz del cono que contiene interseca el círculo en el punto .${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle A}$
3. Los segmentos de línea y son tangenciales a la esfera y, por lo tanto, tienen la misma longitud.${\ Displaystyle {\ overline {PF}}}$${\ Displaystyle {\ overline {PA}}}$${\ Displaystyle d}$
4. Generatrix cruza el círculo en el punto . Los segmentos de línea y son tangenciales a la esfera y, por lo tanto, tienen la misma longitud.${\ Displaystyle m_ {0}}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle {\ overline {ZD}}}$${\ Displaystyle {\ overline {ZA}}}$${\ Displaystyle d}$
5. Sea línea la línea paralela al punto que pasa por él . Dado que , y el punto está en el plano , la línea debe estar en el plano . Desde entonces , eso también lo sabemos .${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle m_ {0}}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle m_ {0} \ paralelo \ pi}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle m_ {0} \ perp l}$${\ Displaystyle q \ perp l}$
6. Deje que punto sea el pie de la perpendicular desde el punto a la línea , es decir, es un segmento de línea , y por lo tanto .${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle l}$${\ Displaystyle {\ overline {PB}}}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle {\ overline {PB}} \ paralelo {\ overline {ZD}}}$
7. Por el teorema de la intersección y lo sabemos . Ya sabemos eso , lo que significa que la distancia desde el foco es igual a la distancia desde la directriz .${\ Displaystyle {\ overline {ZD}} = {\ overline {ZA}}}$${\ Displaystyle {\ overline {PA}} = {\ overline {PB}}}$${\ Displaystyle {\ overline {PA}} = {\ overline {PF}}}$${\ Displaystyle {\ overline {PF}} = {\ overline {PB}}}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle l}$

Prueba de la propiedad reflectante

La propiedad reflectante establece que si una parábola puede reflejar la luz, entonces la luz que entra en ella viajando paralelamente al eje de simetría se refleja hacia el foco. Esto se deriva de la óptica geométrica , basada en el supuesto de que la luz viaja en rayos.

Considere la parábola y = x ² . Dado que todas las parábolas son similares, este simple caso representa a todos los demás.

Construcción y definiciones

El punto E es un punto arbitrario en la parábola. El foco es F, el vértice es A (el origen) y la línea FA es el eje de simetría. La línea EC es paralela al eje de simetría y se cruza con el eje x en D. El punto B es el punto medio del segmento de línea FC .

Deducciones

El vértice A es equidistante del foco F y de la directriz. Dado que C está en la directriz, las coordenadas y de F y C son iguales en valor absoluto y opuestas en signo. B es el punto medio de FC . Su coordenada x es la mitad de la de D, es decir, x / 2 . La pendiente de la recta BE es el cociente de las longitudes de ED y BD , que esx ²/x / 2= 2 x . Pero 2 x también es la pendiente (primera derivada) de la parábola en E. Por lo tanto, la recta BE es la tangente a la parábola en E.

Las distancias EF y EC son iguales porque E está en la parábola, F es el foco y C está en la directriz. Por lo tanto, dado que B es el punto medio de FC , los triángulos △ FEB y △ CEB son congruentes (tres lados), lo que implica que los ángulos marcados con α son congruentes. (El ángulo sobre E es verticalmente opuesto al ángulo ∠BEC.) Esto significa que un rayo de luz que ingresa a la parábola y llega a E viajando paralelo al eje de simetría será reflejado por la línea BE por lo que viaja a lo largo de la línea EF , como se muestra en rojo en el diagrama (asumiendo que las líneas pueden reflejar la luz de alguna manera). Dado que BE es la tangente a la parábola en E, la misma reflexión se hará mediante un arco infinitesimal de la parábola en E. Por tanto, se refleja la luz que entra en la parábola y llega a E viajando paralelamente al eje de simetría de la parábola. por la parábola hacia su foco.

Esta conclusión sobre la luz reflejada se aplica a todos los puntos de la parábola, como se muestra en el lado izquierdo del diagrama. Ésta es la propiedad reflectante.

Otras consecuencias

Hay otros teoremas que pueden deducirse simplemente del argumento anterior.

Propiedad de bisección de tangente

La prueba anterior y el diagrama adjunto muestran que la tangente BE biseca el ángulo ∠FEC. En otras palabras, la tangente a la parábola en cualquier punto biseca el ángulo entre las líneas que unen el punto al foco y perpendicularmente a la directriz.

Intersección de una tangente y una perpendicular desde el foco

Dado que los triángulos △ FBE y △ CBE son congruentes, FB es perpendicular a la tangente BE . Dado que B está en el eje x , que es la tangente a la parábola en su vértice, se deduce que el punto de intersección entre cualquier tangente a una parábola y la perpendicular desde el foco a esa tangente se encuentra en la línea que es tangencial a la parábola en su vértice. Ver diagrama animado y curva de pedal .

Reflexión de la luz que incide en el lado convexo

Si la luz viaja a lo largo de la línea CE , se mueve paralelamente al eje de simetría y golpea el lado convexo de la parábola en E. Está claro en el diagrama anterior que esta luz se reflejará directamente lejos del foco, a lo largo de una extensión de el segmento FE .

Pruebas alternativas

Las pruebas anteriores de las propiedades de bisección reflectante y tangente utilizan una línea de cálculo. Aquí se presenta una demostración geométrica.

En este diagrama, F es el foco de la parábola y T y U se encuentran en su directriz. P es un punto arbitrario de la parábola. PT es perpendicular a la directriz y la línea MP biseca el ángulo ∠FPT. Q es otro punto de la parábola, con QU perpendicular a la directriz. Sabemos que FP  =  PT y FQ  =  QU . Claramente, QT  >  QU , entonces QT  >  FQ . Todos los puntos de la bisectriz MP son equidistantes de F y T, pero Q está más cerca de F que de T. Esto significa que Q está a la izquierda de MP , es decir, en el mismo lado que el foco. Lo mismo sería cierto si Q estuviera ubicado en cualquier otro lugar de la parábola (excepto en el punto P), por lo que toda la parábola, excepto el punto P, está en el lado del foco de MP . Por lo tanto, MP es la tangente a la parábola en P. Dado que biseca el ángulo ∠FPT, esto prueba la propiedad de bisección de la tangente.

La lógica del último párrafo se puede aplicar para modificar la prueba anterior de la propiedad reflectante. Demuestra efectivamente que la línea BE es la tangente a la parábola en E si los ángulos α son iguales. La propiedad reflectante sigue como se mostró anteriormente.

Construcción de pasadores y cuerdas

La definición de una parábola por su enfoque y directriz se puede utilizar para dibujarla con la ayuda de alfileres y cuerdas:

1. Elija el foco y la directriz de la parábola.${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle l}$
2. Tome un triángulo de un cuadrado fijo y prepare una cuerda con una longitud (vea el diagrama).${\ Displaystyle | AB |}$
3. Fija un extremo de la cuerda en el punto del triángulo y el otro en el foco .${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle F}$
4. Coloque el triángulo de manera que el segundo borde del ángulo recto pueda deslizarse libremente a lo largo de la directriz.
5. Toma un bolígrafo y sujeta la cuerda apretada al triángulo.
6. Mientras mueve el triángulo a lo largo de la directriz, la pluma dibuja un arco de parábola, debido a (ver definición de parábola).${\ Displaystyle | PF | = | PB |}$

Propiedades relacionadas con el teorema de Pascal

Una parábola se puede considerar como la parte afín de una cónica proyectiva no degenerada con un punto en la línea del infinito , que es la tangente en . Las degeneraciones de 5, 4 y 3 puntos del teorema de Pascal son propiedades de una cónica que trata con al menos una tangente. Si se considera esta tangente como la línea en el infinito y su punto de contacto como el punto en el infinito del eje y , se obtienen tres enunciados para una parábola. ${\ Displaystyle Y _ {\ infty}}$${\ Displaystyle g _ {\ infty}}$${\ Displaystyle Y _ {\ infty}}$

Las siguientes propiedades de una parábola tratan solo con términos conectar , intersecar , paralelos , que son invariantes de similitudes . Entonces, es suficiente probar cualquier propiedad de la parábola unitaria con ecuación . ${\ Displaystyle y = x ^ {2}}$

Propiedad de 4 puntos

Cualquier parábola se puede describir en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación . ${\ Displaystyle y = ax ^ {2}}$

• Sean cuatro puntos de la parábola y la intersección de la recta secante con la recta y sea ​​la intersección de la recta secante con la recta (ver imagen). Entonces la recta secante es paralela a la recta .${\ Displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), \ P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}), \ P_ {3} = (x_ {3}, y_ {3}), \ P_ {4} = (x_ {4}, y_ {4})}$${\ Displaystyle y = ax ^ {2}}$${\ Displaystyle Q_ {2}}$${\ Displaystyle P_ {1} P_ {4}}$${\ Displaystyle x = x_ {2},}$${\ Displaystyle Q_ {1}}$${\ Displaystyle P_ {2} P_ {3}}$${\ Displaystyle x = x_ {1}}$${\ Displaystyle P_ {3} P_ {4}}$${\ Displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$

(Las líneas y son paralelas al eje de la parábola).${\ Displaystyle x = x_ {1}}$${\ Displaystyle x = x_ {2}}$

Prueba: cálculo sencillo para la parábola unitaria . ${\ Displaystyle y = x ^ {2}}$

Aplicación: La propiedad de 4 puntos de una parábola se puede utilizar para la construcción de un punto , mientras que y se dan. ${\ Displaystyle P_ {4}}$${\ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}$${\ Displaystyle Q_ {2}}$

Observación: la propiedad de 4 puntos de una parábola es una versión afín de la degeneración de 5 puntos del teorema de Pascal.

Propiedad 3-points – 1-tangent

Sean tres puntos de la parábola con ecuación y la intersección de la recta secante con la recta y la intersección de la recta secante con la recta (ver imagen). Entonces la tangente en el punto es paralela a la recta . (Las líneas y son paralelas al eje de la parábola). ${\ Displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}), P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), P_ {2} = (x_ {2}, y_ { 2})}$${\ Displaystyle y = ax ^ {2}}$${\ Displaystyle Q_ {2}}$${\ Displaystyle P_ {0} P_ {1}}$${\ Displaystyle x = x_ {2}}$${\ Displaystyle Q_ {1}}$${\ Displaystyle P_ {0} P_ {2}}$${\ Displaystyle x = x_ {1}}$${\ Displaystyle P_ {0}}$${\ Displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$${\ Displaystyle x = x_ {1}}$${\ Displaystyle x = x_ {2}}$

Prueba: se puede realizar para la parábola unitaria . Un breve cálculo muestra: la línea tiene pendiente, que es la pendiente de la tangente en el punto . ${\ Displaystyle y = x ^ {2}}$${\ Displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$${\ Displaystyle 2x_ {0}}$${\ Displaystyle P_ {0}}$

Aplicación: La propiedad 3-puntos-1-tangente de una parábola se puede utilizar para la construcción de la tangente en el punto , mientras se dan. ${\ Displaystyle P_ {0}}$${\ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {0}}$

Observación: La propiedad de 3 puntos 1 tangente de una parábola es una versión afín de la degeneración de 4 puntos del teorema de Pascal.

Propiedad 2-points – 2-tangentes

Sean dos puntos de la parábola con ecuación , y la intersección de la tangente en el punto con la línea , y la intersección de la tangente en el punto con la línea (ver imagen). Entonces la secante es paralela a la recta . (Las líneas y son paralelas al eje de la parábola). ${\ Displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), \ P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2})}$${\ Displaystyle y = ax ^ {2}}$${\ Displaystyle Q_ {2}}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ Displaystyle x = x_ {2}}$${\ Displaystyle Q_ {1}}$${\ Displaystyle P_ {2}}$${\ Displaystyle x = x_ {1}}$${\ Displaystyle P_ {1} P_ {2}}$${\ Displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$${\ Displaystyle x = x_ {1}}$${\ Displaystyle x = x_ {2}}$

Prueba: cálculo sencillo para la parábola unitaria . ${\ Displaystyle y = x ^ {2}}$

Aplicación: La propiedad de 2 puntos-2 tangentes se puede utilizar para la construcción de la tangente de una parábola en el punto , si se dan y la tangente en . ${\ Displaystyle P_ {2}}$${\ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$${\ Displaystyle P_ {1}}$

Observación 1: La propiedad de 2 puntos-2 tangentes de una parábola es una versión afín de la degeneración de 3 puntos del teorema de Pascal.

Observación 2: La propiedad de 2 puntos-2 tangentes no debe confundirse con la siguiente propiedad de una parábola, que también trata con 2 puntos y 2 tangentes, pero no está relacionada con el teorema de Pascal.

Dirección del eje

Los enunciados anteriores presuponen el conocimiento de la dirección del eje de la parábola, para construir los puntos . La siguiente propiedad determina los puntos por dos puntos dados y sus tangentes solamente, y el resultado es que la línea es paralela al eje de la parábola. ${\ Displaystyle Q_ {1}, Q_ {2}}$${\ Displaystyle Q_ {1}, Q_ {2}}$${\ Displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$

Dejar

1. ${\ Displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), \ P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2})}$sean dos puntos de la parábola , y sean sus tangentes;${\ Displaystyle y = ax ^ {2}}$${\ Displaystyle t_ {1}, t_ {2}}$
2. ${\ Displaystyle Q_ {1}}$ser la intersección de las tangentes ,${\ Displaystyle t_ {1}, t_ {2}}$
3. ${\ Displaystyle Q_ {2}}$ser la intersección de la línea paralela a través con la línea paralela a través (ver imagen).${\ Displaystyle t_ {1}}$${\ Displaystyle P_ {2}}$${\ Displaystyle t_ {2}}$${\ Displaystyle P_ {1}}$

Entonces la línea es paralela al eje de la parábola y tiene la ecuación${\ Displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$${\ Displaystyle x = (x_ {1} + x_ {2}) / 2.}$

Prueba: se puede hacer (como las propiedades anteriores) para la parábola unitaria . ${\ Displaystyle y = x ^ {2}}$

Aplicación: Esta propiedad se puede utilizar para determinar la dirección del eje de una parábola, si se dan dos puntos y sus tangentes. Una forma alternativa es determinar los puntos medios de dos acordes paralelos, consulte la sección sobre acordes paralelos .

Observación: esta propiedad es una versión afín del teorema de dos triángulos en perspectiva de una cónica no degenerada.

Generación Steiner

Parábola

Steiner estableció el siguiente procedimiento para la construcción de una cónica no degenerada (ver cónica de Steiner ):

• Dados dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y respectivamente) y un mapeo proyectivo pero no en perspectiva de sobre , los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada.${\ Displaystyle B (U), B (V)}$${\ Displaystyle U, V}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle B (U)}$${\ Displaystyle B (V)}$

Este procedimiento se puede utilizar para una construcción simple de puntos en la parábola : ${\ Displaystyle y = ax ^ {2}}$

• Considere el lápiz en el vértice y el conjunto de líneas que son paralelas al eje y .${\ Displaystyle S (0,0)}$${\ Displaystyle \ Pi _ {y}}$

1. Dejar que sea un punto de la parábola, y , .${\ Displaystyle P = (x_ {0}, y_ {0})}$${\ Displaystyle A = (0, y_ {0})}$${\ Displaystyle B = (x_ {0}, 0)}$
2. El segmento de línea se divide en n segmentos igualmente espaciados, y esta división se proyecta (en la dirección ) sobre el segmento de línea (ver figura). Esta proyección da lugar a un mapeo proyectivo de lápiz sobre lápiz .${\ Displaystyle {\ overline {BP}}}$${\ Displaystyle BA}$${\ Displaystyle {\ overline {AP}}}$${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ Pi _ {y}}$
3. La intersección de la línea y la i -ésima paralela al eje y es un punto en la parábola.${\ Displaystyle SB_ {i}}$

Prueba: cálculo sencillo.

Observación: La generación de Steiner también está disponible para elipses e hipérbolas .

Parábola dual

Una parábola dual consiste en el conjunto de tangentes de una parábola ordinaria.

La generación Steiner de una cónica se puede aplicar a la generación de una cónica dual cambiando los significados de puntos y líneas:

• Supongamos que se dan dos conjuntos de puntos en dos líneas , y un mapeo proyectivo pero no de perspectiva entre estos conjuntos de puntos, entonces las líneas de conexión de los puntos correspondientes forman una cónica dual no degenerada.${\ Displaystyle u, v}$${\ Displaystyle \ pi}$

Para generar elementos de una parábola dual, se comienza con

1. tres puntos no en una línea,${\ Displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$
2. divide las secciones de línea y cada una en segmentos de línea igualmente espaciados y agrega números como se muestra en la imagen.${\ Displaystyle {\ overline {P_ {0} P_ {1}}}}$${\ Displaystyle {\ overline {P_ {1} P_ {2}}}}$${\ Displaystyle n}$
3. Entonces las líneas son tangentes de una parábola, por lo tanto, elementos de una parábola dual.${\ Displaystyle P_ {0} P_ {1}, P_ {1} P_ {2}, (1,1), (2,2), \ dotsc}$
4. La parábola es una curva de Bezier de grado 2 con los puntos de control .${\ Displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$

La demostración es una consecuencia del algoritmo de Casteljau para una curva de Bezier de grado 2.

Ángulos inscritos y forma de 3 puntos

Una parábola con ecuación está determinada únicamente por tres puntos con diferentes coordenadas x . El procedimiento habitual para determinar los coeficientes es insertar las coordenadas de los puntos en la ecuación. El resultado es un sistema lineal de tres ecuaciones, que puede resolverse mediante eliminación de Gauss o la regla de Cramer , por ejemplo. Una forma alternativa utiliza el teorema del ángulo inscrito para las parábolas. ${\ Displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c, \ a \ neq 0}$${\ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), (x_ {3}, y_ {3})}$${\ Displaystyle a, b, c}$

A continuación, el ángulo de dos líneas se medirá por la diferencia de las pendientes de la línea con respecto a la directriz de la parábola. Es decir, para una parábola de ecuación, el ángulo entre dos líneas de ecuaciones se mide por${\ Displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c,}$${\ Displaystyle y = m_ {1} x + d_ {1}, \ y = m_ {2} x + d_ {2}}$${\ Displaystyle m_ {1} -m_ {2}.}$

De manera análoga al teorema del ángulo inscrito para círculos, se tiene el teorema del ángulo inscrito para parábolas :

Cuatro puntos con diferentes coordenadas x (ver imagen) están en una parábola con ecuación si y solo si los ángulos en y tienen la misma medida, como se definió anteriormente. Es decir,${\ Displaystyle P_ {i} = (x_ {i}, y_ {i}), \ i = 1, \ ldots, 4,}$${\ Displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$${\ Displaystyle P_ {3}}$${\ Displaystyle P_ {4}}$

${\ Displaystyle {\ frac {y_ {4} -y_ {1}} {x_ {4} -x_ {1}}} - {\ frac {y_ {4} -y_ {2}} {x_ {4} - x_ {2}}} = {\ frac {y_ {3} -y_ {1}} {x_ {3} -x_ {1}}} - {\ frac {y_ {3} -y_ {2}} {x_ {3} -x_ {2}}}.}$

(Prueba: cálculo sencillo: si los puntos están en una parábola, se pueden trasladar las coordenadas para tener la ecuación , entonces se tiene si los puntos están en la parábola). ${\ Displaystyle y = ax ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ frac {y_ {i} -y_ {j}} {x_ {i} -x_ {j}}} = x_ {i} + x_ {j}}$

Una consecuencia es que la ecuación (in ) de la parábola determinada por 3 puntos con coordenadas x diferentes es (si dos coordenadas x son iguales, no hay parábola con directriz paralela al eje x , que pasa por los puntos) ${\ displaystyle {\ color {verde} x}, {\ color {rojo} y}}$${\ Displaystyle P_ {i} = (x_ {i}, y_ {i}), \ i = 1,2,3,}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ color {rojo} y} -y_ {1}} {{\ color {verde} x} -x_ {1}}} - {\ frac {{\ color {rojo} y} -y_ {2}} {{\ color {verde} x} -x_ {2}}} = {\ frac {y_ {3} -y_ {1}} {x_ {3} -x_ {1}}} - {\ frac {y_ {3} -y_ {2}} {x_ {3} -x_ {2}}}.}$

Multiplicando por los denominadores que dependen de uno se obtiene la forma más estándar ${\ Displaystyle {\ color {verde} x},}$

${\ displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) {\ color {rojo} y} = ({\ color {verde} x} -x_ {1}) ({\ color {verde} x} -x_ { 2}) \ left ({\ frac {y_ {3} -y_ {1}} {x_ {3} -x_ {1}}} - {\ frac {y_ {3} -y_ {2}} {x_ { 3} -x_ {2}}} \ right) + (y_ {1} -y_ {2}) {\ color {green} x} + x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} .}$

Relación polo-polar

En un sistema de coordenadas adecuado, cualquier parábola puede describirse mediante una ecuación . La ecuación de la tangente en un punto es ${\ Displaystyle y = ax ^ {2}}$${\ Displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}), \ y_ {0} = ax_ {0} ^ {2}}$

${\ displaystyle y = 2ax_ {0} (x-x_ {0}) + y_ {0} = 2ax_ {0} x-ax_ {0} ^ {2} = 2ax_ {0} x-y_ {0}.}$

Uno obtiene la función

${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ to y = 2ax_ {0} x-y_ {0}}$

sobre el conjunto de puntos de la parábola sobre el conjunto de tangentes.

Obviamente, esta función se puede extender al conjunto de todos los puntos de a una biyección entre los puntos de y las líneas con ecuaciones . El mapeo inverso es ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle y = mx + d, \ m, d \ in \ mathbb {R}}$

línea → punto .${\ Displaystyle y = mx + d}$${\ Displaystyle ({\ tfrac {m} {2a}}, - d)}$

Esta relación se llama relación polo-polar de la parábola , donde el punto es el polo y la línea correspondiente es polar .

Mediante cálculo, se comprueban las siguientes propiedades de la relación polo-polar de la parábola:

• Para un punto (polo) en la parábola, el polar es la tangente en este punto (ver imagen :) .${\ Displaystyle P_ {1}, \ p_ {1}}$
• Para un polo fuera de la parábola, los puntos de intersección de su polar con la parábola son los puntos de contacto de las dos tangentes que pasan (ver imagen :) .${\ Displaystyle P}$ ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P_ {2}, \ p_ {2}}$
• Para un punto dentro de la parábola, el polar no tiene ningún punto con la parábola en común (ver imagen: y ).${\ Displaystyle P_ {3}, \ p_ {3}}$${\ Displaystyle P_ {4}, \ p_ {4}}$
• El punto de intersección de dos líneas polares (por ejemplo, ) es el polo de la línea de conexión de sus polos (en el ejemplo :) .${\ Displaystyle p_ {3}, p_ {4}}$${\ Displaystyle P_ {3}, P_ {4}}$
• El foco y la directriz de la parábola son un par polo-polar.

Observación: Las relaciones polo-polar también existen para elipses e hipérbolas.

Propiedades de la tangente

Dos propiedades tangentes relacionadas con el recto latus

Deje que la línea de simetría interseque la parábola en el punto Q, y denote el foco como punto F y su distancia desde el punto Q como f . Deje que la perpendicular a la línea de simetría, a través del foco, interseque la parábola en un punto T.Entonces (1) la distancia de F a T es 2 f , y (2) una tangente a la parábola en el punto T interseca la línea de simetría en un ángulo de 45 °.

Propiedad ortóptica

Si dos tangentes a una parábola son perpendiculares entre sí, entonces se cruzan en la directriz. Por el contrario, dos tangentes que se cruzan en la directriz son perpendiculares.

Teorema de lambert

Deje que tres tangentes a una parábola formen un triángulo. Luego, el teorema de Lambert establece que el foco de la parábola se encuentra en la circunferencia del triángulo.

El recíproco de Tsukerman al teorema de Lambert establece que, dadas tres líneas que delimitan un triángulo, si dos de las líneas son tangentes a una parábola cuyo foco se encuentra en la circunferencia del triángulo, entonces la tercera línea también es tangente a la parábola.

Hechos relacionados con acordes y arcos.

Longitud focal calculada a partir de los parámetros de un acorde

Suponga que una cuerda cruza una parábola perpendicular a su eje de simetría. Deje que la longitud de la cuerda entre los puntos donde se cruza la parábola sea c y la distancia desde el vértice de la parábola a la cuerda, medida a lo largo del eje de simetría, ser d . La distancia focal, f , de la parábola está dada por

${\ Displaystyle f = {\ frac {c ^ {2}} {16d}}.}$

Prueba

Suponga que se usa un sistema de coordenadas cartesianas de manera que el vértice de la parábola está en el origen y el eje de simetría es el eje y . La parábola se abre hacia arriba. En otra parte de este artículo se muestra que la ecuación de la parábola es 4 fy = x ² , donde f es la distancia focal. En el extremo x positivo de la cuerda, x =C/2e y = d . Dado que este punto está en la parábola, estas coordenadas deben satisfacer la ecuación anterior. Por lo tanto, por sustitución, . De esto ,. ${\ displaystyle 4fd = \ left ({\ tfrac {c} {2}} \ right) ^ {2}}$${\ displaystyle f = {\ tfrac {c ^ {2}} {16d}}}$

Área encerrada entre una parábola y un acorde

El área encerrada entre una parábola y una cuerda (ver diagrama) es dos tercios del área de un paralelogramo que la rodea. Un lado del paralelogramo es la cuerda y el lado opuesto es una tangente a la parábola. La pendiente de los otros lados paralelos es irrelevante para el área. A menudo, como aquí, se dibujan en paralelo con el eje de simetría de la parábola, pero esto es arbitrario.

Un teorema equivalente a este, pero diferente en detalles, fue derivado por Arquímedes en el siglo III a. C. Usó las áreas de triángulos, en lugar de las del paralelogramo. Ver La cuadratura de la parábola .

Si la cuerda tiene longitud b y es perpendicular al eje de la parábola de simetría, y si la distancia perpendicular desde el vértice de la parábola a la cuerda es h , el paralelogramo es un rectángulo, con lados de b y h . El área A del segmento parabólico encerrado por la parábola y la cuerda es por lo tanto

${\ Displaystyle A = {\ frac {2} {3}} bh.}$

Esta fórmula se puede comparar con el área de un triángulo: 1/2bh .

En general, el área encerrada se puede calcular de la siguiente manera. Primero, ubique el punto en la parábola donde su pendiente es igual a la de la cuerda. Esto se puede hacer con cálculo o usando una línea que sea paralela al eje de simetría de la parábola y pase por el punto medio de la cuerda. El punto requerido es donde esta línea se cruza con la parábola. Luego, usando la fórmula dada en Distancia de un punto a una línea , calcule la distancia perpendicular desde este punto a la cuerda. Multiplique esto por la longitud de la cuerda para obtener el área del paralelogramo, luego por 2/3 para obtener el área cerrada requerida.

Corolario sobre los puntos medios y extremos de los acordes

Un corolario de la discusión anterior es que si una parábola tiene varias cuerdas paralelas, todos sus puntos medios se encuentran en una línea paralela al eje de simetría. Si se dibujan tangentes a la parábola a través de los puntos finales de cualquiera de estas cuerdas, las dos tangentes se cruzan en esta misma línea paralela al eje de simetría (ver Dirección del eje de una parábola ).

Longitud de arco

Si un punto X está ubicado en una parábola con distancia focal f , y si p es la distancia perpendicular desde X al eje de simetría de la parábola, entonces las longitudes de los arcos de la parábola que terminan en X se pueden calcular a partir de f y p como sigue, asumiendo que todos se expresan en las mismas unidades.

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} h & = {\ frac {p} {2}}, \\ q & = {\ sqrt {f ^ {2} + h ^ {2}}}, \\ s & = {\ frac {hq} {f}} + f \ ln {\ frac {h + q} {f}}. \ end {alineado}}}$

Esta cantidad s es la longitud del arco entre X y el vértice de la parábola.

La longitud del arco entre X y el punto simétricamente opuesto al otro lado de la parábola es 2 s .

A la distancia perpendicular p se le puede dar un signo positivo o negativo para indicar en qué lado del eje de simetría X está situado. La inversión de la señal de p invierte los signos de h y s sin cambiar sus valores absolutos. Si estas cantidades están firmadas, la longitud del arco entre dos puntos cualesquiera de la parábola siempre se muestra por la diferencia entre sus valores de s . El cálculo se puede simplificar utilizando las propiedades de los logaritmos:

${\ Displaystyle s_ {1} -s_ {2} = {\ frac {h_ {1} q_ {1} -h_ {2} q_ {2}} {f}} + f \ ln {\ frac {h_ {1 } + q_ {1}} {h_ {2} + q_ {2}}}.}$

Esto puede ser útil, por ejemplo, para calcular el tamaño del material necesario para hacer un reflector parabólico o un cilindro parabólico .

Este cálculo se puede utilizar para una parábola en cualquier orientación. No se limita a la situación en la que el eje de simetría es paralelo al eje y .

Una construcción geométrica para encontrar un área de sector.

S es el foco y V es el vértice principal de la parábola VG. Dibuja VX perpendicular a SV.

Tome cualquier punto B en VG y deje caer un BQ perpendicular de B a VX. Dibuje ST perpendicular que cruce BQ, extendido si es necesario, en T. En B, dibuje el BJ perpendicular, intersecando VX en J.

Para la parábola, el segmento VBV, el área encerrada por la cuerda VB y el arco VB, también es igual a ∆VBQ / 3 . ${\ displaystyle BQ = {\ frac {VQ ^ {2}} {4SV}}}$

El área del sector parabólico SVB = ∆SVB + ∆VBQ / 3 . ${\ Displaystyle {} = {\ frac {SV \ cdot VQ} {2}} + {\ frac {VQ \ cdot BQ} {6}}}$

Dado que los triángulos TSB y QBJ son similares,

${\ Displaystyle VJ = VQ-JQ = VQ - {\ frac {BQ \ cdot TB} {ST}} = VQ - {\ frac {BQ \ cdot (SV-BQ)} {VQ}} = {\ frac {3VQ } {4}} + {\ frac {VQ \ cdot BQ} {4SV}}.}$

Por lo tanto, el área del sector parabólico y se puede encontrar a partir de la longitud de VJ, como se encontró arriba. ${\ Displaystyle SVB = {\ frac {2SV \ cdot VJ} {3}}}$

Un círculo a través de S, V y B también pasa por J.

Por el contrario, si se encuentra un punto B en la parábola VG de modo que el área del sector SVB sea igual a un valor especificado, determine el punto J en VX y construya un círculo a través de S, V y J. Dado que SJ es el diámetro, el centro del círculo está en su punto medio, y se encuentra en la bisectriz perpendicular de SV, una distancia de la mitad VJ de SV. El punto requerido B es donde este círculo se cruza con la parábola.

Si un cuerpo sigue la trayectoria de la parábola debido a una fuerza inversa al cuadrado dirigida hacia S, el área SVB aumenta a una tasa constante a medida que el punto B avanza. De ello se deduce que J se mueve a velocidad constante a lo largo de VX cuando B se mueve a lo largo de la parábola.

Si la rapidez del cuerpo en el vértice donde se mueve perpendicularmente a SV es v , entonces la rapidez de J es igual a 3 v / 4.

La construcción se puede ampliar simplemente para incluir el caso en el que ninguno de los radios coincide con el eje SV de la siguiente manera. Sea A un punto fijo en VG entre V y B, y el punto H sea la intersección de VX con la perpendicular a SA en A. De lo anterior, el área del sector parabólico . ${\ Displaystyle SAB = {\ frac {2SV \ cdot (VJ-VH)} {3}} = {\ frac {2SV \ cdot HJ} {3}}}$

Por el contrario, si se requiere encontrar el punto B para un área en particular SAB, encuentre el punto J desde HJ y el punto B como antes. Según el Libro 1, Proposición 16, Corolario 6 de los Principia de Newton , la velocidad de un cuerpo que se mueve a lo largo de una parábola con una fuerza dirigida hacia el foco es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio. Si la rapidez en A es v , entonces en el vértice V lo es , y el punto J se mueve a una rapidez constante de . ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ frac {SA} {SV}}} v}$${\ Displaystyle {\ frac {3v} {4}} {\ sqrt {\ frac {SA} {SV}}}}$

La construcción anterior fue ideada por Isaac Newton y se puede encontrar en el Libro 1 de Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica como Proposición 30.

Longitud focal y radio de curvatura en el vértice

La distancia focal de una parábola es la mitad de su radio de curvatura en su vértice.

Prueba

• 

  La imagen está invertida. AB es el eje x . C es origen. O es el centro. A es ( x , y ) . OA = OC = R . PA = x . CP = y . OP = ( R - y ) . Otros puntos y líneas son irrelevantes para este propósito.

• 

  El radio de curvatura en el vértice es el doble de la distancia focal. Las medidas que se muestran en el diagrama anterior están en unidades del latus recto, que es cuatro veces la distancia focal.

• 

Considere un punto ( x , y ) en un círculo de radio R y con centro en el punto (0, R ) . El círculo pasa por el origen. Si el punto está cerca del origen, el teorema de Pitágoras muestra que

${\ displaystyle {\ begin {alineado} x ^ {2} + (Ry) ^ {2} & = R ^ {2}, \\ x ^ {2} + R ^ {2} -2Ry + y ^ {2 } & = R ^ {2}, \\ x ^ {2} + y ^ {2} & = 2Ry. \ End {alineado}}}$

Pero si ( x , y ) está extremadamente cerca del origen, dado que el eje x es tangente al círculo, y es muy pequeño en comparación con x , por lo que y ² es insignificante en comparación con los otros términos. Por tanto, muy cerca del origen

${\ displaystyle x ^ {2} = 2Ry.}$ (1)

Compare esto con la parábola

${\ displaystyle x ^ {2} = 4fy,}$ (2)

que tiene su vértice en el origen, se abre hacia arriba y tiene una distancia focal f (consulte las secciones anteriores de este artículo).

Las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes si R = 2 f . Por lo tanto, esta es la condición para que el círculo y la parábola coincidan en el origen y muy cerca del mismo. El radio de curvatura en el origen, que es el vértice de la parábola, es el doble de la distancia focal.

Corolario

Un espejo cóncavo que es un pequeño segmento de una esfera se comporta aproximadamente como un espejo parabólico, enfocando luz paralela a un punto a medio camino entre el centro y la superficie de la esfera.

Como imagen afín de la parábola unitaria

Otra definición de parábola usa transformaciones afines :

• Cualquier parábola es la imagen afín de la parábola unitaria con ecuación .${\ Displaystyle y = x ^ {2}}$

representación paramétrica

Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , donde es una matriz regular (el determinante no es 0) y es un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , la parábola unitaria se asigna a la parábola ${\ Displaystyle {\ vec {x}} \ to {\ vec {f}} _ {0} + A {\ vec {x}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {0}}$${\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle (t, t ^ {2}), \ t \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {p}} (t) = {\ vec {f}} _ {0} + {\ vec {f}} _ {1} t + {\ vec { f}} _ {2} t ^ {2},}$

dónde

${\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {0}}$es un punto de la parábola,

${\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {1}}$es un vector tangente en el punto ,${\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {0}}$

${\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {2}}$es paralelo al eje de la parábola (eje de simetría que pasa por el vértice).

vértice

En general, los dos vectores no son perpendiculares y no es el vértice, a menos que la transformación afín sea una semejanza . ${\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}}$${\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {0}}$

El vector tangente en el punto es . En el vértice, el vector tangente es ortogonal al . Por tanto, el parámetro del vértice es la solución de la ecuación ${\ Displaystyle {\ vec {p}} (t)}$${\ Displaystyle {\ vec {p}} '(t) = {\ vec {f}} _ {1} + 2t {\ vec {f}} _ {2}}$${\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {2}}$${\ Displaystyle t_ {0}}$

${\ Displaystyle {\ vec {p}} '(t) \ cdot {\ vec {f}} _ {2} = {\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec {f}} _ { 2} + 2tf_ {2} ^ {2} = 0,}$

cual es

${\ Displaystyle t_ {0} = - {\ frac {{\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec {f}} _ {2}} {2f_ {2} ^ {2}}}, }$

y el vértice es

${\ Displaystyle {\ vec {p}} (t_ {0}) = {\ vec {f}} _ {0} - {\ frac {{\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec { f}} _ {2}} {2f_ {2} ^ {2}}} {\ vec {f}} _ {1} + {\ frac {({\ vec {f}} _ {1} \ cdot { \ vec {f}} _ {2}) ^ {2}} {4 (f_ {2} ^ {2}) ^ {2}}} {\ vec {f}} _ {2}.}$

distancia focal y enfoque

La distancia focal se puede determinar mediante una transformación de parámetro adecuada (que no cambia la forma geométrica de la parábola). La distancia focal es

${\ Displaystyle f = {\ frac {f_ {1} ^ {2} \, f_ {2} ^ {2} - ({\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec {f}} _ {2}) ^ {2}} {4 | f_ {2} | ^ {3}}}.}$

Por tanto, el foco de la parábola es

${\ Displaystyle F: \ {\ vec {f}} _ {0} - {\ frac {{\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec {f}} _ {2}} {2f_ { 2} ^ {2}}} {\ vec {f}} _ {1} + {\ frac {f_ {1} ^ {2} \, f_ {2} ^ {2}} {4 (f_ {2} ^ {2}) ^ {2}}} {\ vec {f}} _ {2}.}$

representación implícita

Resolviendo la representación paramétrica por la regla de Cramer y usando , se obtiene la representación implícita ${\ Displaystyle \; t, t ^ {2} \;}$${\ Displaystyle \; t \ cdot tt ^ {2} = 0 \;}$

${\ Displaystyle \ det ({\ vec {x}} \! - \! {\ vec {f}} \! _ {0}, {\ vec {f}} \! _ {2}) ^ {2} - \ det ({\ vec {f}} \! _ {1}, {\ vec {x}} \! - \! {\ vec {f}} \! _ {0}) \ det ({\ vec {f}} \! _ {1}, {\ vec {f}} \! _ {2}) = 0}$.

parábola en el espacio

La definición de parábola en esta sección da una representación paramétrica de una parábola arbitraria, incluso en el espacio, si se permite que sean vectores en el espacio. ${\ Displaystyle {\ vec {f}} \! _ {0}, {\ vec {f}} \! _ {1}, {\ vec {f}} \! _ {2}}$

Como curva de Bézier cuadrática

Una curva cuadrática de Bézier es una curva definida por tres puntos , y , llamado sus puntos de control : ${\ Displaystyle {\ vec {c}} (t)}$${\ Displaystyle P_ {0}: {\ vec {p}} _ {0}}$${\ Displaystyle P_ {1}: {\ vec {p}} _ {1}}$${\ Displaystyle P_ {2}: {\ vec {p}} _ {2}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ vec {c}} (t) & = \ sum _ {i = 0} ^ {2} {\ binom {2} {i}} t ^ {i} (1 -t) ^ {2-i} {\ vec {p}} _ {i} \\ & = (1-t) ^ {2} {\ vec {p}} _ {0} + 2t (1-t ) {\ vec {p}} _ {1} + t ^ {2} {\ vec {p}} _ {2} \\ & = ({\ vec {p}} _ {0} -2 {\ vec {p}} _ {1} + {\ vec {p}} _ {2}) t ^ {2} + (- 2 {\ vec {p}} _ {0} +2 {\ vec {p}} _ {1}) t + {\ vec {p}} _ {0}, \ quad t \ in [0,1]. \ End {alineado}}}$

Esta curva es un arco de una parábola (ver § Como imagen afín de la parábola unitaria ).

Integracion numerica

En un método de integración numérica se reemplaza la gráfica de una función por arcos de parábolas e integra los arcos de parábola. Una parábola está determinada por tres puntos. La fórmula para un arco es

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ approx {\ frac {ba} {6}} \ cdot \ left (f (a) + 4f \ left ({\ frac { a + b} {2}} \ derecha) + f (b) \ derecha).}$

El método se llama regla de Simpson .

Como sección plana de cuadric

Las siguientes cuadrículas contienen parábolas como secciones planas:

• cono elíptico ,
• cilindro parabólico ,
• paraboloide elíptico ,
• paraboloide hiperbólico,
• hiperboloide de una hoja,
• hiperboloide de dos hojas.

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  Cono elíptico

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  Cilindro parabólico

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  Paraboloide elíptico

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  Paraboloide hiperbólico

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  Hiperboloide de una hoja

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  Hiperboloide de dos hojas

Como trisectrix

Una parábola se puede utilizar como trisectriz , es decir, permite la trisección exacta de un ángulo arbitrario con regla y compás. Esto no contradice la imposibilidad de una trisección de ángulo con construcciones de compás y regla no graduada solamente, ya que el uso de parábolas no está permitido en las reglas clásicas para construcciones de compás y regla no graduada.

Para trisecar , coloque su cateto en el eje x de manera que el vértice esté en el origen del sistema de coordenadas. El sistema de coordenadas también contiene la parábola . El círculo unitario con radio 1 alrededor del origen se cruza con el otro lado del ángulo , y desde este punto de intersección dibuja la perpendicular sobre el eje y . El paralelo al eje y que pasa por el punto medio de esa perpendicular y la tangente en el círculo unitario en se intersecan en . El círculo alrededor con radio interseca la parábola en . La perpendicular desde el eje x interseca el círculo unitario en , y es exactamente un tercio de . ${\ Displaystyle \ angle AOB}$${\ displaystyle OB}$${\ Displaystyle O}$${\ Displaystyle y = 2x ^ {2}}$${\ displaystyle OA}$${\ Displaystyle (0,1)}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle C}$${\ displaystyle OC}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ Displaystyle P_ {2}}$${\ Displaystyle \ angle P_ {2} OB}$${\ Displaystyle \ angle AOB}$

La exactitud de esta construcción se puede ver mostrando que la coordenada x de es . Resolver el sistema de ecuaciones dado por el círculo alrededor y la parábola conduce a la ecuación cúbica . La fórmula del triple ángulo muestra que de hecho es una solución de esa ecuación cúbica. ${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ Displaystyle \ cos (\ alpha)}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle 4x ^ {3} -3x- \ cos (3 \ alpha) = 0}$ ${\ Displaystyle \ cos (3 \ alpha) = 4 \ cos (\ alpha) ^ {3} -3 \ cos (\ alpha)}$${\ Displaystyle \ cos (\ alpha)}$

Esta trisección se remonta a René Descartes , quien la describió en su libro La Géométrie (1637).

Generalizaciones

Si se reemplazan los números reales por un campo arbitrario , muchas propiedades geométricas de la parábola siguen siendo válidas: ${\ Displaystyle y = x ^ {2}}$

1. Una línea se cruza como máximo en dos puntos.
2. En cualquier punto, la recta es la tangente.${\ Displaystyle (x_ {0}, x_ {0} ^ {2})}$${\ Displaystyle y = 2x_ {0} x-x_ {0} ^ {2}}$

Esencialmente surgen fenómenos nuevos, si el campo tiene la característica 2 (es decir, ): las tangentes son todas paralelas. ${\ Displaystyle 1 + 1 = 0}$

En geometría algebraica , la parábola se generaliza mediante las curvas normales racionales , que tienen coordenadas ( x , x ² , x ³ ,…, x ⁿ ) ; la parábola estándar es el caso n = 2 , y el caso n = 3 se conoce como cúbico retorcido . La variedad Veronese da una generalización adicional , cuando hay más de una variable de entrada.

En la teoría de formas cuadráticas , la parábola es la gráfica de la forma cuadrática x ² (u otras escalas), mientras que el paraboloide elíptico es la gráfica de la forma cuadrática positiva-definida x ² + y ² (o escalas), y la el paraboloide hiperbólico es la gráfica de la forma cuadrática indefinida x ² - y ² . Las generalizaciones a más variables producen más objetos de este tipo.

Las curvas y = x ^p para otros valores de p se conocen tradicionalmente como las parábolas más altas y fueron tratados originalmente implícitamente, en la forma x ^p = ky ^q para p y q ambos números enteros positivos, en los que la forma que se observa que son algebraica curvas. Estos corresponden a la fórmula explícita y = x ^{p / q} para una potencia fraccionaria positiva de x . Las potencias fraccionarias negativas corresponden a la ecuación implícita x ^p y ^q = k y tradicionalmente se las conoce como hipérbolas superiores . Analíticamente, x también puede elevarse a una potencia irracional (para valores positivos de x ); las propiedades analíticas son análogas a cuando x se eleva a potencias racionales, pero la curva resultante ya no es algebraica y no puede analizarse mediante geometría algebraica.

En el mundo fisico

En la naturaleza, las aproximaciones de parábolas y paraboloides se encuentran en muchas situaciones diversas. El ejemplo más conocido de parábola en la historia de la física es la trayectoria de una partícula o cuerpo en movimiento bajo la influencia de un campo gravitacional uniforme sin resistencia del aire (por ejemplo, una bola que vuela por el aire, despreciando la fricción del aire ).

La trayectoria parabólica de los proyectiles fue descubierta experimentalmente a principios del siglo XVII por Galileo , quien realizó experimentos con bolas rodando en planos inclinados. Más tarde, también demostró esto matemáticamente en su libro Diálogo sobre dos nuevas ciencias . Para los objetos extendidos en el espacio, como un buzo que salta de un trampolín, el objeto en sí sigue un movimiento complejo a medida que gira, pero el centro de masa del objeto, no obstante, se mueve a lo largo de una parábola. Como en todos los casos en el mundo físico, la trayectoria es siempre una aproximación de una parábola. La presencia de resistencia del aire, por ejemplo, siempre distorsiona la forma, aunque a bajas velocidades, la forma es una buena aproximación a una parábola. A velocidades más altas, como en balística, la forma está muy distorsionada y no se parece a una parábola.

Otra situación hipotética en la que podrían surgir parábolas, según las teorías de la física descritas en los siglos XVII y XVIII por Sir Isaac Newton , es en órbitas de dos cuerpos , por ejemplo, la trayectoria de un pequeño planetoide u otro objeto bajo la influencia de la gravitación del sol . Las órbitas parabólicas no ocurren en la naturaleza; las órbitas simples más comúnmente se parecen a hipérbolas o elipses . La órbita parabólica es el caso intermedio degenerado entre esos dos tipos de órbita ideal. Un objeto que sigue una órbita parabólica viajaría a la velocidad de escape exacta del objeto que orbita; los objetos en órbitas elípticas o hiperbólicas viajan a una velocidad menor o mayor que la de escape, respectivamente. Los cometas de períodos prolongados viajan cerca de la velocidad de escape del Sol mientras se mueven a través del sistema solar interior, por lo que sus trayectorias son casi parabólicas.

También se encuentran aproximaciones de parábolas en la forma de los cables principales en un simple puente colgante . La curva de las cadenas de un puente colgante es siempre una curva intermedia entre una parábola y una catenaria , pero en la práctica la curva suele estar más cerca de una parábola debido a que el peso de la carga (es decir, la carretera) es mucho mayor que los cables. ellos mismos, y en los cálculos se utiliza la fórmula polinomial de segundo grado de una parábola. Bajo la influencia de una carga uniforme (como una plataforma suspendida horizontal), el cable en forma de catenaria se deforma hacia una parábola (ver Catenaria # Curva de puente colgante ). A diferencia de una cadena inelástica, un resorte de longitud cero sin tensión que cuelga libremente toma la forma de una parábola. Idealmente, los cables del puente colgante están puramente en tensión, sin tener que soportar otras fuerzas, por ejemplo, doblarse. Del mismo modo, las estructuras de los arcos parabólicos están puramente en compresión.

Los paraboloides también surgen en varias situaciones físicas. El caso más conocido es el reflector parabólico , que es un espejo o dispositivo reflectante similar que concentra la luz u otras formas de radiación electromagnética en un punto focal común o, por el contrario, colima la luz de una fuente puntual en el foco en un haz paralelo. El principio del reflector parabólico puede haber sido descubierto en el siglo III a.C. por el geómetra Arquímedes , quien, según una leyenda dudosa, construyó espejos parabólicos para defender Siracusa de la flota romana , concentrando los rayos del sol para prender fuego a las cubiertas. de los barcos romanos. El principio se aplicó a los telescopios en el siglo XVII. En la actualidad, los reflectores paraboloides se pueden observar comúnmente en gran parte del mundo en antenas de recepción y transmisión de microondas y antenas parabólicas.

En los micrófonos parabólicos , se utiliza un reflector parabólico para enfocar el sonido en un micrófono, lo que le confiere un rendimiento altamente direccional.

Los paraboloides también se observan en la superficie de un líquido confinado a un recipiente y girado alrededor del eje central. En este caso, la fuerza centrífuga hace que el líquido trepe por las paredes del recipiente, formando una superficie parabólica. Este es el principio detrás del telescopio de espejo líquido .

Las aeronaves utilizadas para crear un estado de ingravidez con fines de experimentación, como el " Vomit Comet " de la NASA , siguen una trayectoria verticalmente parabólica durante breves períodos para trazar el curso de un objeto en caída libre , lo que produce el mismo efecto que cero. gravedad para la mayoría de los propósitos.

Galería

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  Una pelota que rebota capturada con un flash estroboscópico a 25 imágenes por segundo. La pelota se vuelve significativamente no esférica después de cada rebote, especialmente después del primero. Eso, junto con la resistencia al giro y al aire , hace que la curva barrida se desvíe ligeramente de la parábola perfecta esperada.

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  Trayectorias parabólicas del agua en una fuente.

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  El camino (en rojo) del cometa Kohoutek a su paso por el sistema solar interior, mostrando su forma casi parabólica. La órbita azul es la de la Tierra.

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  Los cables de soporte de los puentes colgantes siguen una curva intermedia entre una parábola y una catenaria .

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  El Puente Arcoíris sobre el río Niágara , que conecta Canadá (izquierda) con Estados Unidos (derecha). El arco parabólico está en compresión y soporta el peso de la carretera.

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  Arcos parabólicos utilizados en arquitectura

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  Forma parabólica formada por una superficie líquida en rotación. Dos líquidos de diferentes densidades llenan por completo un espacio estrecho entre dos láminas de plástico transparente. El espacio entre las hojas se cierra en la parte inferior, los lados y la parte superior. Todo el conjunto gira alrededor de un eje vertical que pasa por el centro. (Ver horno rotatorio )

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  Cocina solar con reflector parabólico

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  Antena parabólica

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  Micrófono parabólico con reflector de plástico ópticamente transparente utilizado en un partido de fútbol americano universitario.

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  Matriz de colectores cilindro-parabólicos para recolectar energía solar

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  El reflector de Edison , montado en un carro. La luz tenía un reflector parabólico.

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  El físico Stephen Hawking en un avión que vuela una trayectoria parabólica para simular la gravedad cero

Ver también

• Cónica degenerada
• Domo parabólico
• Ecuación diferencial parcial parabólica
• Ecuación cuadrática
• Función cuadrática
• Constante parabólica universal

Notas al pie

Referencias

Otras lecturas

• Lockwood, EH (1961). Un libro de curvas . Prensa de la Universidad de Cambridge.

enlaces externos

• "Parábola" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Parábola" . MathWorld .
• Enfoque interactivo de parábola-arrastre, ver eje de simetría, directriz, formas estándar y de vértice
• Triángulo de Arquímedes y cuadratura de la parábola al cortar el nudo
• Dos tangentes a la parábola al cortar el nudo
• Parábola como envolvente de líneas rectas al cortar el nudo
• Espejo parabólico al cortar el nudo
• Tres tangentes de parábola al cortar el nudo
• Propiedades focales de la parábola al cortar el nudo
• Parábola As Envelope II al cortar el nudo
• La similitud de la parábola en Dynamic Geometry Sketches , boceto interactivo de geometría dinámica.
• Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen , 1659