Hipocicloide - Hypocycloid

El camino rojo es un hipocicloide trazado a medida que el círculo negro más pequeño rueda dentro del círculo negro más grande (los parámetros son R = 4.0, r = 1.0, y por lo tanto k = 4, dando un astroide ).

En geometría , un hipocicloide es una curva plana especial generada por la traza de un punto fijo en un círculo pequeño que rueda dentro de un círculo más grande. A medida que aumenta el radio del círculo más grande, el hipocicloide se parece más a la cicloide creada al hacer rodar un círculo en una línea.

Propiedades

Si el círculo más pequeño tiene un radio r , y el círculo más grande tiene un radio R = kr , entonces las ecuaciones paramétricas para la curva pueden estar dadas por:

${\ Displaystyle x (\ theta) = (Rr) \ cos \ theta + r \ cos \ left ({\ frac {Rr} {r}} \ theta \ right)}$

${\ Displaystyle y (\ theta) = (Rr) \ sin \ theta -r \ sin \ left ({\ frac {Rr} {r}} \ theta \ right),}$

o:

${\ Displaystyle x (\ theta) = r (k-1) \ cos \ theta + r \ cos \ left ((k-1) \ theta \ right) \,}$

${\ Displaystyle y (\ theta) = r (k-1) \ sin \ theta -r \ sin \ left ((k-1) \ theta \ right). \,}$

Si k es un número entero, entonces la curva está cerrada y tiene k cúspides (es decir, esquinas agudas, donde la curva no es diferenciable ). Especialmente para k = 2, la curva es una línea recta y los círculos se llaman círculos de Cardano. Girolamo Cardano fue el primero en describir estos hipocicloides y sus aplicaciones en la impresión de alta velocidad .

Si k es un número racional , digamos k = p / q expresado en términos más simples, entonces la curva tiene p cúspides.

Si k es un número irracional , entonces la curva nunca se cierra y llena el espacio entre el círculo más grande y un círculo de radio R - 2 r .

Cada hipocicloide (para cualquier valor de r ) es un braquistocrona para el potencial gravitacional dentro de una esfera homogénea de radio R .

El área encerrada por un hipocicloide viene dada por:

${\ Displaystyle A = {\ frac {(k-1) (k-2)} {k ^ {2}}} \ pi R ^ {2} = (k-1) (k-2) \ pi r ^ {2}}$

La longitud del arco de un hipocicloide viene dada por:

${\ Displaystyle s = {\ frac {8 (k-1)} {k}} R = 8 (k-1) r}$

Ejemplos

• Ejemplos de hipocicloides
• 

  k = 3 - un deltoides

• 

  k = 4 - un astroide

• 

  k = 5

• 

  k = 6

• 

  k = 2,1 = 21/10

• 

  k = 3.8 = 19/5

• 

  k = 5,5 = 11/2

• 

  k = 7,2 = 36/5

El hipocicloide es un tipo especial de hipotrocoide , que es un tipo particular de ruleta .

Un hipocicloide con tres cúspides se conoce como deltoides .

Una curva hipocicloide con cuatro cúspides se conoce como astroide .

El hipocicloide con dos cúspides es un caso degenerado pero aún muy interesante, conocido como la pareja Tusi .

Relación con la teoría de grupos

Hipocicloides "rodando" unos dentro de otros. Las cúspides de cada una de las curvas más pequeñas mantienen un contacto continuo con el siguiente hipocicloide más grande.

Cualquier hipocicloide con un valor integral de k , y por lo tanto k cúspides, puede moverse cómodamente dentro de otro hipocicloide con k +1 cúspides, de modo que los puntos del hipocicloide más pequeño siempre estarán en contacto con el más grande. Este movimiento parece "rodar", aunque técnicamente no es rodar en el sentido de la mecánica clásica, ya que implica un deslizamiento.

Las formas hipocicloides pueden relacionarse con grupos unitarios especiales , denominados SU ( k ), que consisten en k × k matrices unitarias con determinante 1. Por ejemplo, los valores permitidos de la suma de entradas diagonales para una matriz en SU ​​(3) son precisamente los puntos en el plano complejo que se encuentran dentro de un hipocicloide de tres cúspides (un deltoides). Asimismo, al sumar las entradas diagonales de las matrices SU (4) se obtienen puntos dentro de un astroide, y así sucesivamente.

Gracias a este resultado, se puede usar el hecho de que SU ( k ) encaja dentro de SU ( k + 1 ) como un subgrupo para demostrar que un epicicloide con k cúspides se mueve cómodamente dentro de uno con k +1 cúspides.

Curvas derivadas

La evoluta de un hipocicloide es una versión ampliada del propio hipocicloide, mientras que la evoluta de un hipocicloide es una copia reducida de sí mismo.

El pedal de un hipocicloide con un polo en el centro del hipocicloide es una curva rosa .

La isóptica de un hipocicloide es un hipocicloide.

Hipocicloides en la cultura popular

Con el juguete Spirograph se pueden dibujar curvas similares a los hipocicloides . Específicamente, el espirógrafo puede dibujar hipotrocoides y epitrocoides .

El logotipo de los Pittsburgh Steelers , que se basa en Steelmark , incluye tres astroides (hipocicloides de cuatro cúspides ). En su columna semanal de NFL.com "Tuesday Morning Quarterback", Gregg Easterbrook a menudo se refiere a los Steelers como los hipocicloides. El equipo de fútbol chileno CD Huachipato basó su escudo en el logo de los Steelers y, como tal, presenta hipocicloides.

La primera temporada de Drew Carey El precio es correcto ' juego de s cuenta con astroids en las tres puertas principales, etiqueta de precio gigante, y el área de la placa giratoria. Los astroides en las puertas y el tocadiscos se eliminaron cuando el programa cambió a transmisiones de alta definición a partir de 2008, y solo el accesorio de etiqueta de precio gigante todavía los presenta hoy.

Ver también

• Ruleta (curva)
• Casos especiales: pareja Tusi , Astroid , Deltoid
• Lista de funciones periódicas
• Ciclogon
• Epicicloide
• Hipotrocoide
• Epitrocoide
• Espirógrafo
• Bandera de Portland, Oregon , con un hipocicloide
• Motor hipocicloidal de Murray , que utiliza un par tusi como sustituto de una manivela

Referencias

• J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Publicaciones de Dover. págs.  168, 171-173 . ISBN   0-486-60288-5 .

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Hipocicloide" . MathWorld .
• "Hipocicloide" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Hipocicloide" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews .
• Una herramienta Javascript gratuita para generar curvas hipociloides
• Animación de epicicloides, pericicloides e hipocicloides
• Trazar hipicloide - GeoFun
• Snyder, John. "Esfera con Túnel Brachistochrone" . Proyecto de demostraciones Wolfram . Demostración iterativa que muestra la propiedad braquistocrona del hipocicloide