Ramificación (matemáticas) - Ramification (mathematics)

Representación esquemática de la ramificación: las fibras de casi todos los puntos en Y a continuación constan de tres puntos, excepto dos puntos en Y marcados con puntos, donde las fibras constan de uno y dos puntos (marcados en negro), respectivamente. El mapa f se dice que se ramifica en estos puntos de Y .

En geometría , la ramificación se "ramifica", en la forma en que se puede ver que la función raíz cuadrada , para números complejos , tiene dos ramas que difieren en el signo. El término también se usa desde la perspectiva opuesta (ramas que se unen) como cuando un mapa de cobertura degenera en un punto de un espacio, con algún colapso de las fibras del mapa.

En análisis complejo

Usando la superficie de Riemann de la raíz cuadrada

En el análisis complejo , el modelo básico puede tomarse como el mapeo z  →  z ⁿ en el plano complejo, cerca de  z  = 0. Esta es la imagen local estándar en la teoría de superficies de Riemann , de ramificación de orden  n . Ocurre, por ejemplo, en la fórmula de Riemann-Hurwitz para el efecto de las asignaciones en el género . Véase también punto de ramificación .

En topología algebraica

En un mapa de cobertura, la característica de Euler-Poincaré debe multiplicarse por el número de hojas; por lo tanto, la ramificación puede detectarse por algunas gotas de eso. El mapeo z →  z ⁿ muestra esto como un patrón local: si excluimos 0, miramos 0 <| z | <1 digamos, tenemos (desde el punto de vista de la homotopía ) el círculo mapeado a sí mismo por el n -ésimo mapa de potencia (característica de Euler-Poincaré 0), pero con todo el disco la característica de Euler-Poincaré es 1, n  - 1 siendo los puntos 'perdidos' cuando las n hojas se juntan en  z  = 0.

En términos geométricos, la ramificación es algo que ocurre en la codimensión dos (como la teoría del nudo y la monodromía ); dado que la codimensión real dos es la codimensión compleja uno, el ejemplo complejo local establece el patrón para variedades complejas de dimensiones superiores . En el análisis complejo, las hojas no pueden simplemente doblarse a lo largo de una línea (una variable) o codificar un subespacio en el caso general. El conjunto de ramificación (lugar de ramificación en la base, conjunto de puntos dobles arriba) será dos dimensiones reales más bajo que el colector ambiental , por lo que no lo separará en dos 'lados', localmente: habrá caminos que trazarán alrededor del lugar de ramificación , como en el ejemplo. En geometría algebraica sobre cualquier campo , por analogía, también ocurre en la codimetría algebraica uno.

En teoría algebraica de números

En extensiones algebraicas de ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Ramificación en la teoría algebraica de números significa un ideal primo que se factoriza en una extensión para dar algunos factores ideales primos repetidos. Es decir, sea ​​el anillo de números enteros de un campo numérico algebraico y un ideal primo de . Para una extensión de campo , podemos considerar el anillo de números enteros (que es el cierre integral de in ) y el ideal de . Este ideal puede ser primo o no, pero para finito , tiene una factorización en ideales primos: ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ Displaystyle L / K}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ Displaystyle [L: K]}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ cdot {\ mathcal {O}} _ {L} = {\ mathfrak {p}} _ {1} ^ {e_ {1}} \ cdots {\ mathfrak {p} } _ {k} ^ {e_ {k}}}$

donde son distintos ideales primarios de . Entonces se dice que se ramifica en si para algunos ; de lo contrario es${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle e_ {i}> 1}$${\ Displaystyle i}$ unramificado . En otras palabras, seramificasi elíndice de ramificaciónes mayor que uno para algunos. Una condición equivalente es quetiene unelementonilpotentedistinto de cero: no es un producto decampos finitos. La analogía con el caso de la superficie de Riemann ya fue señalada porRichard DedekindyHeinrich M. Weberen el siglo XIX. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle e_ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L} / {\ mathfrak {p}} {\ mathcal {O}} _ {L}}$

La ramificación está codificada por el discriminante relativo y por el relativo diferente . El primero es un ideal de y es divisible por si y solo si se ramifica algún ideal de división . Este último es un ideal de y es divisible por el ideal primordial de exactamente cuándo se ramifica. ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$

La ramificación es dócil cuando los índices de ramificación son todos relativamente primos para el residuo característico p de , por lo demás salvaje . Esta condición es importante en la teoría del módulo de Galois . Una extensión finita genéricamente étale de los dominios de Dedekind es dócil si y solo si la huella es sobreyectiva. ${\ Displaystyle e_ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle B / A}$${\ Displaystyle \ operatorname {Tr}: B \ to A}$

En campos locales

El análisis más detallado de la ramificación en los campos numéricos se puede realizar utilizando extensiones de los números p-ádicos , porque es una cuestión local . En ese caso, se define una medida cuantitativa de ramificación para las extensiones de Galois , básicamente preguntando hasta dónde mueve el grupo de Galois los elementos del campo con respecto a la métrica. Se define una secuencia de grupos de ramificación , reificando (entre otras cosas) la ramificación salvaje (no domesticada). Esto va más allá de la analogía geométrica.

En álgebra

En teoría valoración , la teoría de ramificación de las valoraciones estudia el conjunto de extensiones de una valoración de un campo K en un campo de extensión de K . Esto generaliza las nociones en la teoría algebraica de números, campos locales y dominios de Dedekind.

En geometría algebraica

También existe la noción correspondiente de morfismo unramificado en geometría algebraica. Sirve para definir morfismos étale .

Sea un morfismo de esquemas. El soporte de la gavilla cuasicoherente se denomina locus de ramificación de y la imagen del lugar de ramificación , se denomina locus de ramificación de . Si decimos que está formalmente sin ramificar y si también es de presentación localmente finita, decimos que está sin ramificar (ver Vakil 2017 ). ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle \ Omega _ {X / Y}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f \ left (\ operatorname {Supp} \ Omega _ {X / Y} \ right)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ Omega _ {X / Y} = 0}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$

Ver también

• Polinomio de Eisenstein
• Polígono de Newton
• Expansión de Puiseux
• Revestimiento ramificado

Referencias

• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathischen Wissenschaften . 322 . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. Señor  1697859 . Zbl  0956.11021 .
• Vakil, Ravi (18 de noviembre de 2017). The Rising Sea: Fundamentos de la geometría algebraica (PDF) . Consultado el 5 de junio de 2019 .

enlaces externos

• "Ramificación en campos numéricos" . PlanetMath .