Constante de propagación - Propagation constant

La constante de propagación de una onda electromagnética sinusoidal es una medida del cambio que experimenta la amplitud y fase de la onda a medida que se propaga en una dirección determinada. La cantidad que se mide puede ser el voltaje , la corriente en un circuito o un vector de campo como la intensidad del campo eléctrico o la densidad de flujo . La propia constante de propagación mide el cambio por unidad de longitud , pero por lo demás es adimensional. En el contexto de las redes de dos puertos y sus cascadas, la constante de propagación mide el cambio sufrido por la cantidad de origen a medida que se propaga de un puerto al siguiente.

El valor de la constante de propagación se expresa logarítmicamente , casi universalmente a la base e , en lugar de la base 10 más habitual que se utiliza en telecomunicaciones en otras situaciones. La cantidad medida, como el voltaje, se expresa como un fasor sinusoidal . La fase de la sinusoide varía con la distancia, lo que da como resultado que la constante de propagación sea un número complejo , siendo la parte imaginaria causada por el cambio de fase.

Nombres alternativos

El término "constante de propagación" es un nombre poco apropiado ya que normalmente varía mucho con ω . Probablemente sea el término más utilizado, pero hay una gran variedad de nombres alternativos utilizados por varios autores para esta cantidad. Estos incluyen parámetro de transmisión , función de transmisión , parámetro de propagación , coeficiente de propagación y constante de transmisión . Si se usa el plural, sugiere que se hace referencia a α y β por separado pero colectivamente, como en los parámetros de transmisión , parámetros de propagación , etc. En la teoría de la línea de transmisión, α y β se cuentan entre los "coeficientes secundarios", utilizándose el término secundario. para contrastar con los coeficientes de la línea primaria . Los coeficientes primarios son las propiedades físicas de la línea, a saber, R, C, L y G, a partir de las cuales se pueden derivar los coeficientes secundarios utilizando la ecuación del telegrafista . Tenga en cuenta que en el campo de las líneas de transmisión, el término coeficiente de transmisión tiene un significado diferente a pesar de la similitud de nombre: es el compañero del coeficiente de reflexión .

Definición

La constante de propagación, símbolo , para un sistema dado se define por la relación entre la amplitud compleja en la fuente de la onda y la amplitud compleja a cierta distancia x , tal que, ${\ displaystyle {\ gamma}}$

${\ Displaystyle {\ frac {A_ {0}} {A_ {x}}} = e ^ {\ gamma x}}$

Dado que la constante de propagación es una cantidad compleja, podemos escribir:

$${\ Displaystyle \ gamma = \ alpha + i \ beta \,}$$

dónde

• α , la parte real, se llama constante de atenuación
• β , la parte imaginaria, se llama constante de fase

Que β sí representa la fase se puede ver en la fórmula de Euler :

${\ Displaystyle e ^ {i \ theta} = \ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta} \, \!}$

que es una sinusoide que varía en fase a medida que θ varía pero no varía en amplitud porque

${\ Displaystyle \ left | e ^ {i \ theta} \ right | = {\ sqrt {\ cos ^ {2} {\ theta} + \ sin ^ {2} {\ theta}}} = 1}$

La razón para el uso de la base e también se aclara ahora. La constante de fase imaginaria, iβ , se puede sumar directamente a la constante de atenuación, α , para formar un único número complejo que se puede manejar en una operación matemática siempre que estén en la misma base. Los ángulos medidos en radianes requieren la base e , por lo que la atenuación también está en la base e .

La constante de propagación para líneas conductoras se puede calcular a partir de los coeficientes de la línea primaria mediante la relación

${\ Displaystyle \ gamma = {\ sqrt {ZY}}}$

dónde

${\ Displaystyle Z = R + i \ omega L \, \!}$, la impedancia en serie de la línea por unidad de longitud y,

${\ Displaystyle Y = G + i \ omega C \, \!}$, la admisión en derivación de la línea por unidad de longitud.

Onda plana

El factor de propagación de una onda plana que viaja en un medio lineal, la dirección x viene dada por

${\ Displaystyle P = e ^ {- \ gamma x}}$

dónde

${\ Displaystyle \ gamma = \ alpha + i \ beta = {\ sqrt {i \ omega \ mu (\ sigma + i \ omega \ epsilon)}} \;}$

${\ Displaystyle x =}$ distancia recorrida en la dirección x

${\ Displaystyle \ alpha =}$ constante de atenuación en las unidades de nepers / metro

${\ Displaystyle \ beta =}$ constante de fase en las unidades de radianes / metro

${\ Displaystyle \ omega =}$ frecuencia en radianes / segundo

${\ Displaystyle \ sigma =}$ conductividad de los medios

${\ Displaystyle \ epsilon = \ epsilon '-i \ epsilon' '\;}$= permitividad compleja de los medios

${\ Displaystyle \ mu = \ mu '-i \ mu' '\;}$= permeabilidad compleja de los medios

${\ Displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$

La convención de signos se elige por coherencia con la propagación en medios con pérdida. Si la constante de atenuación es positiva, entonces la amplitud de la onda disminuye a medida que la onda se propaga en la dirección x.

La longitud de onda , la velocidad de fase y la profundidad de la piel tienen relaciones simples con los componentes de la constante de propagación:

${\ Displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi} {\ beta}} \ qquad v_ {p} = {\ frac {\ omega} {\ beta}} \ qquad \ delta = {\ frac {1} { \ alpha}}}$

Constante de atenuación

En telecomunicaciones , el término constante de atenuación , también llamado parámetro de atenuación o coeficiente de atenuación , es la atenuación de una onda electromagnética que se propaga a través de un medio por unidad de distancia desde la fuente. Es la parte real de la constante de propagación y se mide en nepers por metro. Un neper es de aproximadamente 8,7  dB . La constante de atenuación se puede definir por la relación de amplitud

${\ Displaystyle \ left | {\ frac {A_ {0}} {A_ {x}}} \ right | = e ^ {\ alpha x}}$

La constante de propagación por unidad de longitud se define como el logaritmo natural de la relación entre la corriente o voltaje del extremo de envío y el voltaje o corriente del extremo de recepción.

Lineas conductoras

La constante de atenuación para líneas conductoras se puede calcular a partir de los coeficientes de la línea primaria como se muestra arriba. Para una línea que cumple la condición sin distorsión , con una conductancia G en el aislante, la constante de atenuación viene dada por

${\ Displaystyle \ alpha = {\ sqrt {RG}} \, \!}$

sin embargo, es poco probable que una línea real cumpla esta condición sin la adición de bobinas de carga y, además, existen algunos efectos dependientes de la frecuencia que operan sobre las "constantes" primarias que causan una dependencia de la frecuencia de la pérdida. Hay dos componentes principales de estas pérdidas, la pérdida de metal y la pérdida dieléctrica.

La pérdida de la mayoría de las líneas de transmisión está dominada por la pérdida de metal, que causa una dependencia de frecuencia debido a la conductividad finita de los metales y el efecto de piel dentro de un conductor. El efecto piel hace que R a lo largo del conductor dependa aproximadamente de la frecuencia de acuerdo con

${\ Displaystyle R \ propto {\ sqrt {\ omega}}}$

Las pérdidas en el dieléctrico dependen de la tangente de pérdidas (tan  δ ) del material dividida por la longitud de onda de la señal. Por tanto, son directamente proporcionales a la frecuencia.

${\ Displaystyle \ alpha _ {d} = {{\ pi} {\ sqrt {\ varepsilon _ {r}}} \ over {\ lambda}} {\ tan \ delta}}$

Fibra óptica

La constante de atenuación para un modo de propagación particular en una fibra óptica es la parte real de la constante de propagación axial.

Constante de fase

En la teoría electromagnética , la constante de fase , también llamada constante de cambio de fase , parámetro o coeficiente, es el componente imaginario de la constante de propagación de una onda plana. Representa el cambio de fase por unidad de longitud a lo largo del camino recorrido por la onda en cualquier instante y es igual a la parte real del número de onda angular de la onda. Está representado por el símbolo β y se mide en radianes por unidad de longitud.

De la definición de número de onda (angular) para ondas TEM en medios sin pérdidas:

${\ Displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} = \ beta}$

Para una línea de transmisión , la condición de Heaviside de la ecuación del telegrafista nos dice que el número de onda debe ser proporcional a la frecuencia para que la transmisión de la onda no se distorsione en el dominio del tiempo . Esto incluye, entre otros, el caso ideal de una línea sin pérdidas. La razón de esta condición se puede ver considerando que una señal útil se compone de muchas longitudes de onda diferentes en el dominio de la frecuencia. Para que no haya distorsión de la forma de onda , todas estas ondas deben viajar a la misma velocidad para que lleguen al otro extremo de la línea al mismo tiempo que un grupo . Dado que la velocidad de la fase de onda está dada por

${\ Displaystyle v_ {p} = {\ frac {\ lambda} {T}} = {\ frac {f} {\ tilde {\ nu}}} = {\ frac {\ omega} {\ beta}},}$

se demuestra que se requiere que β sea ​​proporcional a ω . En términos de coeficientes primarios de la línea, esto da como resultado de la ecuación del telegrafista para una línea sin distorsión la condición

${\ Displaystyle \ beta = \ omega {\ sqrt {LC}},}$

donde L y C son, respectivamente, la inductancia y capacitancia por unidad de longitud de la línea. Sin embargo, solo se puede esperar que las líneas prácticas cumplan aproximadamente esta condición en una banda de frecuencia limitada.

En particular, la constante de fase no siempre es equivalente al número de onda . En términos generales, la siguiente relación ${\ Displaystyle \ beta}$ ${\ Displaystyle k}$

${\ Displaystyle \ beta = k}$

es compatible con la onda TEM (onda electromagnética transversal) que viaja en el espacio libre o dispositivos TEM como el cable coaxial y dos líneas de transmisión de cables paralelos . Sin embargo, no es válido para la onda TE (onda eléctrica transversal) y la onda TM (onda magnética transversal). Por ejemplo, en una guía de ondas hueca donde la onda TEM no puede existir pero las ondas TE y TM pueden propagarse,

${\ Displaystyle k = {\ frac {\ omega} {c}}}$

${\ Displaystyle \ beta = k {\ sqrt {1 - {\ frac {\ omega _ {c} ^ {2}} {\ omega ^ {2}}}}}}$

Aquí está la frecuencia de corte . En una guía de ondas rectangular, la frecuencia de corte es ${\ Displaystyle \ omega _ {c}}$

${\ Displaystyle \ omega _ {c} = c {\ sqrt {\ left ({\ frac {n \ pi} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {m \ pi} { b}} \ right) ^ {2}}},}$

donde están los números de modo para los lados de longitud del rectángulo y respectivamente. Para los modos TE, (pero no está permitido), mientras que para los modos TM . ${\ Displaystyle m, n \ geq 0}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle m, n \ geq 0}$${\ Displaystyle m = n = 0}$${\ Displaystyle m, n \ geq 1}$

La velocidad de fase es igual a

${\ Displaystyle v_ {p} = {\ frac {\ omega} {\ beta}} = {\ frac {c} {\ sqrt {1 - {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {c}} ^ {2 }} {\ omega ^ {2}}}}}}> c}$

La constante de fase también es un concepto importante en la mecánica cuántica porque el momento de un cuanto es directamente proporcional a él, es decir ${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle p = \ hbar \ beta}$

donde ħ se denomina constante de Planck reducida (pronunciada "barra h"). Es igual a la constante de Planck dividida por 2 π .

Filtros y redes de dos puertos

El término constante de propagación o función de propagación se aplica a los filtros y otras redes de dos puertos que se utilizan para el procesamiento de señales . En estos casos, sin embargo, los coeficientes de atenuación y fase se expresan en términos de nepers y radianes por sección de red en lugar de por unidad de longitud. Algunos autores distinguen entre medidas por unidad de longitud (para las que se utiliza "constante") y medidas por sección (para las que se utiliza "función").

La constante de propagación es un concepto útil en el diseño de filtros que invariablemente utiliza una topología de sección en cascada . En una topología en cascada, la constante de propagación, la constante de atenuación y la constante de fase de las secciones individuales se pueden sumar simplemente para encontrar la constante de propagación total, etc.

Redes en cascada

Tres redes con impedancias y constantes de propagación arbitrarias conectadas en cascada. Los términos Z _i representan la impedancia de la imagen y se asume que las conexiones están entre las impedancias de la imagen coincidentes.

La relación entre el voltaje de salida y el de entrada para cada red viene dada por

${\ Displaystyle {\ frac {V_ {1}} {V_ {2}}} = {\ sqrt {\ frac {Z_ {I1}} {Z_ {I2}}}} e ^ {\ gamma _ {1}} }$

${\ Displaystyle {\ frac {V_ {2}} {V_ {3}}} = {\ sqrt {\ frac {Z_ {I2}} {Z_ {I3}}}} e ^ {\ gamma _ {2}} }$

${\ Displaystyle {\ frac {V_ {3}} {V_ {4}}} = {\ sqrt {\ frac {Z_ {I3}} {Z_ {I4}}}} e ^ {\ gamma _ {3}} }$

Los términos son términos de escala de impedancia y su uso se explica en el artículo de impedancia de imagen . ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ frac {Z_ {In}} {Z_ {Im}}}}}$

La relación de voltaje total viene dada por

${\ Displaystyle {\ frac {V_ {1}} {V_ {4}}} = {\ frac {V_ {1}} {V_ {2}}} \ cdot {\ frac {V_ {2}} {V_ { 3}}} \ cdot {\ frac {V_ {3}} {V_ {4}}} = {\ sqrt {\ frac {Z_ {I1}} {Z_ {I4}}}} e ^ {\ gamma _ { 1} + \ gamma _ {2} + \ gamma _ {3}}}$

Por lo tanto, para n secciones en cascada todas con impedancias coincidentes enfrentadas entre sí, la constante de propagación general está dada por

${\ Displaystyle \ gamma _ {\ mathrm {total}} = \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2} + \ gamma _ {3} + \ cdots + \ gamma _ {n}}$

Ver también

El concepto de profundidad de penetración es una de las muchas formas de describir la absorción de ondas electromagnéticas. Para conocer los demás y sus interrelaciones, consulte el artículo: Descripciones matemáticas de la opacidad .

• Velocidad de propagación

Notas

Referencias

enlaces externos

• "Constante de propagación" . Enciclopedia de microondas. 2011. Archivado desde el original (en línea) el 14 de julio de 2014 . Consultado el 2 de febrero de 2011 .
• Paschotta, Dr. Rüdiger (2011). "Propagation Constant" (en línea) . Enciclopedia de Física y Tecnología Láser . Consultado el 2 de febrero de 2011 .
• Janezic, Michael D .; Jeffrey A. Jargon (febrero de 1999). "Determinación de permitividad compleja a partir de mediciones de constante de propagación" (PDF) . Letras de onda guiada y microondas IEEE . 9 (2): 76–78. doi : 10.1109 / 75.755052 . Consultado el 2 de febrero de 2011 .La descarga gratuita de PDF está disponible. Existe una versión actualizada del 6 de agosto de 2002.