Velocidad de grupo - Group velocity
La velocidad de grupo de una onda es la velocidad con la que la forma de la envolvente general de las amplitudes de la onda, conocida como modulación o envolvente de la onda, se propaga a través del espacio.
Por ejemplo, si se arroja una piedra en medio de un estanque muy quieto, aparece en el agua un patrón circular de ondas con un centro inactivo, también conocido como onda capilar . El anillo de ondas en expansión es el grupo de ondas , dentro del cual se pueden discernir ondas individuales que viajan más rápido que el grupo en su conjunto. Las amplitudes de las ondas individuales crecen a medida que emergen del borde de salida del grupo y disminuyen a medida que se acercan al borde de ataque del grupo.
Definición e interpretación
Definición
La velocidad de grupo v g está definida por la ecuación:
donde ω es la frecuencia angular de la onda (normalmente expresada en radianes por segundo ) y k es el número de onda angular (normalmente expresado en radianes por metro). La velocidad de fase es: v p = ω / k .
La función ω ( k ) , que da ω como función de k , se conoce como relación de dispersión .
- Si ω es directamente proporcional a k , entonces la velocidad del grupo es exactamente igual a la velocidad de fase. Una onda de cualquier forma viajará sin distorsiones a esta velocidad.
- Si ω es una función lineal de k , pero no directamente proporcional ( ω = ak + b ) , entonces la velocidad de grupo y la velocidad de fase son diferentes. La envolvente de un paquete de ondas (ver figura a la derecha) viajará a la velocidad del grupo, mientras que los picos y valles individuales dentro de la envolvente se moverán a la velocidad de fase.
- Si ω no es una función lineal de k , la envolvente de un paquete de ondas se distorsionará a medida que viaja. Dado que un paquete de ondas contiene un rango de diferentes frecuencias (y por lo tanto diferentes valores de k ), la velocidad de grupo ∂ω / ∂k será diferente para diferentes valores de k . Por lo tanto, la envolvente no se mueve a una sola velocidad, pero sus componentes de número de onda ( k ) se mueven a diferentes velocidades, distorsionando la envolvente. Si el paquete de ondas tiene un rango estrecho de frecuencias, y ω ( k ) es aproximadamente lineal en ese rango estrecho, la distorsión del pulso será pequeña, en relación con la pequeña no linealidad. Consulte más información a continuación . Por ejemplo, para aguas profundas ondas de gravedad , y, por tanto v g = v p / 2 .Esto subyace en el patrón de estela de Kelvin para la onda de proa de todos los barcos y objetos nadadores. Independientemente de lo rápido que se muevan, siempre que su velocidad sea constante, en cada lado la estela forma un ángulo de 19,47 ° = arcosen (1/3) con la línea de desplazamiento.
Derivación
Una derivación de la fórmula para la velocidad del grupo es la siguiente.
Considere un paquete de ondas en función de la posición xy el tiempo t : α ( x , t ) .
Sea A ( k ) su transformada de Fourier en el tiempo t = 0 ,
Por el principio de superposición , el paquete de ondas en cualquier momento t es
donde ω es implícitamente una función de k .
Suponga que el paquete de ondas α es casi monocromático , de modo que A ( k ) tiene un pico agudo alrededor de un número de onda central k 0 .
Entonces, la linealización da
dónde
- y
(consulte la siguiente sección para obtener información sobre este paso). Luego, después de un poco de álgebra,
Hay dos factores en esta expresión. El primer factor describe una onda monocromática perfecta con un vector de onda k 0 , con picos y valles que se mueven a la velocidad de fase dentro de la envolvente del paquete de ondas.
El otro factor,
- ,
da el sobre del paquete de ondas. Esta función de envolvente depende de la posición y el tiempo solo a través de la combinación .
Por lo tanto, la envolvente del paquete de ondas viaja a una velocidad
que explica la fórmula de la velocidad del grupo.
Términos de orden superior en dispersión
Parte de la derivación anterior es la aproximación de la serie de Taylor que:
Si el paquete de ondas tiene una dispersión de frecuencia relativamente grande, o si la dispersión ω (k) tiene variaciones bruscas (como debido a una resonancia ), o si el paquete viaja a distancias muy largas, esta suposición no es válida y es de orden superior los términos de la expansión de Taylor se vuelven importantes.
Como resultado, la envolvente del paquete de ondas no solo se mueve, sino que también se distorsiona, de una manera que puede describirse mediante la dispersión de la velocidad del grupo del material . Hablando en términos generales, diferentes componentes de frecuencia del paquete de ondas viajan a diferentes velocidades, con los componentes más rápidos moviéndose hacia el frente del paquete de ondas y los más lentos hacia la parte posterior. Finalmente, el paquete de ondas se estira. Este es un efecto importante en la propagación de señales a través de fibras ópticas y en el diseño de láseres de pulso corto de alta potencia.
Historia
La idea de una velocidad de grupo distinta de la velocidad de fase de una onda fue propuesta por primera vez por WR Hamilton en 1839, y el primer tratamiento completo lo realizó Rayleigh en su "Teoría del sonido" en 1877.
Otras expresiones
Para la luz, el índice de refracción n , la longitud de onda del vacío λ 0 y la longitud de onda en el medio λ están relacionados por
con v p = ω / k la velocidad de fase .
La velocidad del grupo, por lo tanto, se puede calcular mediante cualquiera de las siguientes fórmulas,
Relación con la velocidad de fase, el índice de refracción y la velocidad de transmisión.
En tres dimensiones
Para ondas que viajan a través de tres dimensiones, como ondas de luz, ondas de sonido y ondas de materia, las fórmulas para la velocidad de fase y grupo se generalizan de una manera sencilla:
- Una dimensión:
- Tres dimensiones:
dónde
significa el gradiente de la frecuencia angular ω en función del vector de onda , y es el vector unitario en la dirección k .
Si las ondas se propagan a través de un medio anisotrópico (es decir, no simétrico rotacionalmente), por ejemplo un cristal , entonces el vector de velocidad de fase y el vector de velocidad de grupo pueden apuntar en diferentes direcciones.
En medios lucrativos o con pérdidas
La velocidad de grupo a menudo se considera la velocidad a la que se transmite energía o información a lo largo de una onda. En la mayoría de los casos, esto es exacto y la velocidad del grupo se puede considerar como la velocidad de la señal de la forma de onda . Sin embargo, si la ola viaja a través de un medio absorbente o lucrativo, esto no siempre se mantiene. En estos casos, la velocidad del grupo puede no ser una cantidad bien definida o puede no ser una cantidad significativa.
En su texto “Propagación de ondas en estructuras periódicas”, Brillouin argumentó que en un medio disipativo la velocidad del grupo deja de tener un significado físico claro. Loudon da un ejemplo sobre la transmisión de ondas electromagnéticas a través de un gas atómico. Otro ejemplo son las ondas mecánicas en la fotosfera solar : las ondas se amortiguan (por el flujo de calor radiativo de los picos a las depresiones) y, en relación con eso, la velocidad de la energía es a menudo sustancialmente menor que la velocidad del grupo de las ondas.
A pesar de esta ambigüedad, una forma común de extender el concepto de velocidad de grupo a medios complejos es considerar soluciones de ondas planas amortiguadas espacialmente dentro del medio, que se caracterizan por un vector de onda de valor complejo . Luego, la parte imaginaria del vector de onda se descarta arbitrariamente y la fórmula habitual para la velocidad de grupo se aplica a la parte real del vector de onda, es decir,
O, de manera equivalente, en términos de la parte real del índice de refracción complejo , n = n + iκ , uno tiene
Se puede demostrar que esta generalización de la velocidad de grupo sigue estando relacionada con la velocidad aparente del pico de un paquete de ondas. Sin embargo, la definición anterior no es universal: alternativamente, se puede considerar el amortiguamiento temporal de las ondas estacionarias ( k real , complejo ω ), o permitir que la velocidad del grupo sea una cantidad de valor complejo. Diferentes consideraciones producen distintas velocidades, sin embargo, todas las definiciones concuerdan para el caso de un medio sin pérdidas y sin ganancias.
La generalización anterior de la velocidad de grupo para medios complejos puede comportarse de manera extraña, y el ejemplo de dispersión anómala sirve como una buena ilustración. En los bordes de una región de dispersión anómala, se vuelve infinito (superando incluso la velocidad de la luz en el vacío), y puede fácilmente volverse negativo (su signo se opone a Re k ) dentro de la banda de dispersión anómala.
Velocidades del grupo superluminal
Desde la década de 1980, varios experimentos han verificado que es posible que la velocidad de grupo (como se define arriba) de los pulsos de luz láser enviados a través de materiales con pérdidas, o materiales lucrativos, exceda significativamente la velocidad de la luz en el vacío c . También se observó que los picos de los paquetes de ondas se movían más rápido que c .
En todos estos casos, sin embargo, no hay posibilidad de que las señales puedan ser transportadas más rápido que la velocidad de la luz en el vacío , ya que el alto valor de v g no ayuda a acelerar el verdadero movimiento del frente de onda nítido que ocurriría en el inicio de cualquier señal real. Esencialmente, la transmisión aparentemente superluminal es un artefacto de la aproximación de banda estrecha utilizada anteriormente para definir la velocidad del grupo y ocurre debido a fenómenos de resonancia en el medio intermedio. En un análisis de banda ancha se ve que la aparentemente paradójica velocidad de propagación de la envolvente de la señal es en realidad el resultado de la interferencia local de una banda más amplia de frecuencias durante muchos ciclos, todos los cuales se propagan perfectamente causalmente y a una velocidad de fase. El resultado es similar al hecho de que las sombras pueden viajar más rápido que la luz, incluso si la luz que las provoca se propaga siempre a la velocidad de la luz; dado que el fenómeno que se está midiendo está sólo débilmente relacionado con la causalidad, no necesariamente respeta las reglas de la propagación causal, incluso si en circunstancias normales lo hace y conduce a una intuición común.
Ver también
- Propagación de onda
- Dispersión (ondas de agua)
- Dispersión (óptica)
- Velocidad de propagación de ondas
- Retraso de grupo
- Dispersión de velocidad de grupo
- Dispersión de retardo de grupo
- Retardo de fase
- Velocidad de fase
- Velocidad de la señal
- Luz lenta
- Velocidad frontal
- Onda de materia # Velocidad de grupo
- Solitón
Referencias
Notas
Otras lecturas
- Crawford Jr., Frank S. (1968). Waves (Berkeley Physics Course, Vol.3) , McGraw-Hill, ISBN 978-0070048607 Versión gratuita en línea
- Tipler, Paul A .; Llewellyn, Ralph A. (2003), Modern Physics (4ª ed.), Nueva York: WH Freeman and Company, p. 223, ISBN 978-0-7167-4345-3.
- Biot, MA (1957), "Teoremas generales sobre la equivalencia de la velocidad de grupo y el transporte de energía", Physical Review , 105 (4): 1129-1137, Bibcode : 1957PhRv..105.1129B , doi : 10.1103 / PhysRev.105.1129
- Whitham, GB (1961), "Propagación de energía y velocidad de grupo para ondas tridimensionales", Communications on Pure and Applied Mathematics , 14 (3): 675–691, CiteSeerX 10.1.1.205.7999 , doi : 10.1002 / cpa.3160140337
- Lighthill, MJ (1965), "Velocidad de grupo", IMA Journal of Applied Mathematics , 1 (1): 1–28, doi : 10.1093 / imamat / 1.1.1
- Bretherton, FP ; Garrett, CJR (1968), "Wavetrains in inhomogeneous mobile media", Proceedings of the Royal Society of London , Serie A, Mathematical and Physical Sciences, 302 (1471): 529–554, Bibcode : 1968RSPSA.302..529B , doi : 10.1098 / rspa.1968.0034
- Hayes, WD (1973), "Velocidad de grupo y propagación de ondas dispersivas no lineales", Actas de la Royal Society of London , Serie A, Mathematical and Physical Sciences, 332 (1589): 199-221, Bibcode : 1973RSPSA.332..199H , doi : 10.1098 / rspa.1973.0021 , S2CID 121521673
- Whitham, GB (1974), ondas lineales y no lineales , Wiley, ISBN 978-0471940906
enlaces externos
- Greg Egan tiene un excelente applet de Java en su sitio web que ilustra la aparente diferencia entre la velocidad de grupo y la velocidad de fase .
- Maarten Ambaum tiene una página web con una película que demuestra la importancia de la velocidad del grupo para el desarrollo posterior de los sistemas meteorológicos.
- Velocidad de fase frente a grupo : varias relaciones de velocidad de fase y de grupo (animación)