Frecuencia de corte - Cutoff frequency

Función de transferencia de magnitud de un filtro de paso de banda con una frecuencia de corte inferior de 3 dB f ₁ y una frecuencia de corte superior de 3 dB f ₂

Un diagrama de Bode de la filtro Butterworth 's respuesta de frecuencia , con una frecuencia de esquina etiquetado. (La pendiente −20 dB por década también equivale a −6 dB por octava ).

En la física y la ingeniería eléctrica , una frecuencia de corte , la frecuencia de esquina , o frecuencia de ruptura es un límite en de un sistema de respuesta de frecuencia a la que la energía que fluye a través del sistema comienza a reducirse ( atenuada o reflejada) en lugar de pasar a través.

Por lo general, en sistemas electrónicos como filtros y canales de comunicación , la frecuencia de corte se aplica a un borde en una característica de paso bajo , paso alto , paso de banda o parada de banda , una frecuencia que caracteriza un límite entre una banda de paso y una banda de parada . A veces se considera que es el punto en la respuesta del filtro donde se encuentran una banda de transición y una banda de paso, por ejemplo, según lo definido por un punto de media potencia (una frecuencia para la cual la salida del circuito es −3 dB del valor nominal de la banda de paso ). Alternativamente, se puede especificar una frecuencia de esquina de la banda de supresión como un punto donde se encuentran una banda de transición y una banda de supresión: una frecuencia para la cual la atenuación es mayor que la atenuación de la banda de supresión requerida, que por ejemplo puede ser de 30 dB o 100 dB.

En el caso de una guía de ondas o una antena , las frecuencias de corte corresponden a las longitudes de onda de corte inferior y superior .

Electrónica

En electrónica , la frecuencia de corte o frecuencia de esquina es la frecuencia por encima o por debajo de la cual la salida de potencia de un circuito , como una línea , un amplificador o un filtro electrónico, ha caído a una proporción determinada de la potencia en la banda de paso . Con mayor frecuencia, esta proporción es la mitad de la potencia de la banda de paso, también denominado punto de 3 dB , ya que una caída de 3 dB corresponde aproximadamente a la mitad de la potencia. Como relación de voltaje, esta es una caída del voltaje de banda de paso. Otras relaciones además del punto de 3 dB también pueden ser relevantes, por ejemplo, consulte Filtros Chebyshev a continuación. ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {1/2}} \ \ approx \ 0.707}$

Ejemplo de función de transferencia unipolar

La función de transferencia para el filtro de paso bajo más simple ,

{\ Displaystyle H (s) = {\ frac {1} {1+ \ alpha s}},}

tiene un solo polo en $s = -1 / α$ . La magnitud de esta función en el plano $j ω$ es

{\ Displaystyle \ left | H (j \ omega) \ right | = \ left | {\ frac {1} {1+ \ alpha j \ omega}} \ right | = {\ sqrt {\ frac {1} {1 + \ alpha ^ {2} \ omega ^ {2}}}}.}

En el corte

{\ Displaystyle \ left | H (j \ omega _ {\ mathrm {c}}) \ right | = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = {\ sqrt {\ frac {1} {1 + \ alpha ^ {2} \ omega _ {\ mathrm {c}} ^ {2}}}}.}

Por tanto, la frecuencia de corte viene dada por

{\ Displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {1} {\ alpha}}.}

Donde $s$ es la variable del plano s , $ω$ es la frecuencia angular y $j$ es la unidad imaginaria .

Filtros Chebyshev

A veces, otras relaciones son más convenientes que el punto de 3 dB. Por ejemplo, en el caso del filtro Chebyshev , es habitual definir la frecuencia de corte como el punto después del último pico en la respuesta de frecuencia en el que el nivel ha caído al valor de diseño de la ondulación de la banda de paso. El diseñador puede establecer la cantidad de ondulación en esta clase de filtro en cualquier valor deseado, por lo tanto, la relación utilizada podría ser cualquier valor.

Comunicaciones por radio

En la comunicación por radio , la comunicación por ondas celestes es una técnica en la que las ondas de radio se transmiten en ángulo hacia el cielo y se reflejan de regreso a la Tierra por capas de partículas cargadas en la ionosfera . En este contexto, el término frecuencia de corte se refiere a la frecuencia máxima utilizable significa la frecuencia por encima de la cual una onda de radio no se refleja en la ionosfera en el ángulo de incidencia requerido para la transmisión entre dos puntos especificados por reflexión de la capa.

Guías de ondas

La frecuencia de corte de una guía de ondas electromagnética es la frecuencia más baja para la cual un modo se propagará en ella. En fibra óptica , es más común considerar la longitud de onda de corte , la longitud de onda máxima que se propagará en una fibra óptica o guía de ondas . La frecuencia de corte se encuentra con la ecuación característica de la ecuación de Helmholtz para ondas electromagnéticas, que se deriva de la ecuación de ondas electromagnéticas estableciendo el número de onda longitudinal igual a cero y resolviendo la frecuencia. Por lo tanto, cualquier frecuencia de excitación inferior a la frecuencia de corte se atenuará, en lugar de propagarse. La siguiente derivación asume paredes sin pérdidas. El valor de c, la velocidad de la luz , debe tomarse como la velocidad de grupo de la luz en cualquier material que llene la guía de ondas.

Para una guía de ondas rectangular, la frecuencia de corte es

{\ Displaystyle \ omega _ {c} = c {\ sqrt {\ left ({\ frac {n \ pi} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {m \ pi} { b}} \ right) ^ {2}}},}

donde están los números de modo para los lados de longitud del rectángulo y respectivamente. Para los modos TE, (pero no está permitido), mientras que para los modos TM . ${\ Displaystyle m, n \ geq 0}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle m, n \ geq 0}$ ${\ Displaystyle m = n = 0}$ ${\ Displaystyle m, n \ geq 1}$

La frecuencia de corte del modo TM ₀₁ (inmediatamente superior al modo dominante TE ₁₁ ) en una guía de ondas de sección transversal circular (el modo magnético transversal sin dependencia angular y con dependencia radial más baja) está dada por

{\ Displaystyle \ omega _ {c} = c {\ frac {\ chi _ {01}} {r}} = c {\ frac {2.4048} {r}},}

donde es el radio de la guía de ondas y es la primera raíz de la función de Bessel del primer tipo de orden 1. ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle \ chi _ {01}}$ ${\ Displaystyle J_ {0} (r)}$

La frecuencia de corte del modo dominante TE ₁₁ viene dada por

{\ Displaystyle \ omega _ {c} = c {\ frac {\ chi _ {11}} {r}} = c {\ frac {1.8412} {r}}}

Sin embargo, la frecuencia de corte del modo dominante se puede reducir mediante la introducción de un deflector dentro de la guía de ondas de sección transversal circular. Para una fibra óptica monomodo , la longitud de onda de corte es la longitud de onda a la que la frecuencia normalizada es aproximadamente igual a 2,405.

Análisis matemático

El punto de partida es la ecuación de onda (que se deriva de las ecuaciones de Maxwell ),

{\ Displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial {t} ^ {2}}} \ right) \ psi (\ mathbf {r}, t) = 0,}

que se convierte en una ecuación de Helmholtz al considerar solo funciones de la forma

{\ Displaystyle \ psi (x, y, z, t) = \ psi (x, y, z) e ^ {i \ omega t}.}

Sustituyendo y evaluando la derivada del tiempo da

{\ Displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) \ psi (x, y, z) = 0.}

La función aquí se refiere a cualquier campo (el campo eléctrico o el campo magnético) que no tiene componente vectorial en la dirección longitudinal - el campo "transversal". Es una propiedad de todos los modos propios de la guía de ondas electromagnéticas que al menos uno de los dos campos sea transversal. El eje z se define a lo largo del eje de la guía de ondas. ${\ Displaystyle \ psi}$

La derivada "longitudinal" en el laplaciano se puede reducir aún más considerando solo funciones de la forma

{\ Displaystyle \ psi (x, y, z, t) = \ psi (x, y) e ^ {i \ left (\ omega t-k_ {z} z \ right)},}

donde es el número de onda longitudinal , lo que resulta en ${\ Displaystyle k_ {z}}$

{\ Displaystyle (\ nabla _ {T} ^ {2} -k_ {z} ^ {2} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}}) \ psi (x, y , z) = 0,}

donde el subíndice T indica un laplaciano transversal bidimensional. El paso final depende de la geometría de la guía de ondas. La geometría más fácil de resolver es la guía de ondas rectangular. En ese caso, el resto del Laplaciano puede evaluarse a su ecuación característica considerando soluciones de la forma

{\ Displaystyle \ psi (x, y, z, t) = \ psi _ {0} e ^ {i \ left (\ omega t-k_ {z} z-k_ {x} x-k_ {y} y \ Derecha)}.}

Así para la guía rectangular se evalúa el laplaciano, y llegamos a

{\ Displaystyle {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} = k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2}}

Los números de onda transversales pueden ser especificados de la onda estacionaria condiciones de contorno para una sección transversal de geometría rectangular con dimensiones de unos y b :

{\ Displaystyle k_ {x} = {\ frac {n \ pi} {a}},}

{\ Displaystyle k_ {y} = {\ frac {m \ pi} {b}},}

donde n y m son los dos números enteros que representan un modo propio específico. Realizando la sustitución final, obtenemos

{\ Displaystyle {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} = \ left ({\ frac {n \ pi} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({ \ frac {m \ pi} {b}} \ right) ^ {2} + k_ {z} ^ {2},}

que es la relación de dispersión en la guía de ondas rectangular. La frecuencia de corte es la frecuencia crítica entre la propagación y la atenuación, que corresponde a la frecuencia a la que el número de onda longitudinal es cero. Es dado por ${\ Displaystyle \ omega _ {c}}$ ${\ Displaystyle k_ {z}}$

{\ Displaystyle \ omega _ {c} = c {\ sqrt {\ left ({\ frac {n \ pi} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {m \ pi} { b}} \ right) ^ {2}}}}

Las ecuaciones de onda también son válidas por debajo de la frecuencia de corte, donde el número de onda longitudinal es imaginario. En este caso, el campo decae exponencialmente a lo largo del eje de la guía de ondas y, por tanto, la onda es evanescente .

Ver también

Ancho completo a la mitad del máximo
Filtro de paso alto
Efecto Miller
Frecuencia de corte espacial (en sistemas ópticos)
Tiempo constante

Referencias

Este artículo incorpora material de dominio público del documento de la Administración de Servicios Generales : "Norma Federal 1037C" .(en apoyo de MIL-STD-188 )

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