Espacio de posición e impulso - Position and momentum space

En física y geometría , hay dos espacios vectoriales estrechamente relacionados , generalmente tridimensionales, pero en general podrían tener cualquier número finito de dimensiones.

Espacio Posición (también espacio real o coordinar espacio ) es el conjunto de todos los vectores de posición r en el espacio, y tiene dimensiones de longitud . Un vector de posición define un punto en el espacio. Si el vector de posición de una partícula puntual varía con el tiempo, trazará una trayectoria, la trayectoria de una partícula. El espacio de momento es el conjunto de todos los vectores de momento p que puede tener un sistema físico. El vector de momento de una partícula corresponde a su movimiento, con unidades de [masa] [longitud] [tiempo] ⁻¹ .

Matemáticamente, la dualidad entre posición e impulso es un ejemplo de la dualidad de Pontryagin . En particular, si se da una función en el espacio de posición, f ( r ), entonces su transformada de Fourier obtiene la función en el espacio de momento, φ ( p ). Por el contrario, la transformada de Fourier inversa de una función de espacio de momento es una función de espacio de posición.

Estas cantidades e ideas trascienden toda la física clásica y cuántica, y un sistema físico puede describirse utilizando las posiciones de las partículas constituyentes o sus momentos, ambas formulaciones proporcionan de manera equivalente la misma información sobre el sistema en consideración. Otra cantidad es útil para definir en el contexto de ondas . El vector de onda k (o simplemente " k- vector") tiene dimensiones de longitud recíproca , lo que lo convierte en un análogo de frecuencia angular ω que tiene dimensiones de tiempo recíproco . El conjunto de todos los vectores de onda es el espacio k . Por lo general, r es más intuitivo y más simple que k , aunque lo contrario también puede ser cierto, como en la física del estado sólido .

La mecánica cuántica proporciona dos ejemplos fundamentales de la dualidad entre posición y momento, el principio de incertidumbre de Heisenberg Δ x Δ p ≥ ħ / 2 que establece que la posición y el momento no pueden conocerse simultáneamente con precisión arbitraria, y la relación de De Broglie p = ħ k que establece el momento y el vector de onda de una partícula libre son proporcionales entre sí. En este contexto, cuando no es ambiguo, los términos " impulso " y "vector de onda" se utilizan indistintamente. Sin embargo, la relación de De Broglie no es cierta en un cristal.

Espacios de posición e impulso en la mecánica clásica

Mecánica lagrangiana

Muy a menudo en la mecánica de Lagrange , el Lagrangiano L ( q , d q / dt , t ) está en el espacio de configuración , donde q = ( q ₁ , q ₂ , ..., q _n ) es una n - tupla de las coordenadas generalizadas . Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange son

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ punto {q}} _ {i}}} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial q_ {i}}} \ ,, \ quad {\ dot {q}} _ {i} \ equiv {\ frac {dq_ {i}} {dt}} \ ,.}

(Un overdot indica una derivada de tiempo ). Introduciendo la definición de momento canónico para cada coordenada generalizada

{\ Displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i}}} \ ,,}

las ecuaciones de Euler-Lagrange toman la forma

{\ Displaystyle {\ dot {p}} _ {i} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial q_ {i}}} \ ,.}

El lagrangiano también se puede expresar en el espacio de momentos , L ′ ( p , d p / dt , t ), donde p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) es una n -tupla de los momentos generalizados. Se realiza una transformación de Legendre para cambiar las variables en el diferencial total del espacio coordenado generalizado Lagrangiano;

{\ Displaystyle dL = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ parcial L} {\ parcial q_ {i}}} dq_ {i} + {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ punto {q}} _ {i}}} d {\ punto {q}} _ {i} \ derecha) + {\ frac {\ parcial L} {\ parcial t}} dt = \ suma _ {i = 1} ^ {n} ({\ dot {p}} _ {i} dq_ {i} + p_ {i} d {\ dot {q}} _ {i}) + {\ frac {\ parcial L} {\ parcial t}} dt \ ,,}

donde la definición de ecuaciones de momento y Euler-Lagrange generalizadas han sustituido a las derivadas parciales de L . La regla del producto para diferenciales permite el intercambio de diferenciales en las coordenadas generalizadas y velocidades por los diferenciales en momentos generalizados y sus derivadas en el tiempo,

{\ Displaystyle {\ dot {p}} _ {i} dq_ {i} = d (q_ {i} {\ dot {p}} _ {i}) - q_ {i} d {\ dot {p}} _{I}}

{\ Displaystyle p_ {i} d {\ dot {q}} _ {i} = d ({\ dot {q}} _ {i} p_ {i}) - {\ dot {q}} _ {i} dp_ {i}}

que después de la sustitución simplifica y reorganiza para

{\ Displaystyle d \ left [L- \ sum _ {i = 1} ^ {n} (q_ {i} {\ dot {p}} _ {i} + {\ dot {q}} _ {i} p_ {i}) \ right] = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} ({\ dot {q}} _ {i} dp_ {i} + q_ {i} d {\ dot {p}} _ {i}) + {\ frac {\ parcial L} {\ parcial t}} dt \ ,.}

Ahora, el diferencial total del espacio de momento lagrangiano L ′ es

{\ Displaystyle dL '= \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ parcial L'} {\ parcial p_ {i}}} dp_ {i} + {\ frac {\ parcial L '} {\ parcial {\ punto {p}} _ {i}}} d {\ punto {p}} _ {i} \ derecha) + {\ frac {\ parcial L'} {\ parcial t}} dt}

por lo tanto, al comparar los diferenciales de los lagrangianos, los momentos y sus derivadas de tiempo, el espacio de momento lagrangiano L ′ y las coordenadas generalizadas derivadas de L ′ son respectivamente

{\ Displaystyle L '= L- \ sum _ {i = 1} ^ {n} (q_ {i} {\ dot {p}} _ {i} + {\ dot {q}} _ {i} p_ { i}) \ ,, \ quad - {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {\ parcial L '} {\ parcial p_ {i}}} \ ,, \ quad -q_ {i} = {\ frac {\ parcial L '} {\ parcial {\ dot {p}} _ {i}}} \ ,.}

La combinación de las dos últimas ecuaciones da el espacio de momento Ecuaciones de Euler-Lagrange

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ parcial L '} {\ parcial {\ punto {p}} _ {i}}} = {\ frac {\ parcial L'} {\ parcial p_ {i}}} \ ,.}

La ventaja de la transformación de Legendre es que la relación entre las funciones nuevas y antiguas y sus variables se obtiene en el proceso. Tanto las formas de coordenadas como de momento de la ecuación son equivalentes y contienen la misma información sobre la dinámica del sistema. Esta forma puede ser más útil cuando el momento o momento angular ingresa al Lagrangiano.

Mecánica hamiltoniana

En la mecánica hamiltoniana , a diferencia de la mecánica lagrangiana, que utiliza todas las coordenadas o los momentos, las ecuaciones de movimiento hamiltonianas colocan las coordenadas y los momentos en pie de igualdad. Para un sistema con Hamiltoniano H ( q , p , t ), las ecuaciones son

{\ Displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {\ parcial H} {\ parcial p_ {i}}} \ ,, \ quad {\ dot {p}} _ {i} = - {\ frac {\ parcial H} {\ parcial q_ {i}}} \ ,.}

Espacios de posición y momento en la mecánica cuántica

En mecánica cuántica , una partícula se describe mediante un estado cuántico . Este estado cuántico se puede representar como una superposición (es decir, una combinación lineal como una suma ponderada ) de estados básicos . En principio, uno es libre de elegir el conjunto de estados base, siempre que abarquen el espacio. Si uno elige las funciones propias del operador de posición como un conjunto de funciones base, se habla de un estado como una función de onda $ψ (r)$ en el espacio de posición (nuestra noción ordinaria de espacio en términos de longitud ). La familiar ecuación de Schrödinger en términos de la posición r es un ejemplo de mecánica cuántica en la representación de la posición.

Al elegir las funciones propias de un operador diferente como un conjunto de funciones básicas, se puede llegar a varias representaciones diferentes del mismo estado. Si se seleccionan las funciones propias del operador de momento como un conjunto de funciones básicas, se dice que la función de onda resultante es la función de onda en el espacio de momento. ${\ Displaystyle \ phi (\ mathbf {k})}$

Una característica de la mecánica cuántica es que los espacios de fase pueden ser de diferentes tipos: variable discreta, rotor y variable continua. La siguiente tabla resume algunas relaciones involucradas en los tres tipos de espacios de fase.

Comparación y resumen de relaciones entre variables conjugadas en espacios de fase de variable discreta (DV), rotor (ROT) y variable continua (CV) (tomado de arXiv: 1709.04460). Los espacios de fase más relevantes físicamente consisten en combinaciones de estos tres. Cada espacio de fase consta de posición y momento, cuyos posibles valores se toman de un grupo abeliano localmente compacto y su dual. Un estado de la mecánica cuántica se puede representar completamente en términos de cualquiera de las variables, y la transformación utilizada para ir entre los espacios de posición y momento es, en cada uno de los tres casos, una variante de la transformada de Fourier. La tabla utiliza la notación bra-ket, así como terminología matemática que describe las relaciones de conmutación canónica (CCR).

Relación entre espacio y espacio recíproco

La representación del momento de una función de onda está muy relacionada con la transformada de Fourier y el concepto de dominio de frecuencia . Dado que una partícula de mecánica cuántica tiene una frecuencia proporcional al momento (ecuación de De Broglie dada arriba), describir la partícula como una suma de sus componentes de momento es equivalente a describirla como una suma de componentes de frecuencia (es decir, una transformada de Fourier). Esto queda claro cuando nos preguntamos cómo podemos transformarnos de una representación a otra.

Funciones y operadores en el espacio de posición

Supongamos que tenemos una función de onda tridimensional en el espacio de posición $ψ (r)$ , entonces podemos escribir estas funciones como una suma ponderada de funciones de base ortogonal $ψ j (r)$ :

{\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = \ sum _ {j} \ phi _ {j} \ psi _ {j} (\ mathbf {r})}

o, en el caso continuo, como integral

{\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = \ int _ {\ mathbf {k} {\ rm {-espacio}}} \ phi (\ mathbf {k}) \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) {\ rm {d}} ^ {3} \ mathbf {k}}

Está claro que si especificamos el conjunto de funciones , digamos como el conjunto de funciones propias del operador de momento, la función contiene toda la información necesaria para reconstruir $ψ$ $($ $r$ $)$ y, por lo tanto, es una descripción alternativa del estado . ${\ Displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r})}$ ${\ Displaystyle \ phi (\ mathbf {k})}$ ${\ Displaystyle \ psi}$

En mecánica cuántica, el operador de momento está dado por

{\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} = -i \ hbar {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ mathbf {r}}}}

(ver cálculo matricial para la notación del denominador) con el dominio apropiado . Las funciones propias son

{\ Displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {({\ sqrt {2 \ pi}}) ^ {3}}} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}

y valores propios ħ k . Entonces

{\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {({\ sqrt {2 \ pi}}) ^ {3}}} \ int _ {\ mathbf {k} {\ rm { -espacio}}} \ phi (\ mathbf {k}) e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} {\ rm {d}} ^ {3} \ mathbf {k}}

y vemos que la representación del momento está relacionada con la representación de la posición mediante una transformada de Fourier.

Funciones y operadores en el espacio de impulso

Por el contrario, una función de onda tridimensional en el espacio de momento se puede expresar como una suma ponderada de funciones de base ortogonal , ${\ Displaystyle \ phi (\ mathbf {k})}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {j} (\ mathbf {k})}$

{\ Displaystyle \ phi (\ mathbf {k}) = \ sum _ {j} \ psi _ {j} \ phi _ {j} (\ mathbf {k}),}

o como integral,

{\ Displaystyle \ phi (\ mathbf {k}) = \ int _ {\ mathbf {r} {\ rm {-espacio}}} \ psi (\ mathbf {r}) \ phi _ {\ mathbf {r}} (\ mathbf {k}) {\ rm {d}} ^ {3} \ mathbf {r}.}

El operador de posición viene dado por

{\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {r}} = yo \ hbar {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ mathbf {p}}} = yo {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ mathbf {k} }}}

con funciones propias

{\ Displaystyle \ phi _ {\ mathbf {r}} (\ mathbf {k}) = {\ frac {1} {({\ sqrt {2 \ pi}}) ^ {3}}} e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}

y valores propios r . Entonces se puede hacer una descomposición similar de en términos de las funciones propias de este operador, que resulta ser la transformada inversa de Fourier, ${\ Displaystyle \ phi (\ mathbf {k})}$

{\ Displaystyle \ phi (\ mathbf {k}) = {\ frac {1} {({\ sqrt {2 \ pi}}) ^ {3}}} \ int _ {\ mathbf {r} {\ rm { -espacio}}} \ psi (\ mathbf {r}) e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} {\ rm {d}} ^ {3} \ mathbf {r}.}

Equivalencia unitaria entre posición y operador de momento

Los operadores r y p son unitariamente equivalentes , y el operador unitario viene dado explícitamente por la transformada de Fourier, es decir, una rotación de un cuarto de ciclo en el espacio de fase, generada por el oscilador hamiltoniano. Por tanto, tienen el mismo espectro . En lenguaje físico, p que actúa sobre las funciones de onda del espacio de momento es lo mismo que r que actúa sobre las funciones de onda del espacio de posición (bajo la imagen de la transformada de Fourier).

Espacio recíproco y cristales

Para un electrón (u otra partícula ) en un cristal, su valor de k se relaciona casi siempre con su momento cristalino , no con su momento normal. Por lo tanto, k y p no son simplemente proporcional pero desempeñan funciones diferentes. Consulte la teoría de perturbaciones k · p para ver un ejemplo. El impulso del cristal es como una envolvente de onda que describe cómo varía la onda de una celda unitaria a la siguiente, pero no proporciona ninguna información sobre cómo varía la onda dentro de cada celda unitaria.

Cuando k se relaciona con el momento cristalino en lugar del momento real, el concepto de espacio k sigue siendo significativo y extremadamente útil, pero difiere en varias formas del espacio k no cristalino discutido anteriormente. Por ejemplo, en el espacio k de un cristal , hay un conjunto infinito de puntos llamados celosía recíproca que son "equivalentes" a k = 0 (esto es análogo al aliasing ). Asimismo, la " primera zona de Brillouin " es un volumen finito de k -espacio, de modo que cada k posible es "equivalente" a exactamente un punto en esta región.

Para obtener más detalles, consulte la celosía recíproca .

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