Impulso cristalino - Crystal momentum

Hay un número infinito de oscilaciones sinusoidales que se ajustan perfectamente a un conjunto de osciladores discretos, lo que hace imposible definir un vector k de manera inequívoca. Ésta es una relación de las distancias entre osciladores con la frecuencia espacial de Nyquist de ondas en la red. Consulte también Aliasing § Muestreo de funciones sinusoidales para obtener más información sobre la equivalencia de k-vectores.

En la física del estado sólido, el momento o cuasimomento del cristal es un vector similar al momento asociado con electrones en una red cristalina . Está definido por los vectores de onda asociados de esta red, según ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$

${\ Displaystyle {\ mathbf {p}} _ {\ text {crystal}} \ equiv \ hbar {\ mathbf {k}}}$

(donde es la constante de Planck reducida ). Con frecuencia, el impulso del cristal se conserva como el impulso mecánico, lo que lo hace útil para los físicos y científicos de materiales como herramienta analítica. ${\ Displaystyle \ hbar}$

Orígenes de la simetría de celosía

Un método común para modelar la estructura y el comportamiento de los cristales es ver los electrones como partículas de la mecánica cuántica que viajan a través de un potencial periódico infinito fijo tal que ${\ Displaystyle V (x)}$

${\ Displaystyle V ({\ mathbf {x}} + {\ mathbf {a}}) = V ({\ mathbf {x}}),}$

donde es un vector de celosía arbitrario . Tal modelo es sensato porque los iones de cristal que forman la estructura reticular son típicamente del orden de decenas de miles de veces más masivos que los electrones, lo que hace que sea seguro reemplazarlos con una estructura de potencial fijo, y las dimensiones macroscópicas de un cristal son típicamente mucho mayor que un solo espaciado de celosía, lo que hace que los efectos de borde sean insignificantes. Una consecuencia de esta función de energía potencial es que es posible cambiar la posición inicial de un electrón por cualquier vector de red sin cambiar ningún aspecto del problema, definiendo así una simetría discreta . Técnicamente, un potencial periódico infinito implica que el operador de traslación de celosía conmuta con el hamiltoniano , asumiendo una forma cinética más potencial simple. ${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$${\ Displaystyle T (a)}$

Estas condiciones implican el teorema de Bloch , que establece

${\ Displaystyle \ psi _ {n} ({\ mathbf {x}}) = e ^ {i {\ mathbf {k} {\ mathbf {\ cdot x}}}} u_ {n {\ mathbf {k}} } ({\ mathbf {x}}), \ qquad u_ {n {\ mathbf {k}}} ({\ mathbf {x}} + {\ mathbf {a}}) = u_ {n {\ mathbf {k }}} ({\ mathbf {x}})}$,

o que un electrón en una red, que puede modelarse como una función de onda de una sola partícula , encuentra sus soluciones de estado estacionario en la forma de una onda plana multiplicada por una función periódica . El teorema surge como consecuencia directa del hecho mencionado anteriormente de que el operador de traducción de simetría de celosía conmuta con el hamiltoniano del sistema. ${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {x})}$${\ Displaystyle u (\ mathbf {x})}$

Uno de los aspectos notables del teorema de Bloch es que muestra directamente que las soluciones de estado estacionario pueden identificarse con un vector de onda , lo que significa que este número cuántico permanece como una constante de movimiento. El momento cristalino se define convencionalmente multiplicando este vector de onda por la constante de Planck: ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$

${\ Displaystyle {\ mathbf {p}} _ {\ text {crystal}} = \ hbar {\ mathbf {k}}.}$

Si bien esto es de hecho idéntico a la definición que se podría dar para el momento regular (por ejemplo, al tratar los efectos del operador de traducción por los efectos de una partícula en el espacio libre), existen importantes diferencias teóricas. Por ejemplo, mientras que el impulso regular se conserva por completo, el impulso del cristal solo se conserva dentro de un vector de red. Por ejemplo, un electrón puede describirse no solo por el vector de onda , sino también con cualquier otro vector de onda tal que ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$${\ Displaystyle \ mathbf {k '}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {k '} = \ mathbf {k} + \ mathbf {K},}$

donde es un vector reticular recíproco arbitrario . Esto es una consecuencia del hecho de que la simetría de celosía es discreta en oposición a continua y, por lo tanto, su ley de conservación asociada no se puede derivar utilizando el teorema de Noether . ${\ Displaystyle \ mathbf {K}}$

Importancia física

La modulación de fase del estado de Bloch es la misma que la de una partícula libre con momento , es decir, da la periodicidad del estado, que no es la misma que la de la red. Esta modulación contribuye a la energía cinética de la partícula (mientras que la modulación es totalmente responsable de la energía cinética de una partícula libre). ${\ Displaystyle \ psi _ {n} ({\ mathbf {x}}) = e ^ {i {\ mathbf {k} {\ mathbf {\ cdot x}}}} u_ {n {\ mathbf {k}} } ({\ mathbf {x}})}$${\ Displaystyle \ hbar k}$${\ Displaystyle k}$

En las regiones donde la banda es aproximadamente parabólica, el momento del cristal es igual al momento de una partícula libre con momento si le asignamos a la partícula una masa efectiva que está relacionada con la curvatura de la parábola. ${\ Displaystyle \ hbar k}$

Relación con la velocidad

Un paquete de ondas con dispersión , que hace que la velocidad del grupo y la velocidad de fase sean diferentes. Esta imagen es una onda real unidimensional , pero los paquetes de ondas de electrones son ondas complejas tridimensionales .

El momento cristalino corresponde al concepto físicamente medible de velocidad según

${\ Displaystyle {\ mathbf {v}} _ {n} ({\ mathbf {k}}) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ nabla _ {\ mathbf {k}} E_ {n} ( {\ mathbf {k}}).}$

Esta es la misma fórmula que la velocidad de grupo de una onda . Más específicamente, debido al principio de incertidumbre de Heisenberg , un electrón en un cristal no puede tener tanto una k exactamente definida como una posición exacta en el cristal. Sin embargo, puede formar un paquete de ondas centrado en el impulso k (con una ligera incertidumbre) y centrado en una determinada posición (con una ligera incertidumbre). La posición central de este paquete de ondas cambia a medida que la onda se propaga, moviéndose a través del cristal a la velocidad v dada por la fórmula anterior. En un cristal real, un electrón se mueve de esta manera, viajando en una dirección determinada a una velocidad determinada, durante un breve período de tiempo, antes de chocar con una imperfección en el cristal que hace que se mueva en una dirección diferente y aleatoria. Estas colisiones, llamadas dispersión de electrones , son causadas más comúnmente por defectos cristalográficos , la superficie del cristal y vibraciones térmicas aleatorias de los átomos en el cristal ( fonones ).

Respuesta a campos eléctricos y magnéticos.

El momento cristalino también juega un papel fundamental en el modelo semiclásico de la dinámica electrónica, donde obedece a las ecuaciones de movimiento (en unidades cgs):

${\ Displaystyle {\ mathbf {v}} _ {n} ({\ mathbf {k}}) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ nabla _ {\ mathbf {k}} E_ {n} ( {\ mathbf {k}}),}$

${\ Displaystyle {\ mathbf {\ dot {p}}} _ {\ text {crystal}} = - e \ left ({\ mathbf {E}} - {\ frac {1} {c}} {\ mathbf { v}} \ times {\ mathbf {H}} \ right)}$

Aquí quizás la analogía entre el momento cristalino y el momento real sea más poderosa, ya que estas son precisamente las ecuaciones a las que obedece un electrón del espacio libre en ausencia de cualquier estructura cristalina. El impulso del cristal también gana la oportunidad de brillar en este tipo de cálculos, ya que, para calcular la trayectoria de movimiento de un electrón usando las ecuaciones anteriores, solo es necesario considerar los campos externos, mientras se intenta el cálculo a partir de un conjunto de ecuaciones de movimiento basadas en El verdadero impulso requeriría tener en cuenta las fuerzas individuales de Coulomb y Lorentz de cada ión reticular además del campo externo.

Aplicaciones

Espectroscopia de fotoemisión resuelta en ángulo (ARPES)

En la espectroscopia de fotoemisión resuelta en ángulo (ARPES), irradiar luz en una muestra de cristal da como resultado la expulsión de un electrón del cristal. A lo largo del curso de la interacción, uno puede combinar los dos conceptos de cristal y el momento real y, por lo tanto, obtener un conocimiento directo de la estructura de la banda de un cristal. Es decir, el momento del cristal de un electrón dentro del cristal se convierte en su verdadero momento después de que se va, y el verdadero momento puede inferirse posteriormente de la ecuación

${\ Displaystyle {\ mathbf {p _ {\ paralelo}}} = {\ sqrt {2mE _ {\ text {kin}}}} \ sin \ theta}$

midiendo el ángulo y la energía cinética en los que el electrón sale del cristal, donde está la masa de un solo electrón. Debido a que la simetría del cristal en la dirección normal a la superficie del cristal se pierde en el límite del cristal, el impulso del cristal en esta dirección no se conserva. En consecuencia, las únicas direcciones en las que se pueden obtener datos útiles de ARPES son las direcciones paralelas a la superficie del cristal. ${\ Displaystyle m}$

Referencias