Identidad de Pokhozhaev - Pokhozhaev's identity

La identidad de Pokhozhaev es una relación integral satisfecha por soluciones localizadas estacionarias a una ecuación de Schrödinger no lineal o ecuación de Klein-Gordon no lineal . Fue obtenido por SI Pokhozhaev y es similar al teorema del virial . Esta relación también se conoce como teorema de DH Derrick . Se pueden derivar identidades similares para otras ecuaciones de física matemática.

La identidad de Pokhozhaev para la ecuación de Schrödinger no lineal estacionaria

Aquí hay una forma general debida a H. Berestycki y P.-L. Leones .

Sea continuo y de valor real, con . Denotar . Dejar ${\ Displaystyle g (s)}$${\ Displaystyle g (0) = 0}$${\ Displaystyle G (s) = \ int _ {0} ^ {s} g (t) \, dt}$

${\ Displaystyle u \ in L _ {\ mathrm {loc}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}), \ qquad \ nabla u \ in L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n}), \ qquad G (u) \ in L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}), \ qquad n \ in \ mathbb {N},}$

ser una solución a la ecuación

${\ Displaystyle - \ nabla ^ {2} u = g (u)}$,

en el sentido de distribuciones . Entonces satisface la relación ${\ Displaystyle u}$

${\ Displaystyle (n-2) \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | \ nabla u (x) | ^ {2} \, dx = n \ int _ {\ mathbb {R} ^ { n}} G (u (x)) \, dx.}$

La identidad de Pokhozhaev para la ecuación de Dirac no lineal estacionaria

Deje y dejar y ser el autoadjunta Dirac matrices de tamaño : ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}, \, N \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ alpha ^ {i}, \, 1 \ leq i \ leq n}$${\ Displaystyle \ beta}$ ${\ Displaystyle N \ times N}$

${\ Displaystyle \ alpha ^ {i} \ alpha ^ {j} + \ alpha ^ {j} \ alpha ^ {i} = 2 \ delta _ {ij} I_ {N}, \ quad \ beta ^ {2} = I_ {N}, \ quad \ alpha ^ {i} \ beta + \ beta \ alpha ^ {i} = 0, \ quad 1 \ leq i, j \ leq n.}$

Sea el operador de Dirac sin masa . Sea continuo y de valor real, con . Denotar . Dejado ser un spinor solución -valued que satisface la forma estacionaria de la ecuación de Dirac no lineal , ${\ Displaystyle D_ {0} = - \ mathrm {i} \ alpha \ cdot \ nabla = - \ mathrm {i} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha ^ {i} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {i}}}}$${\ Displaystyle g (s)}$${\ Displaystyle g (0) = 0}$${\ Displaystyle G (s) = \ int _ {0} ^ {s} g (t) \, dt}$${\ Displaystyle \ phi \ in L _ {\ mathrm {loc}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}, \ mathbb {C} ^ {N})}$

${\ Displaystyle \ omega \ phi = D_ {0} \ phi + g (\ phi ^ {\ ast} \ beta \ phi) \ beta \ phi,}$

en el sentido de distribuciones , con algunos . Asumir que ${\ Displaystyle \ omega \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ phi \ in H ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}, \ mathbb {C} ^ {N}), \ qquad G (\ phi ^ {\ ast} \ beta \ phi) \ en L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$

Entonces satisface la relación ${\ Displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle \ omega \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ phi (x) ^ {\ ast} \ phi (x) \, dx = {\ frac {n-1} {n}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ phi (x) ^ {\ ast} D_ {0} \ phi (x) \, dx + \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} G (\ phi (x) ^ {\ ast} \ beta \ phi (x)) \, dx.}$

Ver también

• Teorema virial
• Teorema de Derrick

Referencias