Ecuación de Schrödinger no lineal - Nonlinear Schrödinger equation

Valor absoluto de la envolvente compleja de soluciones analíticas exactas de respiradero de la ecuación no lineal de Schrödinger (NLS) en forma adimensional . (A) El respirador Akhmediev; (B) el respirador peregrino ; (C) el respirador Kuznetsov-Ma.

En física teórica , la ecuación de Schrödinger no lineal ( unidimensional ) ( NLSE ) es una variación no lineal de la ecuación de Schrödinger . Es una ecuación de campo clásica cuyas principales aplicaciones son la propagación de la luz en fibras ópticas no lineales y guías de ondas planas y condensados ​​de Bose-Einstein confinados a trampas en forma de cigarro altamente anisotrópicas, en el régimen de campo medio. Además, la ecuación aparece en los estudios de ondas de gravedad de pequeña amplitud en la superficie de aguas profundas no viscosas (viscosidad cero); las ondas Langmuir en plasmas calientes; la propagación de haces de ondas difractadas en el plano en las regiones de enfoque de la ionosfera; la propagación de los solitones de hélice alfa de Davydov , que son responsables del transporte de energía a lo largo de las cadenas moleculares; y muchos otros. De manera más general, la NLSE aparece como una de las ecuaciones universales que describen la evolución de paquetes de ondas cuasi monocromáticas que varían lentamente en medios débilmente no lineales que tienen dispersión . A diferencia de la ecuación lineal de Schrödinger , el NLSE nunca describe la evolución temporal de un estado cuántico. El 1D NLSE es un ejemplo de modelo integrable .

En mecánica cuántica , el 1D NLSE es un caso especial del campo clásico de Schrödinger no lineal , que a su vez es un límite clásico de un campo de Schrödinger cuántico. Por el contrario, cuando el campo clásico de Schrödinger se cuantifica canónicamente , se convierte en una teoría cuántica de campos (que es lineal, a pesar de que se llama ″ ecuación cuántica de Schrödinger no lineal ″) que describe partículas puntuales bosónicas con interacciones de función delta: las partículas o bien repeler o atraer cuando están en el mismo punto. De hecho, cuando el número de partículas es finito, esta teoría cuántica de campos equivale al modelo de Lieb-Liniger . Tanto la ecuación cuántica como la clásica 1D no lineal de Schrödinger son integrables. De especial interés es el límite de repulsión de fuerza infinita, en cuyo caso el modelo de Lieb-Liniger se convierte en el gas Tonks-Girardeau (también llamado gas Bose de núcleo duro o gas Bose impenetrable). En este límite, los bosones pueden, mediante un cambio de variables que es una generalización continua de la transformación de Jordan-Wigner , transformarse en un sistema de fermiones sin espinas unidimensionales que no interactúan.

La ecuación de Schrödinger no lineal es una forma simplificada 1 + 1-dimensional de la ecuación de Ginzburg-Landau introducida en 1950 en su trabajo sobre superconductividad, y fue escrita explícitamente por RY Chiao, E. Garmire y CH Townes ( 1964 , ecuación (5 )) en su estudio de haces ópticos.

La versión multidimensional reemplaza la segunda derivada espacial por la laplaciana. En más de una dimensión, la ecuación no es integrable, permite un colapso y turbulencia de olas.

Ecuación

La ecuación de Schrödinger no lineal es una ecuación diferencial parcial no lineal , aplicable a la mecánica clásica y cuántica .

Ecuación clásica

La ecuación de campo clásica (en forma adimensional ) es:

para el campo complejo ψ ( x , t ).

Esta ecuación surge del hamiltoniano

${\ Displaystyle H = \ int \ mathrm {d} x \ left [{1 \ over 2} | \ partial _ {x} \ psi | ^ {2} + {\ kappa \ over 2} | \ psi | ^ { 4} \ derecha]}$

con los soportes de Poisson

${\ Displaystyle \ {\ psi (x), \ psi (y) \} = \ {\ psi ^ {*} (x), \ psi ^ {*} (y) \} = 0 \,}$

${\ Displaystyle \ {\ psi ^ {*} (x), \ psi (y) \} = i \ delta (xy). \,}$

A diferencia de su contraparte lineal, nunca describe la evolución temporal de un estado cuántico.

El caso con κ negativo se llama enfoque y permite soluciones de solitón brillante (localizadas en el espacio y con atenuación espacial hacia el infinito), así como soluciones de respiración . Puede resolverse exactamente mediante el uso de la transformada de dispersión inversa , como lo muestran Zakharov y Shabat (1972) (ver más abajo ). El otro caso, con κ positivo, es el NLS de desenfoque que tiene soluciones de solitón oscuro (que tiene una amplitud constante en el infinito y una caída espacial local en la amplitud).

Mecánica cuántica

Para obtener la versión cuantificada , simplemente reemplace los soportes de Poisson por conmutadores

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {} [\ psi (x), \ psi (y)] & = [\ psi ^ {*} (x), \ psi ^ {*} (y)] = 0 \ \ {} [\ psi ^ {*} (x), \ psi (y)] & = - \ delta (xy) \ end {alineado}}}$

y orden normal el hamiltoniano

${\ Displaystyle H = \ int dx \ left [{1 \ over 2} \ partial _ {x} \ psi ^ {\ dagger} \ partial _ {x} \ psi + {\ kappa \ over 2} \ psi ^ { \ dagger} \ psi ^ {\ dagger} \ psi \ psi \ right].}$

La versión cuántica fue resuelta por Bethe ansatz por Lieb y Liniger . La termodinámica fue descrita por Chen-Ning Yang . Las funciones de correlación cuántica también fueron evaluadas por Korepin en 1993. El modelo tiene leyes de conservación más altas: Davies y Korepin en 1989 las expresaron en términos de campos locales.

Resolver la ecuación

La ecuación no lineal de Schrödinger es integrable en 1d: Zakharov y Shabat ( 1972 ) la resolvieron con la transformada de dispersión inversa . El sistema lineal de ecuaciones correspondiente se conoce como el sistema Zakharov-Shabat :

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ phi _ {x} & = J \ phi \ Lambda + U \ phi \\\ phi _ {t} & = 2J \ phi \ Lambda ^ {2} + 2U \ phi \ Lambda + \ left (JU ^ {2} -JU_ {x} \ right) \ phi, \ end {alineado}}}$

dónde

${\ Displaystyle \ Lambda = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1} & 0 \\ 0 & \ lambda _ {2} \ end {pmatrix}}, \ quad J = i \ sigma _ {z} = {\ begin {pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \ end {pmatrix}}, \ quad U = i {\ begin {pmatrix} 0 & q \\ r & 0 \ end {pmatrix}}.}$

La ecuación no lineal de Schrödinger surge como condición de compatibilidad del sistema Zakharov-Shabat:

${\ Displaystyle \ phi _ {xt} = \ phi _ {tx} \ quad \ Rightarrow \ quad U_ {t} = - JU_ {xx} + 2JU ^ {2} U \ quad \ Leftrightarrow \ quad {\ begin {cases } iq_ {t} = q_ {xx} + 2qrq \\ ir_ {t} = - r_ {xx} -2qrr. \ end {cases}}}$

Al establecer q = r * o q = - r * se obtiene la ecuación de Schrödinger no lineal con interacción atractiva o repulsiva.

Un enfoque alternativo utiliza el sistema Zakharov-Shabat directamente y emplea la siguiente transformación de Darboux :

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ phi \ to \ phi [1] & = \ phi \ Lambda - \ sigma \ phi \\ U \ to U [1] & = U + [J, \ sigma] \\\ sigma & = \ varphi \ Omega \ varphi ^ {- 1} \ end {alineado}}}$

que deja el sistema invariante.

Aquí, φ es otra solución de matriz invertible (diferente de ϕ ) del sistema Zakharov-Shabat con parámetro espectral Ω:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ varphi _ {x} & = J \ varphi \ Omega + U \ varphi \\\ varphi _ {t} & = 2J \ varphi \ Omega ^ {2} + 2U \ varphi \ Omega + \ left (JU ^ {2} -JU_ {x} \ right) \ varphi. \ End {alineado}}}$

Partiendo de la solución trivial U = 0 e iterando, se obtienen las soluciones con n solitones .

La ecuación NLS es una ecuación diferencial parcial como la ecuación de Gross-Pitaevskii . Por lo general, no tiene solución analítica y para su solución se utilizan los mismos métodos numéricos utilizados para resolver la ecuación de Gross-Pitaevskii, como los métodos espectrales de pasos divididos de Crank-Nicolson y Fourier . Existen diferentes programas Fortran y C para su solución .

Invariancia galileana

La ecuación de Schrödinger no lineal es invariante de Galileo en el siguiente sentido:

Dada una solución ψ ( x, t ), se puede obtener una nueva solución reemplazando x con x + vt en todas partes en ψ ( x, t ) y agregando un factor de fase de : ${\ Displaystyle e ^ {- iv (x + vt / 2)} \,}$

${\ Displaystyle \ psi (x, t) \ mapsto \ psi _ {[v]} (x, t) = \ psi (x + vt, t) \; e ^ {- iv (x + vt / 2)} .}$

La ecuación de Schrödinger no lineal en fibra óptica

En óptica , la ecuación no lineal de Schrödinger ocurre en el sistema Manakov , un modelo de propagación de ondas en fibra óptica. La función ψ representa una onda y la ecuación de Schrödinger no lineal describe la propagación de la onda a través de un medio no lineal. La derivada de segundo orden representa la dispersión, mientras que el término κ representa la no linealidad. La ecuación modela muchos efectos de no linealidad en una fibra, que incluyen, entre otros, modulación de fase propia , mezcla de cuatro ondas , generación de segundo armónico , dispersión Raman estimulada , solitones ópticos , pulsos ultracortos , etc.

La ecuación de Schrödinger no lineal en ondas de agua

Un solitón envolvente secante hiperbólico (sech) para ondas superficiales en aguas profundas.
Línea azul: ondas de agua.
Línea roja: solitón de envolvente.

Para las ondas de agua , la ecuación de Schrödinger no lineal describe la evolución de la envolvente de los grupos de ondas modulados . En un artículo de 1968, Vladimir E. Zakharov describe la estructura hamiltoniana de las ondas de agua. En el mismo artículo, Zakharov muestra que, para grupos de ondas modulados lentamente, la amplitud de onda satisface la ecuación de Schrödinger no lineal, aproximadamente. El valor del parámetro de no linealidad к depende de la profundidad relativa del agua. Para aguas profundas, con una profundidad de agua grande en comparación con la longitud de onda de las ondas de agua, к es negativo y pueden producirse solitones envolventes . Además, estos solitones envolventes pueden acelerarse bajo un flujo de agua externo dependiente del tiempo.

Para aguas poco profundas, con longitudes de onda superiores a 4,6 veces la profundidad del agua, el parámetro de no linealidad к es positivo y no existen grupos de ondas con solitones envolventes . En aguas poco profundas , existen solitones de elevación de la superficie u ondas de traslación , pero no se rigen por la ecuación no lineal de Schrödinger.

Se cree que la ecuación no lineal de Schrödinger es importante para explicar la formación de ondas rebeldes .

El campo complejo ψ , como aparece en la ecuación no lineal de Schrödinger, está relacionado con la amplitud y fase de las ondas de agua. Considere una onda portadora lentamente modulada con elevación de la superficie del agua η de la forma:

${\ Displaystyle \ eta = a (x_ {0}, t_ {0}) \; \ cos \ left [k_ {0} \, x_ {0} - \ omega _ {0} \, t_ {0} - \ theta (x_ {0}, t_ {0}) \ derecha],}$

donde a ( x ₀ , t ₀ ) y θ ( x ₀ , t ₀ ) son la amplitud y fase lentamente moduladas . Además, ω ₀ y k ₀ son la frecuencia angular (constante) y el número de onda de las ondas portadoras, que deben satisfacer la relación de dispersión ω ₀ = Ω ( k ₀ ). Luego

${\ Displaystyle \ psi = a \; \ exp \ left (i \ theta \ right).}$

Entonces su módulo | ψ | es la amplitud de onda a , y su argumento arg ( ψ ) es la fase θ .

La relación entre las coordenadas físicas ( x ₀ , t ₀ ) y las coordenadas ( x, t ), como se usa en la ecuación no lineal de Schrödinger dada anteriormente , viene dada por:

${\ Displaystyle x = k_ {0} \ left [x_ {0} - \ Omega '(k_ {0}) \; t_ {0} \ right], \ quad t = k_ {0} ^ {2} \ left [- \ Omega '' (k_ {0}) \ derecha] \; t_ {0}}$

Por lo tanto ( x, t ) es un sistema de coordenadas transformado que se mueve con la velocidad de grupo Ω '( k ₀ ) de las ondas portadoras. La curvatura de la relación de dispersión Ω "( k ₀ ), que representa la dispersión de la velocidad de grupo , es siempre negativa para las ondas de agua. bajo la acción de la gravedad, para cualquier profundidad de agua.

Para olas en la superficie del agua de aguas profundas, los coeficientes de importancia para la ecuación no lineal de Schrödinger son:

${\ Displaystyle \ kappa = -2k_ {0} ^ {2}, \ quad \ Omega (k_ {0}) = {\ sqrt {gk_ {0}}} = \ omega _ {0} \, \!}$   asi que   ${\ Displaystyle \ Omega '(k_ {0}) = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ omega _ {0}} {k_ {0}}}, \ quad \ Omega' '(k_ {0}) = - {\ frac {1} {4}} {\ frac {\ omega _ {0}} {k_ {0} ^ {2}}}, \, \!}$

donde g es la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra.

En las coordenadas originales ( x ₀ , t ₀ ), la ecuación no lineal de Schrödinger para ondas de agua dice:

${\ Displaystyle yo \, \ parcial _ {t_ {0}} A + yo \, \ Omega '(k_ {0}) \, \ parcial _ {x_ {0}} A + {\ tfrac {1} {2} } \ Omega '' (k_ {0}) \, \ parcial _ {x_ {0} x_ {0}} A- \ nu \, | A | ^ {2} \, A = 0,}$

con (es decir, el complejo conjugado de ) y So para ondas de aguas profundas. ${\ Displaystyle A = \ psi ^ {*}}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle \ nu = \ kappa \, k_ {0} ^ {2} \, \ Omega '' (k_ {0}).}$${\ Displaystyle \ nu = {\ tfrac {1} {2}} \ omega _ {0} k_ {0} ^ {2}}$

Contraparte equivalente de calibre

NLSE (1) es calibre equivalente a la siguiente ecuación isotrópica de Landau-Lifshitz (LLE) o ecuación de ferromagnet de Heisenberg

${\ Displaystyle {\ vec {S}} _ {t} = {\ vec {S}} \ wedge {\ vec {S}} _ {xx}. \ qquad}$

Tenga en cuenta que esta ecuación admite varias generalizaciones integrables y no integrables en 2 + 1 dimensiones como la ecuación de Ishimori y así sucesivamente.

Relación con los vórtices

Hasimoto (1972) mostró que el trabajo de da Rios  ( 1906 ) sobre filamentos de vórtice está estrechamente relacionado con la ecuación no lineal de Schrödinger. Posteriormente, Salman (2013) utilizó esta correspondencia para mostrar que también pueden surgir soluciones de respiradero para un filamento de vórtice.

Ver también

• Sistema AKNS
• Ecuación de Eckhaus
• Interacción cuartica para un modelo relacionado en la teoría cuántica de campos
• Soliton (óptica)
• Ecuación logarítmica de Schrödinger

Notas

Referencias

Notas

Otro

enlaces externos

• "Sistemas de Schrodinger no lineales" . Scholarpedia .
• Conferencia tutorial sobre la ecuación de Schrodinger no lineal (video) .
• Ecuación de Schrodinger no lineal con una no linealidad cúbica en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Schrodinger no lineal con no linealidad de ley de potencias en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Schrodinger no lineal de forma general en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Aspectos matemáticos de la ecuación de Schrödinger no lineal en Dispersive Wiki