Teorema virial - Virial theorem

En mecánica , el teorema del virial proporciona una ecuación general que relaciona el promedio a lo largo del tiempo de la energía cinética total de un sistema estable de partículas discretas, unidas por fuerzas potenciales, con el de la energía potencial total del sistema. Matemáticamente, el teorema establece

para la energía cinética total T de N partículas, donde F k representa la fuerza en la k -ésima partícula, que se encuentra en la posición r k , y soportes angulares representan el tiempo durante el medio de la cantidad cerrado. La palabra virial para el lado derecho de la ecuación deriva de vis , la palabra latina para "fuerza" o "energía", y Rudolf Clausius le dio su definición técnica en 1870.

El significado del teorema del virial es que permite calcular la energía cinética total promedio incluso para sistemas muy complicados que desafían una solución exacta, como los considerados en mecánica estadística ; esta energía cinética total promedio está relacionada con la temperatura del sistema por el teorema de equipartición . Sin embargo, el teorema del virial no depende de la noción de temperatura y es válido incluso para sistemas que no están en equilibrio térmico . El teorema del virial se ha generalizado de varias formas, sobre todo a una forma tensorial .

Si la fuerza entre dos partículas cualesquiera del sistema resulta de una energía potencial V ( r ) = αr n que es proporcional a alguna potencia n de la distancia entre partículas r , el teorema del virial toma la forma simple

Por lo tanto, el doble de la energía cinética total promedio T es igual a n veces la energía potencial total promedio V TOT . Mientras que V ( r ) representa la energía potencial entre dos partículas, V TOT representa la energía potencial total del sistema, es decir, la suma de la energía potencial V ( r ) sobre todos los pares de partículas del sistema. Un ejemplo común de tal sistema es una estrella que se mantiene unida por su propia gravedad, donde n es igual a -1.

Aunque el teorema del virial depende de promediar las energías cinética y potencial totales, la presentación aquí pospone la promediación al último paso.

Historia

En 1870, Rudolf Clausius pronunció la conferencia "Sobre un teorema mecánico aplicable al calor" a la Asociación de Ciencias Naturales y Médicas del Bajo Rin, después de un estudio de termodinámica de 20 años. La conferencia afirmó que la vis viva media del sistema es igual a su virial, o que la energía cinética media es igual a1/2la energía potencial media. El teorema virial puede obtenerse directamente de la identidad de Lagrange aplicada en la dinámica gravitacional clásica, cuya forma original se incluyó en el "Ensayo sobre el problema de los tres cuerpos" de Lagrange publicado en 1772. La generalización de Karl Jacobi de la identidad a N  cuerpos y a la forma actual de la identidad de Laplace se parece mucho al teorema virial clásico. Sin embargo, las interpretaciones que llevaron al desarrollo de las ecuaciones fueron muy diferentes, ya que en el momento del desarrollo, la dinámica estadística aún no había unificado los estudios separados de termodinámica y dinámica clásica. El teorema fue posteriormente utilizado, popularizado, generalizado y desarrollado por James Clerk Maxwell , Lord Rayleigh , Henri Poincaré , Subrahmanyan Chandrasekhar , Enrico Fermi , Paul Ledoux , Richard Bader y Eugene Parker . Fritz Zwicky fue el primero en utilizar el teorema virial para deducir la existencia de materia invisible, que ahora se llama materia oscura . Richard Bader mostró que la distribución de carga de un sistema total se puede dividir en sus energías cinética y potencial que obedecen al teorema del virial. Como otro ejemplo de sus muchas aplicaciones, el teorema virial se ha utilizado para derivar el límite de Chandrasekhar para la estabilidad de las estrellas enanas blancas .

Caso especial ilustrativo

Considere N = 2 partículas con igual masa m , sobre las que actúan fuerzas mutuamente atractivas. Suponga que las partículas están en puntos diametralmente opuestos de una órbita circular de radio r . Las velocidades son v 1 ( t ) y v 2 ( t ) = - v 1 ( t ) , que son normales a las fuerzas F 1 ( t ) y F 2 ( t ) = - F 1 ( t ) . Las respectivas magnitudes se fijan en v y F . La energía cinética promedio del sistema es

Tomando el centro de masa como origen, las partículas tienen posiciones r 1 ( t ) y r 2 ( t ) = - r 1 ( t ) con magnitud fija r . Las fuerzas de atracción actúan en direcciones opuestas como posiciones, por lo que F 1 ( t ) r 1 ( t ) = F 2 ( t ) r 2 ( t ) = - Fr . La aplicación de la fórmula de fuerza centrípeta F = mv 2 / r da como resultado:

según sea necesario. Nota: Si se desplaza el origen, obtendríamos el mismo resultado. Esto se debe a que el producto escalar del desplazamiento con fuerzas iguales y opuestas F 1 ( t ) , F 2 ( t ) da como resultado una cancelación neta.

Declaración y derivación

Para una colección de N partículas puntuales, el momento de inercia escalar I sobre el origen está definido por la ecuación

donde m k y r k representan la masa y la posición de la k- ésima partícula. r k = | r k | es la magnitud del vector de posición. El escalar G está definido por la ecuación

donde p k es el vector de momento de la k- ésima partícula. Suponiendo que las masas son constantes, G es la mitad de la derivada en el tiempo de este momento de inercia.

A su vez, la derivada temporal de G se puede escribir

donde m k es la masa de la k- ésima partícula, F k =d p k/dtes la fuerza neta sobre esa partícula, y T es la energía cinética total del sistema de acuerdo con v k =d r k/dt velocidad de cada partícula

Conexión con la energía potencial entre partículas.

La fuerza total F k sobre la partícula k es la suma de todas las fuerzas de las otras partículas j en el sistema

donde F jk es la fuerza aplicada por la partícula j sobre la partícula k . Por tanto, el virial puede escribirse

Dado que ninguna partícula actúa sobre sí misma (es decir, F jj = 0 para 1 ≤ jN ), dividimos la suma en términos por debajo y por encima de esta diagonal y los sumamos en pares:

donde hemos supuesto que se cumple la tercera ley del movimiento de Newton , es decir, F jk = - F kj (reacción igual y opuesta).

A menudo sucede que las fuerzas pueden derivarse de una energía potencial V jk que es función únicamente de la distancia r jk entre las partículas puntuales j y k . Dado que la fuerza es el gradiente negativo de la energía potencial, tenemos en este caso

que es igual y opuesta a F kj = −∇ r j V kj = −∇ r j V jk , la fuerza aplicada por la partícula k sobre la partícula j , como se puede confirmar mediante un cálculo explícito. Por eso,

Por lo tanto, tenemos

Caso especial de fuerzas de ley de potencia

En un caso especial común, la energía potencial V entre dos partículas es proporcional a una potencia n de su distancia r ij

donde el coeficiente α y el exponente n son constantes. En tales casos, el virial viene dado por la ecuación

donde V TOT es la energía potencial total del sistema

Por lo tanto, tenemos

Para sistemas gravitantes, el exponente n es igual a -1, lo que da la identidad de Lagrange

que fue derivado por Joseph-Louis Lagrange y ampliado por Carl Jacobi .

Promedio de tiempo

El promedio de esta derivada durante un tiempo, τ , se define como

de la cual obtenemos la ecuación exacta

El teorema del virial establece que si dG/dtTau = 0 , entonces

Hay muchas razones por las que el promedio de la derivada de tiempo podría desaparecer, dG/dtTau = 0 . Una razón que se cita a menudo se aplica a los sistemas vinculados de forma estable, es decir, a los sistemas que permanecen unidos para siempre y cuyos parámetros son finitos. En ese caso, las velocidades y coordenadas de las partículas del sistema tienen límites superior e inferior de modo que G límite , está limitado entre dos extremos, G min y G max , y el promedio llega a cero en el límite de tiempos muy largos τ :

Incluso si el promedio de la derivada en el tiempo de G es solo aproximadamente cero, el teorema del virial se mantiene en el mismo grado de aproximación.

Para fuerzas de ley de potencias con exponente n , la ecuación general se cumple:

Para la atracción gravitacional , n es igual a -1 y la energía cinética promedio es igual a la mitad de la energía potencial negativa promedio

Este resultado general es útil para sistemas gravitantes complejos como los sistemas solares o las galaxias .

Una simple aplicación del teorema del virial se refiere a los cúmulos de galaxias . Si una región del espacio está inusualmente llena de galaxias, es seguro asumir que han estado juntas durante mucho tiempo y se puede aplicar el teorema del virial. Las mediciones del efecto Doppler dan límites inferiores para sus velocidades relativas, y el teorema del virial da un límite inferior para la masa total del cúmulo, incluida cualquier materia oscura.

Si la hipótesis ergódica es válida para el sistema en consideración, no es necesario tomar el promedio a lo largo del tiempo; también se puede tomar un promedio de conjunto , con resultados equivalentes.

En mecánica cuántica

Aunque originalmente derivado de la mecánica clásica, el teorema del virial también es válido para la mecánica cuántica, como lo demostró por primera vez Fock utilizando el teorema de Ehrenfest .

Evaluar el conmutador del hamiltoniano

con el operador de posición X n y el operador de momento

de partícula n ,

Sumando todas las partículas, uno encuentra para

el conmutador asciende a

donde está la energía cinética. El lado izquierdo de esta ecuación es solodQ/dt, de acuerdo con la ecuación de movimiento de Heisenberg . El valor esperado dQ/dt⟩ De esta derivada del tiempo se desvanece en un estado estacionario, lo que lleva al teorema del virial cuántico ,

Identidad de Pokhozhaev

En el campo de la mecánica cuántica, existe otra forma del teorema virial, aplicable a soluciones localizadas a la ecuación estacionaria no lineal de Schrödinger o ecuación de Klein-Gordon , es la identidad de Pokhozhaev , también conocida como teorema de Derrick .

Sea continuo y de valor real, con .

Denotar . Dejar

ser una solución a la ecuación

en el sentido de distribuciones .

Entonces satisface la relación

En relatividad especial

Para una sola partícula en relatividad especial, no es el caso que T =1/2p · v . En cambio, es cierto que T = ( γ - 1) mc 2 , donde γ es el factor de Lorentz

y β =v/C. Tenemos,

La última expresión se puede simplificar a

.

Por lo tanto, en las condiciones descritas en secciones anteriores (incluida la tercera ley del movimiento de Newton , F jk = - F kj , a pesar de la relatividad), el promedio de tiempo para N partículas con un potencial de ley de potencia es

En particular, la relación entre la energía cinética y la energía potencial ya no es fija, sino que necesariamente cae en un intervalo:

donde los sistemas más relativistas exhiben las proporciones más grandes.

Generalizaciones

Lord Rayleigh publicó una generalización del teorema virial en 1903. Henri Poincaré probó y aplicó una forma del teorema virial en 1911 al problema de la formación del sistema solar a partir de una nube proto-estelar (entonces conocida como cosmogonía). Ledoux desarrolló una forma variacional del teorema del virial en 1945. Parker, Chandrasekhar y Fermi desarrollaron una forma tensorial del teorema virial. Pollard estableció la siguiente generalización del teorema del virial en 1964 para el caso de la ley del cuadrado inverso:

De lo contrario, se debe agregar un término límite .

Inclusión de campos electromagnéticos

El teorema del virial se puede ampliar para incluir campos eléctricos y magnéticos. El resultado es

donde I es el momento de inercia , G es la densidad de momento del campo electromagnético , T es la energía cinética del "fluido", U es la energía "térmica" aleatoria de las partículas, W E y W M son la energía eléctrica y contenido de energía magnética del volumen considerado. Finalmente, p ik es el tensor de presión de fluido expresado en el sistema de coordenadas móviles local

y T ik es el tensor de tensión electromagnética ,

Un plasmoide es una configuración finita de campos magnéticos y plasma. Con el teorema del virial es fácil ver que cualquier configuración de este tipo se expandirá si no está contenida por fuerzas externas. En una configuración finita sin paredes que soporten presión o bobinas magnéticas, la integral de la superficie desaparecerá. Dado que todos los demás términos del lado derecho son positivos, la aceleración del momento de inercia también será positiva. También es fácil estimar el tiempo de expansión τ . Si una masa total M está confinada dentro de un radio R , entonces el momento de inercia es aproximadamente MR 2 , y el lado izquierdo del teorema del virial esMR 2/τ 2. Los términos del lado derecho suman aproximadamente pR 3 , donde p es el mayor de la presión de plasma o la presión magnética. Igualando estos dos términos y despejando τ , encontramos

donde c s es la velocidad de la onda acústica de iones (o la onda de Alfvén , si la presión magnética es mayor que la presión del plasma). Por lo tanto, se espera que la vida útil de un plasmoide sea del orden del tiempo de tránsito acústico (o Alfvén).

Sistema uniforme relativista

En caso de que en el sistema físico se tengan en cuenta el campo de presión, los campos electromagnético y gravitacional, así como el campo de aceleración de partículas, el teorema virial se escribe en forma relativista de la siguiente manera:

donde el valor W kγ c T excede la energía cinética de las partículas T por un factor igual al factor de Lorentz γ c de las partículas en el centro del sistema. En condiciones normales podemos asumir que γ c ≈ 1 , entonces podemos ver que en el teorema del virial la energía cinética está relacionada con la energía potencial no por el coeficiente1/2, sino por el coeficiente cercano a 0,6. La diferencia con el caso clásico surge por considerar el campo de presión y el campo de aceleración de las partículas dentro del sistema, mientras que la derivada del escalar G no es igual a cero y debe considerarse como la derivada del material .

Un análisis del teorema de la integral del virial generalizado permite encontrar, sobre la base de la teoría de campo, una fórmula para la velocidad cuadrática media de las partículas típicas de un sistema sin utilizar la noción de temperatura:

donde es la velocidad de la luz, es la constante del campo de aceleración, es la densidad de masa de las partículas, es el radio actual.

A diferencia del teorema virial para partículas, para el campo electromagnético, el teorema virial se escribe de la siguiente manera:

donde la energía considerada como la energía del campo cinético asociada con cuatro corrientes , y

establece la energía de campo potencial que se encuentra a través de los componentes del tensor electromagnético.

En astrofísica

El teorema virial se aplica con frecuencia en astrofísica, especialmente relacionando la energía potencial gravitacional de un sistema con su energía cinética o térmica . Algunas relaciones viriales comunes son

para una masa M , el radio R , la velocidad v , y la temperatura T . Las constantes son la constante G de Newton , la constante de Boltzmann k B y la masa del protón m p . Tenga en cuenta que estas relaciones son solo aproximadas y, a menudo, los factores numéricos principales (p. Ej.3/5 o 1/2) se descuidan por completo.

Galaxias y cosmología (masa y radio virial)

En astronomía , la masa y el tamaño de una galaxia (o sobredensidad general) a menudo se define en términos de " masa virial " y " radio virial ", respectivamente. Debido a que las galaxias y las sobredensidades en fluidos continuos pueden extenderse mucho (incluso hasta el infinito en algunos modelos, como una esfera isotérmica ), puede ser difícil definir medidas finitas específicas de su masa y tamaño. El teorema del virial y los conceptos relacionados proporcionan un medio a menudo conveniente para cuantificar estas propiedades.

En dinámica de galaxias, la masa de una galaxia a menudo se infiere midiendo la velocidad de rotación de su gas y estrellas, asumiendo órbitas circulares de Kepler . Usando el teorema del virial, la velocidad de dispersión σ se puede usar de manera similar. Tomando la energía cinética (por partícula) del sistema como T =1/2v 2 ~3/2σ 2 , y la energía potencial (por partícula) como U ~3/5 GM/R podemos escribir

Aquí está el radio en el que se mide la dispersión de velocidad, y M es la masa dentro de ese radio. La masa y el radio del virial se definen generalmente para el radio en el que la dispersión de la velocidad es un máximo, es decir

Como se han hecho numerosas aproximaciones, además de la naturaleza aproximada de estas definiciones, las constantes de proporcionalidad de orden-unidad a menudo se omiten (como en las ecuaciones anteriores). Por lo tanto, estas relaciones solo son precisas en un sentido de orden de magnitud , o cuando se usan de manera autoconsistente.

Una definición alternativa de la masa virial y el radio se usa a menudo en cosmología donde se usa para referirse al radio de una esfera, centrada en una galaxia o un cúmulo de galaxias , dentro del cual se mantiene el equilibrio virial. Dado que este radio es difícil de determinar mediante la observación, a menudo se aproxima como el radio dentro del cual la densidad promedio es mayor, por un factor específico, que la densidad crítica.

donde H es el parámetro de Hubble y G es la constante gravitacional . Una elección común para el factor es 200, que corresponde aproximadamente a la sobredensidad típica en el colapso de sombrero de copa esférico (ver Masa virial ), en cuyo caso el radio virial se aproxima como

La masa virial se define entonces en relación con este radio como

En estrellas

El teorema del virial es aplicable a los núcleos de las estrellas, estableciendo una relación entre la energía potencial gravitacional y la energía cinética térmica (es decir, la temperatura). A medida que las estrellas de la secuencia principal convierten el hidrógeno en helio en sus núcleos, el peso molecular medio del núcleo aumenta y debe contraerse para mantener la presión suficiente para soportar su propio peso. Esta contracción disminuye su energía potencial y, según el teorema del virial, aumenta su energía térmica. La temperatura central aumenta incluso a medida que se pierde energía, efectivamente un calor específico negativo . Esto continúa más allá de la secuencia principal, a menos que el núcleo se degenere, ya que eso hace que la presión se vuelva independiente de la temperatura y la relación virial con n igual a -1 ya no se mantenga.

Ver también

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos