Teorema de Derrick - Derrick's theorem

El teorema de Derrick es un argumento del físico GH Derrick que muestra que las soluciones localizadas estacionarias a una ecuación de onda no lineal o ecuación de Klein-Gordon no lineal en dimensiones espaciales tres y superiores son inestables .

Argumento original

El artículo de Derrick, que se consideró un obstáculo para interpretar las soluciones de tipo solitón como partículas, contenía el siguiente argumento físico sobre la no existencia de soluciones estacionarias localizadas estables para la ecuación de onda no lineal.

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ theta - {\ frac {\ parcial ^ {2} \ theta} {\ parcial t ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}} f '(\ theta), \ qquad \ theta (x, t) \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ in \ mathbb {R} ^ {3},}

ahora conocido con el nombre de Teorema de Derrick. (Arriba, es una función diferenciable con .) ${\ Displaystyle f (s)}$ ${\ Displaystyle f '(0) = 0}$

La energía de la solución independiente del tiempo viene dada por ${\ Displaystyle \ theta (x) \,}$

{\ Displaystyle E = \ int \ left [(\ nabla \ theta) ^ {2} + f (\ theta) \ right] \, d ^ {3} x.}

Una condición necesaria para que la solución sea estable es . Supongamos que es una solución localizada de . Definir donde es una constante arbitraria, y la escritura , . Luego ${\ Displaystyle \ delta ^ {2} E \ geq 0 \,}$ ${\ Displaystyle \ theta (x) \,}$ ${\ Displaystyle \ delta E = 0 \,}$ ${\ Displaystyle \ theta _ {\ lambda} (x) = \ theta (\ lambda x) \,}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle I_ {1} = \ int (\ nabla \ theta) ^ {2} d ^ {3} x}$ ${\ Displaystyle I_ {2} = \ int f (\ theta) d ^ {3} x}$

{\ Displaystyle E _ {\ lambda} = \ int \ left [(\ nabla \ theta _ {\ lambda}) ^ {2} + f (\ theta _ {\ lambda}) \ right] \, d ^ {3} x = I_ {1} / \ lambda + I_ {2} / \ lambda ^ {3}.}

De donde y desde , ${\ Displaystyle dE _ {\ lambda} / d \ lambda \ vert _ {\ lambda = 1} = - I_ {1} -3I_ {2} = 0. \,}$ ${\ Displaystyle I_ {1}> 0 \,}$

{\ Displaystyle \ left. {\ frac {d ^ {2} E _ {\ lambda}} {d \ lambda ^ {2}}} \ right | _ {\ lambda = 1} = 2I_ {1} + 12I_ {2 } = - 2I_ {1} \, <0.}

Es decir, para una variación correspondiente a un estiramiento uniforme de la partícula . Por tanto, la solución es inestable. ${\ Displaystyle \ delta ^ {2} E <0 \,}$ ${\ Displaystyle \ theta (x) \,}$

El argumento de la torre de perforación trabaja para , . ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle n \ geq 3 \,}$

Identidad de Pokhozhaev

Más generalmente, sea continuo, con . Denotar . Dejar ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle g (0) = 0}$ ${\ Displaystyle G (s) = \ int _ {0} ^ {s} g (t) \, dt}$

{\ Displaystyle u \ in L _ {\ mathrm {loc}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}), \ qquad \ nabla u \ in L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n}), \ qquad G (u (\ cdot)) \ in L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}), \ qquad n \ in \ mathbb {N},}

ser una solución a la ecuación

{\ Displaystyle - \ nabla ^ {2} u = g (u)}

,

en el sentido de distribuciones . Entonces satisface la relación ${\ Displaystyle u}$

{\ Displaystyle (n-2) \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | \ nabla u (x) | ^ {2} \, dx = n \ int _ {\ mathbb {R} ^ { n}} G (u (x)) \, dx,}

conocido como la identidad de Pokhozhaev (a veces escrito como la identidad de Pohozaev ). Este resultado es similar al teorema de Virial .

Interpretación en la forma hamiltoniana

Podemos escribir la ecuación en la forma de Hamilton , donde son funciones de la función de Hamilton está dada por ${\ Displaystyle \ parcial _ {t} ^ {2} u = \ nabla ^ {2} u - {\ frac {1} {2}} f '(u)}$ ${\ estilo de visualización \ parcial _ {t} u = \ delta _ {v} H (u, v)}$ ${\ estilo de visualización \ parcial _ {t} v = - \ delta _ {u} H (u, v)}$ ${\ Displaystyle u, \, v}$ ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \, t \ in \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle H (u, v) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ left ({\ frac {1} {2}} | v | ^ {2} + {\ frac {1 } {2}} | \ nabla u | ^ {2} + {\ frac {1} {2}} f (u) \ right) \, dx,}

y , son los derivados de variacionales de . ${\ Displaystyle \ delta _ {u} H \,}$ ${\ Displaystyle \ delta _ {v} H \,}$ ${\ Displaystyle H (u, v) \,}$

Entonces la solución estacionaria tiene la energía y satisface la ecuación ${\ Displaystyle u (x, t) = \ theta (x) \,}$ ${\ Displaystyle H (\ theta, 0) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ left ({\ frac {1} {2}} | \ nabla \ theta | ^ {2} + { \ frac {1} {2}} f (\ theta) \ right) \, d ^ {n} x}$

{\ Displaystyle 0 = \ partial _ {t} \ theta (x) = - \ partial _ {u} H (\ theta, 0) = {\ frac {1} {2}} E '(\ theta),}

con denotar una derivada variacional del funcional . Aunque la solución es un punto crítico de (desde ), el argumento de Derrick muestra que en , por lo tanto, no es un punto del mínimo local de la energía funcional . Por lo tanto, físicamente, se espera que la solución sea inestable. Un resultado relacionado, que muestra la no minimización de la energía de los estados estacionarios localizados (con el argumento también escrito , aunque la derivación es válida en dimensiones ) fue obtenido por RH Hobart en 1963. ${\ Displaystyle E '\,}$ ${\ Displaystyle E = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} [\ vert \ nabla \ theta \ vert ^ {2} + f (\ theta)] \, d ^ {n} x}$ ${\ Displaystyle \ theta (x) \,}$ ${\ Displaystyle E \,}$ ${\ Displaystyle E '(\ theta) = 0 \,}$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {d \ lambda \, ^ {2}}} E (\ theta (\ lambda x)) <0}$ ${\ Displaystyle \ lambda = 1 \,}$ ${\ Displaystyle u (x, t) = \ theta (x) \,}$ ${\ Displaystyle H \,}$ ${\ Displaystyle \ theta (x) \,}$ ${\ Displaystyle n = 3}$ ${\ Displaystyle n \ geq 2}$

Relación con la inestabilidad lineal

P. Karageorgis y WA Strauss en 2007 demostraron una afirmación más fuerte, la inestabilidad lineal (o exponencial) de las soluciones estacionarias localizadas a la ecuación de onda no lineal (en cualquier dimensión espacial).

Estabilidad de soluciones periódicas localizadas

Derrick describe algunas formas posibles de salir de esta dificultad, incluida la conjetura de que las partículas elementales podrían corresponder a soluciones localizadas estables que son periódicas en el tiempo, en lugar de independientes del tiempo. De hecho, más tarde se demostró que una onda solitaria periódica en el tiempo con frecuencia puede ser orbitalmente estable si se satisface el criterio de estabilidad de Vakhitov-Kolokolov . ${\ Displaystyle u (x, t) = \ phi _ {\ omega} (x) e ^ {- i \ omega t} \,}$ ${\ Displaystyle \ omega \,}$

Ver también

Referencias

^ GH Derrick (1964). "Comentarios sobre ecuaciones de ondas no lineales como modelos para partículas elementales" . J. Math. Phys . 5 (9): 1252-1254. Código Bibliográfico : 1964JMP ..... 5.1252D . doi : 10.1063 / 1.1704233 .
^ Berestycki, H. y Leones, P.-L. (1983). "Ecuaciones de campo escalares no lineales, I. Existencia de un estado fundamental". Arco. Mech racional. Anal . 82 (4): 313–345. Código Bibliográfico : 1983ArRMA..82..313B . doi : 10.1007 / BF00250555 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
↑ Pokhozhaev, SI (1965). "Sobre las funciones propias de la ecuación " ${\ Displaystyle \ Delta u + \ lambda f (u) = 0}$ . Dokl. Akad. Nauk SSSR . 165 : 36–39.
^ RH Hobart (1963). "Sobre la inestabilidad de una clase de modelos de campo unitario". Proc. Phys. Soc . 82 (2): 201–203. doi : 10.1088 / 0370-1328 / 82/2/306 .
^ P. Karageorgis y WA Strauss (2007). "Inestabilidad de estados estacionarios para ecuaciones de calor y ondas no lineales". J. Ecuaciones diferenciales . 241 : 184-205. arXiv : matemáticas / 0611559 . doi : 10.1016 / j.jde.2007.06.006 .
^ Вахитов, Н. Г. y Колоколов, А. А. (1973). "Стационарные решения волнового уравнения в среде с насыщением нелинейности". Известия высших учебных заведений. Радиофизика . 16 : 1020–1028.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ) NG Vakhitov y AA Kolokolov (1973). "Soluciones estacionarias de la ecuación de onda en el medio con saturación de no linealidad". Radiophys. Electrón cuántico . 16 (7): 783–789. Bibcode : 1973R y QE ... 16..783V . doi : 10.1007 / BF01031343 .

[1] GH Derrick (1964). "Comentarios sobre ecuaciones de ondas no lineales como modelos para partículas elementales" . J. Math. Phys . 5 (9): 1252-1254. Código Bibliográfico : 1964JMP ..... 5.1252D . doi : 10.1063 / 1.1704233 .

[2] Berestycki, H. y Leones, P.-L. (1983). "Ecuaciones de campo escalares no lineales, I. Existencia de un estado fundamental". Arco. Mech racional. Anal . 82 (4): 313–345. Código Bibliográfico : 1983ArRMA..82..313B . doi : 10.1007 / BF00250555 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

[3] Pokhozhaev, SI (1965). "Sobre las funciones propias de la ecuación " ${\ Displaystyle \ Delta u + \ lambda f (u) = 0}$ . Dokl. Akad. Nauk SSSR . 165 : 36–39.

[4] RH Hobart (1963). "Sobre la inestabilidad de una clase de modelos de campo unitario". Proc. Phys. Soc . 82 (2): 201–203. doi : 10.1088 / 0370-1328 / 82/2/306 .

[5] P. Karageorgis y WA Strauss (2007). "Inestabilidad de estados estacionarios para ecuaciones de calor y ondas no lineales". J. Ecuaciones diferenciales . 241 : 184-205. arXiv : matemáticas / 0611559 . doi : 10.1016 / j.jde.2007.06.006 .

[6] Вахитов, Н. Г. y Колоколов, А. А. (1973). "Стационарные решения волнового уравнения в среде с насыщением нелинейности". Известия высших учебных заведений. Радиофизика . 16 : 1020–1028.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ) NG Vakhitov y AA Kolokolov (1973). "Soluciones estacionarias de la ecuación de onda en el medio con saturación de no linealidad". Radiophys. Electrón cuántico . 16 (7): 783–789. Bibcode : 1973R y QE ... 16..783V . doi : 10.1007 / BF01031343 .

Languages

In other projects