Historia de la teoría cuántica de campos - History of quantum field theory

En física de partículas , la historia de la teoría cuántica de campos comienza con su creación por Paul Dirac , cuando intentó cuantificar el campo electromagnético a finales de la década de 1920. Los principales avances en la teoría se realizaron en las décadas de 1940 y 1950, y llevaron a la introducción de la electrodinámica cuántica renormalizada (QED). La QED fue tan exitosa y predictiva con tanta precisión que se hicieron esfuerzos para aplicar los mismos conceptos básicos a las otras fuerzas de la naturaleza. A fines de la década de 1970, estos esfuerzos utilizaron con éxito la teoría de gauge en la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear débil , produciendo el modelo estándar moderno de física de partículas .

Los esfuerzos para describir la gravedad utilizando las mismas técnicas han fracasado hasta la fecha. El estudio de la teoría cuántica de campos todavía está floreciendo, al igual que las aplicaciones de sus métodos a muchos problemas físicos. Sigue siendo una de las áreas más vitales de la física teórica actual, proporcionando un lenguaje común a varias ramas diferentes de la física .

Desarrollos tempranos

La teoría cuántica del campo se originó en la década de 1920 a partir del problema de crear una teoría mecánica cuántica del campo electromagnético . En particular, de Broglie en 1924 introdujo la idea de una descripción ondulatoria de los sistemas elementales de la siguiente manera: "partimos en este trabajo del supuesto de la existencia de un determinado fenómeno periódico de carácter aún por determinar, que es atribuirse a todas y cada una de las parcelas energéticas aisladas ".

En 1925, Werner Heisenberg , Max Born y Pascual Jordan construyeron tal teoría expresando los grados internos de libertad del campo como un conjunto infinito de osciladores armónicos , y luego utilizando el procedimiento de cuantificación canónica para estos osciladores; su artículo fue publicado en 1926. Esta teoría asumió que no había cargas eléctricas o corrientes presentes y hoy se llamaría teoría de campo libre .

La primera teoría razonablemente completa de la electrodinámica cuántica , que incluía tanto el campo electromagnético como la materia cargada eléctricamente como objetos de la mecánica cuántica, fue creada por Paul Dirac en 1927. Esta teoría del campo cuántico podría utilizarse para modelar procesos importantes como la emisión de un fotón. por un electrón que cae a un estado cuántico de menor energía, un proceso en el que cambia el número de partículas: un átomo en el estado inicial se convierte en un átomo más un fotón en el estado final. Ahora se entiende que la capacidad de describir tales procesos es una de las características más importantes de la teoría cuántica de campos.

El último paso crucial fue la teoría de la desintegración β de Enrico Fermi (1934). En él, se demostró que la no conservación de las especies de fermiones se deriva de la segunda cuantificación: la creación y aniquilación de fermiones pasó a primer plano y se observó que la teoría cuántica de campos describía las desintegraciones de partículas. (El avance de Fermi fue algo prefigurado en los estudios abstractos de los físicos soviéticos, Viktor Ambartsumian y Dmitri Ivanenko , en particular la hipótesis Ambarzumian-Ivanenko de la creación de partículas masivas (1930). La idea era que no solo los cuantos del campo electromagnético, los fotones , pero también otras partículas pueden emerger y desaparecer como resultado de su interacción con otras partículas).

Incorporando la relatividad especial

Fue evidente desde el principio que un tratamiento cuántico adecuado del campo electromagnético tenía que incorporar de alguna manera la teoría de la relatividad de Einstein , que había surgido del estudio del electromagnetismo clásico . Esta necesidad de unir la relatividad y la mecánica cuántica fue la segunda motivación principal en el desarrollo de la teoría cuántica de campos. Pascual Jordan y Wolfgang Pauli demostraron en 1928 que se podía hacer que los campos cuánticos se comportaran de la manera predicha por la relatividad especial durante las transformaciones de coordenadas (específicamente, demostraron que los conmutadores de campo eran invariantes de Lorentz ). Un impulso adicional para la teoría cuántica de campos vino con el descubrimiento de la ecuación de Dirac , que originalmente se formuló e interpretó como una ecuación de una sola partícula análoga a la ecuación de Schrödinger , pero a diferencia de la ecuación de Schrödinger, la ecuación de Dirac satisface tanto la invariancia de Lorentz, que es decir, los requisitos de la relatividad especial y las reglas de la mecánica cuántica. La ecuación de Dirac acomodó el valor de espín-1/2 del electrón y tuvo en cuenta su momento magnético, además de proporcionar predicciones precisas para los espectros del hidrógeno.

Sin embargo, el intento de interpretación de la ecuación de Dirac como una ecuación de una sola partícula no pudo mantenerse por mucho tiempo, y finalmente se demostró que varias de sus propiedades indeseables (como los estados de energía negativa) podrían tener sentido reformulando y reinterpretando la ecuación. La ecuación de Dirac como una verdadera ecuación de campo, en este caso para el "campo de Dirac" cuantificado o el "campo de electrones", con las "soluciones de energía negativa" apuntando a la existencia de anti-partículas . Este trabajo fue realizado primero por el propio Dirac con la invención de la teoría de agujeros en 1930 y por Wendell Furry , Robert Oppenheimer , Vladimir Fock y otros. Erwin Schrödinger , durante el mismo período en que descubrió su famosa ecuación en 1926, también encontró de forma independiente la generalización relativista de la misma conocida como la ecuación de Klein-Gordon, pero la descartó ya que, sin espín , predijo propiedades imposibles para el espectro del hidrógeno. (Véase Oskar Klein y Walter Gordon .) Se dice que todas las ecuaciones de onda relativistas que describen partículas de espín cero son del tipo Klein-Gordon.

Incertidumbre, de nuevo

Un análisis sutil y cuidadoso realizado en 1933 por Niels Bohr y Léon Rosenfeld mostró que existe una limitación fundamental en la capacidad de medir simultáneamente las intensidades de los campos eléctrico y magnético que entran en la descripción de las cargas en interacción con la radiación, impuesta por el principio de incertidumbre , que debe aplicarse a todas las cantidades conjugadas canónicamente. Esta limitación es crucial para la formulación e interpretación exitosa de una teoría cuántica de campos de fotones y electrones (electrodinámica cuántica) y, de hecho, cualquier teoría de campos cuánticos perturbativos . El análisis de Bohr y Rosenfeld explica las fluctuaciones en los valores del campo electromagnético que difieren de los valores clásicamente "permitidos" distantes de las fuentes del campo.

Su análisis fue crucial para mostrar que las limitaciones e implicaciones físicas del principio de incertidumbre se aplican a todos los sistemas dinámicos, ya sean campos o partículas materiales. Su análisis también convenció a la mayoría de los físicos de que cualquier noción de volver a una descripción fundamental de la naturaleza basada en la teoría de campo clásica, como la que pretendía Einstein con sus numerosos y fallidos intentos de una teoría de campo unificada clásica , estaba simplemente fuera de discusión. Los campos debían cuantificarse .

Segunda cuantificación

El tercer hilo en el desarrollo de la teoría cuántica de campos fue la necesidad de manejar las estadísticas de los sistemas de muchas partículas de manera consistente y sencilla. En 1927, Pascual Jordan intentó extender la cuantificación canónica de campos a las funciones de onda de muchos cuerpos de partículas idénticas utilizando un formalismo que se conoce como teoría de la transformación estadística; este procedimiento se denomina ahora a veces segunda cuantificación . En 1928, Jordan y Eugene Wigner descubrieron que el campo cuántico que describe electrones u otros fermiones tenía que expandirse utilizando operadores de creación y aniquilación anti-conmutación debido al principio de exclusión de Pauli (ver transformación de Jordan-Wigner ). Este hilo de desarrollo se incorporó a la teoría de muchos cuerpos e influyó fuertemente en la física de la materia condensada y la física nuclear .

El problema de los infinitos

A pesar de sus primeros éxitos, la teoría cuántica de campos estuvo plagada de varias dificultades teóricas graves. Las cantidades físicas básicas, como la energía propia del electrón, el cambio de energía de los estados de los electrones debido a la presencia del campo electromagnético, dieron contribuciones infinitas y divergentes (un resultado sin sentido) cuando se calcularon utilizando las técnicas perturbativas disponibles en la década de 1930 y la mayor parte de la década de 1940. El problema de la autoenergía del electrón ya era un problema serio en la teoría clásica del campo electromagnético, donde el intento de atribuir al electrón un tamaño o extensión finito (el radio clásico del electrón) llevó inmediatamente a la pregunta de qué tensiones no electromagnéticas necesitan ser invocados, lo que presumiblemente mantendría el electrón unido contra la repulsión de Coulomb de sus "partes" de tamaño finito. La situación era terrible y tenía ciertas características que recordaban a muchos la " catástrofe de Rayleigh-Jeans ". Sin embargo, lo que hizo que la situación en la década de 1940 fuera tan desesperada y sombría fue el hecho de que los ingredientes correctos (las ecuaciones de campo de Maxwell-Dirac cuantificadas en segundo lugar) para la descripción teórica de los fotones y electrones en interacción estaban bien establecidos, y no existían conceptos conceptuales importantes. Se necesitaba un cambio análogo al que requería una explicación finita y físicamente sensible del comportamiento radiativo de los objetos calientes, según lo dispuesto por la ley de radiación de Planck.

Procedimientos de renormalización

Este "problema de divergencia" se resolvió en el caso de la electrodinámica cuántica mediante el procedimiento conocido como renormalización en 1947-1949 por Hans Kramers , Hans Bethe , Julian Schwinger , Richard Feynman y Shin'ichiro Tomonaga ; el procedimiento fue sistematizado por Freeman Dyson en 1949. Se logró un gran progreso después de darse cuenta de que todos los infinitos en la electrodinámica cuántica están relacionados con dos efectos: la energía propia del electrón / positrón y la polarización del vacío.

La renormalización requiere prestar mucha atención a lo que se entiende por, por ejemplo, los conceptos mismos "carga" y "masa" tal como aparecen en las ecuaciones de campo puras que no interactúan. El "vacío" es en sí mismo polarizable y, por lo tanto, poblado por pares de partículas virtuales ( dentro y fuera de la cáscara ) y, por lo tanto, es un sistema dinámico hirviente y ajetreado por derecho propio. Este fue un paso crítico en la identificación de la fuente de "infinitos" y "divergencias". La "masa desnuda" y la "carga desnuda" de una partícula, los valores que aparecen en las ecuaciones de campo libre (caso sin interacción), son abstracciones que simplemente no se realizan en el experimento (en interacción). Lo que medimos, y por lo tanto, lo que debemos tener en cuenta con nuestras ecuaciones, y lo que deben tener en cuenta las soluciones, son la "masa renormalizada" y la "carga renormalizada" de una partícula. Es decir, los valores "desplazados" o "vestidos" que deben tener estas cantidades cuando se tiene el debido cuidado sistemático para incluir todas las desviaciones de sus "valores desnudos" están dictados por la propia naturaleza de los campos cuánticos.

Invariancia de calibre

El primer enfoque que dio sus frutos se conoce como la "representación de interacción" (ver el artículo Imagen de interacción ), una generalización covariante e invariante de calibre de Lorentz de la teoría de la perturbación dependiente del tiempo utilizada en la mecánica cuántica ordinaria y desarrollada por Tomonaga y Schwinger. generalizando los esfuerzos anteriores de Dirac, Fock y Podolsky. Tomonaga y Schwinger inventaron un esquema covariante relativista para representar conmutadores de campo y operadores de campo intermedios entre las dos representaciones principales de un sistema cuántico, las representaciones de Schrödinger y Heisenberg. Dentro de este esquema, los conmutadores de campo en puntos separados se pueden evaluar en términos de operadores de creación y aniquilación de campos "desnudos". Esto permite realizar un seguimiento de la evolución en el tiempo de los valores "desnudos" y "renormalizados", o perturbados, del hamiltoniano y expresa todo en términos de ecuaciones de campo "desnudas", invariantes de calibre acopladas. Schwinger dio la formulación más elegante de este enfoque. El siguiente y más famoso desarrollo se debe a Richard Feynman , con sus brillantes reglas para asignar un "gráfico" / "diagrama" a los términos en la matriz de dispersión (ver la matriz S y los diagramas de Feynman ). Estos correspondían directamente (a través de la ecuación de Schwinger-Dyson ) a los procesos físicos medibles (secciones transversales, amplitudes de probabilidad, anchos de desintegración y vida útil de los estados excitados) que uno necesita para poder calcular. Esto revolucionó la forma en que los cálculos de la teoría cuántica de campos se llevan a cabo en la práctica.

Dos libros de texto clásicos de la década de 1960, James D. Bjorken , Sidney David Drell , Relativistic Quantum Mechanics (1964) y JJ Sakurai , Advanced Quantum Mechanics (1967), desarrollaron a fondo las técnicas de expansión de gráficos de Feynman utilizando métodos físicamente intuitivos y prácticos a partir de el principio de correspondencia , sin preocuparse por los tecnicismos involucrados en derivar las reglas de Feynman de la superestructura de la propia teoría cuántica de campos. Aunque tanto el estilo heurístico como pictórico de Feynman para tratar los infinitos, así como los métodos formales de Tomonaga y Schwinger, funcionaron extremadamente bien y dieron respuestas espectacularmente precisas, la verdadera naturaleza analítica de la cuestión de la "renormalizabilidad", es decir, si CUALQUIER teoría formulada como una "teoría cuántica de campos" daría respuestas finitas, no se resolvió hasta mucho más tarde, cuando la urgencia de tratar de formular teorías finitas para las interacciones fuerte y electro-débil (y gravitacional) exigió su solución.

La renormalización en el caso de QED fue en gran parte fortuita debido a la pequeñez de la constante de acoplamiento, el hecho de que el acoplamiento no tiene dimensiones que involucren masa, la llamada constante de estructura fina , y también la masa cero del bosón gauge involucrado, el fotón, hizo manejable el comportamiento de pequeña distancia / alta energía de QED. Además, los procesos electromagnéticos son muy "limpios" en el sentido de que no están mal suprimidos / amortiguados y / u ocultos por las otras interacciones del medidor. En 1965 James D. Bjorken y Sidney David Drell observaron: "La electrodinámica cuántica (QED) ha alcanzado un estado de coexistencia pacífica con sus divergencias ...".

La unificación de la fuerza electromagnética con la fuerza débil encontró dificultades iniciales debido a la falta de energías de aceleración lo suficientemente altas como para revelar procesos más allá del rango de interacción de Fermi . Además, se tuvo que desarrollar una comprensión teórica satisfactoria de la subestructura de hadrones, que culminó en el modelo de quarks .

Teoría del calibre no abeliano

Gracias a los primeros métodos algo de fuerza bruta, ad hoc y heurísticos de Feynman, y los métodos abstractos de Tomonaga y Schwinger, elegantemente sintetizados por Freeman Dyson , desde el período de renormalización temprana, la teoría moderna de la electrodinámica cuántica (QED) ha establecido sí mismo. Sigue siendo la teoría física más precisa conocida, el prototipo de una teoría cuántica de campos exitosa. La electrodinámica cuántica es el ejemplo más famoso de lo que se conoce como teoría del calibre abeliano . Se basa en el grupo de simetría U (1) y tiene un campo gauge sin masa, la simetría gauge U (1), que dicta la forma de las interacciones que involucran el campo electromagnético, siendo el fotón el bosón gauge.

A partir de la década de 1950 con el trabajo de Yang y Mills , siguiendo el ejemplo anterior de Weyl y Pauli, exploraciones profundas iluminaron los tipos de simetrías e invariancias que cualquier teoría de campo debe satisfacer. La QED, y de hecho, todas las teorías de campo, se generalizaron a una clase de teorías de campo cuánticas conocidas como teorías de gauge . Que las simetrías dicten, limiten y necesiten la forma de interacción entre partículas es la esencia de la "revolución de la teoría del calibre". Yang y Mills formularon el primer ejemplo explícito de una teoría de gauge no abeliana, la teoría de Yang-Mills , con un intento de explicación de las interacciones fuertes en mente. Las interacciones fuertes fueron entendidas (incorrectamente) a mediados de la década de 1950, como mediadas por los mesones pi, las partículas predichas por Hideki Yukawa en 1935, basándose en sus profundas reflexiones sobre la conexión recíproca entre la masa de cualquier fuerza mediadora. partícula y el rango de la fuerza que media. Esto fue permitido por el principio de incertidumbre . En ausencia de información dinámica, Murray Gell-Mann fue pionero en la extracción de predicciones físicas a partir de consideraciones de simetría pura no abeliana e introdujo grupos de Lie no abelianos en el álgebra actual y, por lo tanto, en las teorías de gauge que la reemplazaron.

Las décadas de 1960 y 1970 vieron la formulación de una teoría de gauge ahora conocida como Modelo Estándar de física de partículas , que describe sistemáticamente las partículas elementales y las interacciones entre ellas. Las interacciones fuertes se describen mediante cromodinámica cuántica (QCD), basada en el "color" SU (3). Las interacciones débiles requieren la característica adicional de ruptura espontánea de la simetría , aclarada por Yoichiro Nambu y el mecanismo adjunto de Higgs , que se considera a continuación.

Unificación electrodébil

La parte de interacción electrodébil del modelo estándar fue formulada por Sheldon Glashow , Abdus Salam y John Clive Ward en 1959 con su descubrimiento de la estructura de grupo SU (2) xU (1) de la teoría. En 1967, Steven Weinberg invocó brillantemente el mecanismo de Higgs para la generación de las masas W y Z (los bosones vectoriales intermedios responsables de las interacciones débiles y corrientes neutrales) y manteniendo cero la masa del fotón. La idea de Goldstone y Higgs para generar masa en las teorías de gauge surgió a fines de la década de 1950 y principios de la de 1960 cuando varios teóricos (incluidos Yoichiro Nambu , Steven Weinberg , Jeffrey Goldstone , François Englert , Robert Brout , GS Guralnik , CR Hagen , Tom Kibble y Philip Warren Anderson ) notaron una analogía posiblemente útil con la ruptura (espontánea) de la simetría U (1) del electromagnetismo en la formación del estado fundamental BCS de un superconductor. El bosón gauge involucrado en esta situación, el fotón, se comporta como si hubiera adquirido una masa finita.

Existe una posibilidad adicional de que el vacío físico (estado fundamental) no respete las simetrías implicadas por el lagrangiano electrodébil "ininterrumpido" a partir del cual se llega a las ecuaciones de campo (ver el artículo Interacción electrodébil para más detalles). La teoría electrodébil de Weinberg y Salam demostró ser renormalizable (finita) y, por tanto, consistente por Gerardus 't Hooft y Martinus Veltman . La teoría de Glashow-Weinberg-Salam (teoría GWS) es un triunfo y, en ciertas aplicaciones, proporciona una precisión a la par con la electrodinámica cuántica.

Cromodinámica cuántica

En el caso de las interacciones fuertes, el progreso con respecto a su comportamiento de corta distancia / alta energía fue mucho más lento y frustrante. Para interacciones fuertes con los campos electro-débiles, hubo problemas difíciles con respecto a la fuerza del acoplamiento, la generación de masa de los portadores de fuerza, así como sus propias interacciones no lineales. Aunque ha habido un progreso teórico hacia una gran teoría del campo cuántico unificado que incorpora la fuerza electromagnética, la fuerza débil y la fuerza fuerte, la verificación empírica aún está pendiente. La superunificación , que incorpora la fuerza gravitacional, es todavía muy especulativa y está siendo investigada intensamente por muchas de las mejores mentes de la física teórica contemporánea. La gravitación es una descripción del campo tensorial de un bosón de calibre de espín 2, el " gravitón ", y se analiza con más detalle en los artículos sobre relatividad general y gravedad cuántica .

Gravedad cuántica

Desde el punto de vista de las técnicas de la teoría cuántica de campos (tetradimensionales), y como atestiguan los numerosos esfuerzos para formular una teoría de la gravedad cuántica consistente, la cuantificación gravitacional ha sido la campeona reinante del mal comportamiento.

Hay problemas técnicos subyacentes por el hecho de que la constante de acoplamiento gravitacional tiene dimensiones que involucran potencias inversas de masa y, como simple consecuencia, está plagada de auto-interacciones no lineales perturbadoramente mal comportadas. La gravedad es en sí misma una fuente de gravedad, análogamente a las teorías de calibre (cuyos acoplamientos, por el contrario, son adimensionales) que conducen a divergencias incontrolables en órdenes crecientes de teoría de perturbación.

Además, la gravedad se acopla a todas las energías con la misma fuerza, según el principio de equivalencia , por lo que la noción de "desconectar", "cortar" o separar realmente, la interacción gravitacional de otras interacciones es ambigua, ya que, con la gravitación , estamos tratando con la estructura misma del espacio-tiempo mismo.

Además, no se ha establecido que sea necesaria una teoría de la gravedad cuántica (ver Teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo ).

Marco contemporáneo de renormalización

Los avances paralelos en la comprensión de las transiciones de fase en la física de la materia condensada llevaron a nuevos conocimientos basados en el grupo de renormalización . Involucraban el trabajo de Leo Kadanoff (1966) y Kenneth Geddes Wilson - Michael Fisher (1972) - ampliando el trabajo de Ernst Stueckelberg - André Petermann (1953) y Murray Gell-Mann - Francis Low (1954) - que condujo al seminal reformulación de la teoría cuántica de campos por Kenneth Geddes Wilson en 1975. Esta reformulación proporcionó información sobre la evolución de las teorías de campos efectivos con escala, que clasificaron todas las teorías de campo, renormalizables o no. La conclusión notable es que, en general, la mayoría de los observables son "irrelevantes", es decir, la física macroscópica está dominada por sólo unos pocos observables en la mayoría de los sistemas.

Durante el mismo período, Leo Kadanoff (1969) introdujo un formalismo de álgebra de operadores para el modelo bidimensional de Ising , un modelo matemático de ferromagnetismo ampliamente estudiado en física estadística . Este desarrollo sugirió que la teoría cuántica de campos describe su límite de escala . Posteriormente, se desarrolló la idea de que un número finito de operadores generadores podría representar todas las funciones de correlación del modelo de Ising. Alexander Belavin , Alexander Markovich Polyakov y Alexander Zamolodchikov en 1984 sugirieron la existencia de una simetría mucho más fuerte para el límite de escala de los sistemas críticos bidimensionales , lo que finalmente condujo al desarrollo de la teoría de campos conforme , un caso especial de teoría cuántica de campos. , que actualmente se utiliza en diferentes áreas de la física de partículas y la física de la materia condensada.

El grupo de renormalización abarca un conjunto de ideas y métodos para monitorear los cambios del comportamiento de la teoría con escala, proporcionando una comprensión física profunda que provocó lo que se ha llamado la "gran síntesis" de la física teórica, uniendo las técnicas teóricas de campo cuántico utilizadas en física de partículas y física de la materia condensada en un único y poderoso marco teórico.

La teoría del campo gauge de las interacciones fuertes , la cromodinámica cuántica , se basa fundamentalmente en este grupo de renormalización por sus características distintivas, libertad asintótica y confinamiento de color .

Desarrollos recientes

Ver también

Notas

Otras lecturas

Pais, Abraham; Inward Bound - Of Matter & Forces in the Physical World , Oxford University Press (1986) ISBN 0-19-851997-4 . Escrito por un ex asistente de Einstein en Princeton, esta es una hermosa historia detallada de la física fundamental moderna, desde 1895 (descubrimiento de los rayos X) hasta 1983 (descubrimiento de los vectores bosones en el CERN ).
Richard Feynman; Apuntes de clases de física . Prensa de la Universidad de Princeton: Princeton (1986).
Richard Feynman; QED . Prensa de la Universidad de Princeton: Princeton (1982).
Weinberg, Steven; The Quantum Theory of Fields - Foundations (vol. I) , Cambridge University Press (1995) ISBN 0-521-55001-7 El primer capítulo (págs. 1-40) del monumental tratado de Weinberg da una breve historia de QFT, pág. 608.
Weinberg, Steven; The Quantum Theory of Fields - Modern Applications (vol. II), Cambridge University Press: Cambridge, Reino Unido (1996) ISBN 0-521-55001-7 , págs. 489.
Weinberg, Steven; The Quantum Theory of Fields - Supersymmetry (vol. III), Cambridge University Press: Cambridge, Reino Unido (2000) ISBN 0-521-55002-5 , págs. 419.
Schweber, Silvan S .; QED y los hombres que lo lograron: Dyson, Feynman, Schwinger y Tomonaga , Princeton University Press (1994) ISBN 0-691-03327-7
Ynduráin, Francisco José; Cromodinámica cuántica: Introducción a la teoría de quarks y gluones , Springer Verlag, Nueva York, 1983. ISBN 0-387-11752-0
Miller, Arthur I .; Electrodinámica cuántica temprana: un libro de consulta , Cambridge University Press (1995) ISBN 0-521-56891-9
Schwinger, Julian; Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover Publications, Inc. (1958) ISBN 0-486-60444-6
O'Raifeartaigh, Lochlainn; The Dawning of Gauge Theory , Princeton University Press (5 de mayo de 1997) ISBN 0-691-02977-6
Cao, Tian Yu; Desarrollos conceptuales de las teorías de campo del siglo XX , Cambridge University Press (1997) ISBN 0-521-63420-2
Darrigol, Olivier; La genèse du concept de champ quantique , Annales de Physique (Francia) 9 (1984) págs. 433–501. Texto en francés, adaptado del Ph.D. del autor. tesis.

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