Cuerno de Gabriel - Gabriel's Horn

Ilustración 3D del cuerno de Gabriel.

Sólido hiperbólico agudo truncado de Torricelli (no infinitamente extendido en esta imagen debido a limitaciones de renderizado por computadora) con el cilindro agregado (en rojo) usado por su prueba

El cuerno de Gabriel (también llamado trompeta de Torricelli ) es una figura geométrica particular que tiene un área de superficie infinita pero un volumen finito . El nombre se refiere a la tradición cristiana que (aunque no está estrictamente respaldada por la Biblia ) identifica al arcángel Gabriel como el ángel que toca el cuerno para anunciar el Día del Juicio . Las propiedades de esta figura fueron estudiadas por primera vez por el físico y matemático italiano Evangelista Torricelli en el siglo XVII.

Estos coloridos nombres informales y la alusión a la religión llegaron más tarde. El nombre del propio Torricelli se encuentra en el título latino de su artículo "De solido hyperbolico acuto", escrito en 1643, un sólido hiperbólico agudo truncado , cortado por un plano. El volumen 1, parte 1 de su Opera geometrica publicada el año siguiente incluía ese artículo y una segunda prueba de Arquímedes más ortodoxa (para el momento) de su teorema sobre el volumen de un sólido hiperbólico agudo truncado. Este nombre se utilizó en los diccionarios matemáticos del siglo XVIII (incluido "Hyperbolicum Acutum" en el diccionario de Harris de 1704 y en el de Stone de 1726, y la traducción francesa "Solide Hyperbolique Aigu" en el de d'Alembert de 1751).

Aunque sus contemporáneos le atribuyeron la primacía, Torricelli no había sido el primero en describir una forma infinitamente larga con un volumen / área finita. La obra de Nicole Oresme en el siglo XIV había sido olvidada o desconocida para ellos. Oresme había postulado cosas como una forma infinitamente larga construida al subdividir dos cuadrados de área total finita 2 usando una serie geométrica y reorganizando las partes en una figura, infinitamente larga en una dimensión, que comprende una serie de rectángulos.

Definición matemática

Gráfico de .

{\ Displaystyle y = {1} / {x}}

El cuerno de Gabriel se forma tomando la gráfica de

{\ Displaystyle y = {\ frac {1} {x}},}

con el dominio y rotándolo en tres dimensiones sobre el eje $x$ . El descubrimiento fue hecho usando el principio de Cavalieri antes de la invención de cálculo , pero hoy en día, el cálculo se puede usar para calcular el volumen y el área de superficie de la bocina entre $x$ $= 1$ y $x$ $=$ $un$ , donde $una$ $> 1$ . Usando la integración (ver Sólido de revolución y Superficie de revolución para más detalles), es posible encontrar el volumen $V$ y el área de la superficie $A$ : ${\ Displaystyle x \ geq 1}$

{\ Displaystyle V = \ pi \ int _ {1} ^ {a} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) ^ {2} \ mathrm {d} x = \ pi \ left (1 - {\ frac {1} {a}} \ right)}

{\ Displaystyle A = 2 \ pi \ int _ {1} ^ {a} {\ frac {1} {x}} {\ sqrt {1+ \ left (- {\ frac {1} {x ^ {2}) }} \ derecha) ^ {2}}} \ mathrm {d} x> 2 \ pi \ int _ {1} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}} = 2 \ pi \ ln (a).}

El valor de $una$ puede ser tan grande como sea necesario, pero puede ser visto a partir de la ecuación que el volumen de la parte de la bocina entre $x = 1$ y $x = un$ nunca excederá $π$ ; Sin embargo, no dibujar gradualmente más cerca de $π$ como $unos$ aumentos. Matemáticamente, el volumen se acerca a $π$ cuando $a se$ acerca al infinito. Usando la notación límite de cálculo:

{\ Displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} V = \ lim _ {a \ to \ infty} \ pi \ left (1 - {\ frac {1} {a}} \ right) = \ pi \ cdot \ lim _ {a \ to \ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {a}} \ right) = \ pi.}

La fórmula del área de superficie anterior da un límite inferior para el área como 2 $π$ veces el logaritmo natural de $a$ . No hay límite superior para el logaritmo natural de $a$ , ya que $a se$ acerca al infinito. Eso significa, en este caso, que el cuerno tiene una superficie infinita. Es decir,

{\ Displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} A \ geq \ lim _ {a \ to \ infty} 2 \ pi \ ln (a) = \ infty.}

en De solido hyperbolico acuto

La prueba de Torricelli demostró que el volumen del cilindro sólido hiperbólico agudo truncado y agregado es el mismo que el volumen del cilindro rojo mediante la aplicación de indivisibles de Cavalieri, mapeando cilindros del primero a círculos en el segundo con el rango , que es tanto la altura del último cilindro y el radio de la base en el primero.

{\ textstyle {\ frac {1} {b}} \ geq {y} \ geq {0}}

La prueba original de no cálculo de Torricelli utilizó un objeto, ligeramente diferente al anterior, que se construyó truncando el sólido hiperbólico agudo con un plano perpendicular al eje x y extendiéndolo desde el lado opuesto de ese plano con un cilindro de la misma base. . Mientras que el método de cálculo procede estableciendo el plano de truncamiento e integrándolo a lo largo del eje x, Torricelli procedió a calcular el volumen de este sólido compuesto (con el cilindro añadido) sumando las áreas de superficie de una serie de cilindros rectos concéntricos dentro de él. a lo largo del eje y, y mostrando que esto era equivalente a sumar áreas dentro de otro sólido cuyo volumen (finito) se conocía. ${\ textstyle x = 1}$

En la terminología moderna, este sólido se creó construyendo una superficie de revolución de la función (para $b$ estrictamente positivo )

{\ displaystyle y = {\ begin {cases} {\ frac {1} {b}} & {\ text {where}} 0 \ leq {x} \ leq {b} \\ {\ frac {1} {x }} & {\ text {donde}} {b} \ leq {x} \ end {cases}}}

y el teorema de Torricelli era que su volumen es el mismo que el volumen del cilindro derecho con altura y radio :

{\ textstyle {\ frac {1} {b}}}

{\ textstyle {\ sqrt {2}}}

Teorema. Un sólido hiperbólico agudo, infinitamente largo, cortado por un plano [perpendicular] al eje, junto con el cilindro de la misma base, es igual a ese cilindro recto cuya base es el latus versum (es decir, el eje) de la hipérbola, y cuya altura es igual al radio de la base de este cuerpo agudo.

- De solido hyperbolico acuto . Evangelista Torricelli. 1643. Traducido de G. Loria y G. Vassura 1919.

Torricelli demostró que el volumen del sólido podría derivarse de las áreas superficiales de esta serie de cilindros rectos concéntricos cuyos radios eran y alturas . Sustituir en la fórmula las áreas de superficie de (solo los lados de) estos cilindros produce un área de superficie constante para todos los cilindros de . Esta es también el área de un círculo de radio y las superficies anidadas de los cilindros (que llenan el volumen del sólido) son, por lo tanto, equivalentes a las áreas apiladas de los círculos de radio apilados de 0 a , y por lo tanto, el volumen del mencionado anteriormente. cilindro derecho, que se sabe que es : ${\ textstyle {\ frac {1} {b}} \ geq {r} \ geq {0}}$ ${\ textstyle h = {\ frac {1} {r}}}$ ${\ textstyle 2 \ pi {r} \ times {h} = 2 \ pi {r} \ times {\ frac {1} {r}} = 2 \ pi}$ ${\ textstyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ textstyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {b}}}$ ${\ textstyle V = \ pi {r} ^ {2} \ times {h} = \ pi ({\ sqrt {2}}) ^ {2} \ times {\ frac {1} {b}} = {\ frac {2 \ pi} {b}}}$

Propterea omnes simul superficies cylindricae, hoc est ipsum solidum acutum ebd , una cum cylindro base fedc , aequale erit omnibus circulis simul, hoc est cylindro acgh . Quod erat etc.

(Por lo tanto, todas las superficies de los cilindros tomadas juntas, es decir, el EBD sólido agudo en sí, es igual que el cilindro de base FEDC, que será igual a todos sus círculos tomados en conjunto, es decir, al cilindro ACGH).

- De solido hyperbolico acuto . Evangelista Torricelli. 1643. Traducido de Jacqueline A. Stedall 2013.

(El volumen del cilindro agregado es, por supuesto, y por lo tanto el volumen del sólido hiperbólico agudo truncado solo lo es . Donde, como en la derivación del cálculo moderno, ). ${\ textstyle V_ {c} = \ pi {r} ^ {2} \ times {h} = \ pi ({\ frac {1} {b}}) ^ {2} \ times {b} = {\ frac {\ pi} {b}}}$ ${\ textstyle V_ {s} = V-V_ {c} = {\ frac {2 \ pi} {b}} - {\ frac {\ pi} {b}} = {\ frac {\ pi} {b} }}$ ${\ textstyle b = 1}$ ${\ textstyle V_ {s} = \ pi}$

En la Ópera geométrica, ésta es una de las dos pruebas del volumen del sólido hiperbólico agudo (truncado). El uso de los indivisibles de Cavalieri en esta prueba fue controvertido en ese momento y el resultado impactante (Torricelli registra más tarde que Gilles de Roberval había intentado refutarlo); así que cuando se publicó la Ópera geométrica , un año después de De solido hyperbolico acuto , Torricelli también proporcionó una segunda prueba basada en los principios ortodoxos de Arquímedes que mostraban que el cilindro derecho ( radio de altura ) era el límite superior e inferior del volumen. Irónicamente, esto fue un eco de la propia cautela de Arquímedes al proporcionar dos pruebas, mecánica y geométrica, en su Cuadratura de la parábola a Dositeo. ${\ textstyle {\ frac {1} {b}}}$ ${\ textstyle {\ sqrt {2}}}$

Paradoja aparente

Cuando se descubrieron las propiedades del cuerno de Gabriel, se consideró una paradoja el hecho de que la rotación de una sección infinitamente grande del plano $xy$ alrededor del eje $x$ genera un objeto de volumen finito . Mientras que la sección que se encuentra en el plano $xy$ tiene un área infinita, cualquier otra sección paralela a ella tiene un área finita. Por tanto, el volumen, que se calcula a partir de la "suma ponderada" de las secciones, es finito.

Otro enfoque es tratar el sólido como una pila de discos con radios decrecientes . La suma de los radios produce una serie armónica que llega al infinito. Sin embargo, el cálculo correcto es la suma de sus cuadrados. Cada disco tiene un radio $r =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/X$ y un área $π r 2$ o $π / x 2$ . Las series $1 / X$ diverge pero la serie $1 / x 2$ converge . En general, para cualquier $ε > 0$ real , la serie $1 / x 1+ ε$ converge.

La aparente paradoja formó parte de una disputa sobre la naturaleza del infinito que involucró a muchos de los pensadores clave de la época, incluidos Thomas Hobbes , John Wallis y Galileo Galilei .

Existe un fenómeno similar que se aplica a longitudes y áreas en el plano. El área entre las curvas $1 / x 2$ y $-1 / x 2$ de 1 a infinito es finito, pero las longitudes de las dos curvas son claramente infinitas.

En la conferencia 16 de sus Lecciones de 1666 , Isaac Barrow sostuvo que el teorema de Torricelli había restringido el dictamen general de Aristóteles (del libro 1 de De Caelo , parte 6) de que "no hay proporción entre lo finito y lo infinito". El mismo Aristóteles, estrictamente hablando, había estado defendiendo la imposibilidad de la existencia física de un cuerpo infinito en lugar de argumentar su imposibilidad como abstracto geométrico. Barrow había estado adoptando la visión contemporánea del siglo XVII de que la máxima de Aristóteles y otros axiomas geométricos eran (como había dicho en la conferencia 7) de "alguna ciencia superior y universal", que sustentaba tanto las matemáticas como la física. Así, la demostración de Torricelli de un objeto con una relación entre un (volumen) finito y un (área) infinito contradecía este dicho, al menos en parte. La explicación de Barrow fue que la máxima de Aristóteles todavía se mantenía, pero solo de una manera más limitada cuando se comparan cosas del mismo tipo, longitud con longitud, área con área, volumen con volumen, etc. No se mantuvo al comparar cosas de dos géneros diferentes (área con volumen, por ejemplo) y, por lo tanto, un área infinita podría conectarse a un volumen finito.

Otros usaron el teorema de Torricelli para reforzar sus propias afirmaciones filosóficas, sin relación con las matemáticas desde un punto de vista moderno. Ignace-Gaston Pardies en 1671 usó el sólido hiperbólico agudo para argumentar que los humanos finitos podían comprender el infinito, y procedió a ofrecerlo como prueba de la existencia de Dios y de las almas inmateriales. Dado que la materia finita no podía comprender el infinito, argumentó Pardies, el hecho de que los humanos pudieran comprender esta prueba mostraba que los humanos deben ser más que materia y tener almas inmateriales. En contraste, Antoine Arnauld argumentó que debido a que los humanos percibieron una paradoja aquí, el pensamiento humano estaba limitado en lo que podía comprender y, por lo tanto, no está a la altura de la tarea de refutar las verdades divinas y religiosas.

La disputa de Hobbes y Wallis estaba en realidad dentro del ámbito de las matemáticas: Wallis abrazó con entusiasmo los nuevos conceptos de infinito e indivisibles, procediendo a sacar más conclusiones basadas en el trabajo de Torricelli y extenderlo para emplear la aritmética en lugar de los argumentos geométricos de Torricelli; y Hobbes afirma que, dado que las matemáticas se derivan de las percepciones del mundo real de cosas finitas, "infinito" en matemáticas sólo puede significar "indefinido". Esto condujo a cartas fuertemente redactadas por cada uno a la Royal Society y en Philosophical Transactions , Hobbes recurrió a llamar a Wallis "loco" en un momento. En 1672 Hobbes trató de reformular el teorema de Torricelli como acerca de un sólido finito que se extendió indefinidamente , en un intento de mantener su afirmación de que la "luz natural" (es decir, el sentido común) nos decía que una cosa infinitamente larga debe tener un infinito volumen. Esto se alineó con las otras afirmaciones de Hobbes de que el uso de la idea de una línea de ancho cero en geometría era erróneo y que la idea de indivisibles de Cavalieri estaba infundada. Wallis argumentó que existían formas geométricas con área / volumen finito pero sin centro de gravedad basado en Torricelli, afirmando que comprender esto requería más dominio de la geometría y la lógica "de lo que M. Hobs [ sic ] es Maestro". También reestructuró los argumentos en términos aritméticos como las sumas de progresiones aritméticas , secuencias de infinitesimales aritméticos en lugar de secuencias de indivisibles geométricos.

Oresme ya había demostrado que una forma infinitamente larga puede tener un área finita donde, como una dimensión tiende a infinitamente grande, otra dimensión tiende a infinitamente pequeña. En palabras del propio Barrow "la disminución infinita de una dimensión compensa el aumento infinito de la otra", en el caso del sólido hiperbólico agudo por la ecuación de la hipérbola apolínea . ${\ textstyle xy = 1}$

La paradoja del pintor

Dado que el cuerno tiene un volumen finito pero un área de superficie infinita, existe una aparente paradoja de que el cuerno podría llenarse con una cantidad finita de pintura y, sin embargo, esa pintura no sería suficiente para cubrir su superficie. Sin embargo, esta paradoja es nuevamente sólo una aparente paradoja causada por una definición incompleta de "pintura", o por el uso de definiciones contradictorias de pintura para las acciones de relleno y pintura.

Se podría postular una pintura "matemática" que es infinitamente divisible (o infinitamente diluible, o simplemente de ancho cero como las líneas geométricas de ancho cero con las que Hobbes tuvo problemas) y capaz de viajar a una velocidad infinita, o una pintura "física". con las propiedades de la pintura en el mundo real. Con cualquiera de los dos, la aparente paradoja se desvanece:

Pintura física:
- Pintar el exterior del sólido requeriría una cantidad infinita de pintura porque la pintura física tiene un espesor distinto de cero. El teorema de Torricelli no habla de una capa de ancho finito en el exterior del sólido, que de hecho tendría un volumen infinito. Por tanto, no hay contradicción entre un volumen infinito de pintura y una superficie infinita a cubrir.
- Es imposible pintar el interior del sólido, el volumen finito del teorema de Torricelli, con pintura física, por lo que no existe contradicción. Esto es porque:
  - La pintura física solo puede llenar una aproximación del volumen del sólido. Las moléculas no cubren completamente el espacio tridimensional y dejan espacios, y hay un punto donde la "garganta" del sólido se vuelve demasiado estrecha para que las moléculas de pintura fluyan hacia abajo.
  - La pintura física viaja a una velocidad finita y tardaría una cantidad infinita de tiempo en fluir hacia abajo. Esto también se aplica a la pintura "matemática" de espesor cero si no se postula adicionalmente que fluya a una velocidad infinita.
Con la pintura "matemática" no se sigue en primer lugar que un área de superficie infinita requiera un volumen infinito de pintura, ya que el área de superficie infinita multiplicada por la pintura de espesor cero es indeterminada .
Otros postulados diferentes de la pintura "matemática", como la pintura de velocidad infinita que se adelgaza a un ritmo lo suficientemente rápido, también eliminan la paradoja. Para el volumen de pintura, a medida que la superficie a cubrir $A$ tiende hacia el infinito, el espesor de la pintura tiende a cero. Al igual que con el sólido en sí, el aumento infinito de la superficie a pintar en una dimensión se compensa con la disminución infinita en otra dimensión, el espesor de la pintura. ${\ textstyle \ pi}$ ${\ textstyle {\ frac {\ pi} {A}}}$

Conversar

René-François de Sluse comentó una vez con ironía que este sólido de rotación de un (medio) cissoide formaba una copa liviana que incluso el bebedor más empedernido no podría vaciar, porque él mismo tiene un volumen finito pero encierra un volumen infinito. Sin embargo, no se afirma que tenga un área superficial finita.

Lo contrario del sólido hiperbólico agudo de Torricelli es una superficie de revolución que tiene un área superficial finita pero un volumen infinito .

En respuesta al teorema de Torricelli, después de conocerlo de Marin Mersenne , Christiaan Huygens y René-François de Sluse se escribieron cartas sobre la extensión del teorema a otros sólidos de revolución infinitamente largos; que se han identificado erróneamente como encontrar tal inverso.

Jan A. van Maanen, profesor de matemáticas en la Universidad de Utrecht , informó en la década de 1990 que una vez declaró erróneamente en una conferencia en Kristiansand que de Sluse le escribió a Huygens en 1658 que había encontrado tal forma:

evi ópera dedicator meansura vasculie, pondere non magni, quod interim helluo nullus ebibat

(Doy las medidas de un vaso (o jarrón), que tiene un peso pequeño, pero que ni el bebedor más empedernido podría vaciar).

- de Sluse en una carta a Huygens, traducción Jan A. van Maanen

en respuesta (por Tony Gardiner y Man-Keung Siu de la Universidad de Hong Kong ) que cualquier superficie de rotación con una superficie finita tendría necesariamente un volumen finito.

El profesor van Maanen se dio cuenta de que se trataba de una mala interpretación de la carta de De Sluse; y que lo que De Sluse estaba informando en realidad es que la forma sólida de "copa", formada por la rotación del cissoide de Diocles y su asíntota sobre el eje y, tenía un volumen finito (y por lo tanto "peso pequeño") y encerraba una cavidad de volumen infinito .

Huygens demostró por primera vez que el área de la forma bidimensional rotada (entre el cissoide y su asíntota) era finita, calculando que su área era 3 veces el área del círculo generador del cissoide, y De Sluse aplicó el teorema del centroide de Pappus para mostrar que el sólido de revolución tiene así un volumen finito, siendo producto de esa área finita y la órbita finita de rotación. El área que se rota es finita; De Sluse en realidad no dijo nada sobre el área de superficie del volumen girado resultante.

Tal inverso no puede ocurrir (asumiendo geometría euclidiana ) cuando gira una función continua en un conjunto cerrado:

Teorema

Sea $f : [1, \infty) \to [0, \infty)$ una función continuamente diferenciable. Escribe $S$ para el sólido de revolución de la gráfica $y = f (x)$ sobre el eje $x$ . Si el área de la superficie de $S$ es finita, entonces también lo es el volumen.

Prueba

Dado que el área de la superficie lateral $A$ es finita, el límite superior :

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ lim _ {t \ to \ infty} \ sup _ {x \ geq t} f (x) ^ {2} ~ - ~ f (1) ^ {2} & = \ limsup _ {t \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {t} \ left (f (x) ^ {2} \ right) '\ mathrm {d} x \\ [6pt] & \ leq \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left | \ left (f (x) ^ {2} \ right) '\ right | \ mathrm {d} x = \ int _ {1} ^ {\ infty} 2f ( x) \ left | f '(x) \ right | \ mathrm {d} x \\ [6pt] & \ leq \ int _ {1} ^ {\ infty} 2f (x) {\ sqrt {1 + f' (x) ^ {2}}} \ mathrm {d} x = {\ frac {A} {\ pi}} \\ [6pt] & <\ infty. \ end {alineado}}}

Por lo tanto, existe un $t 0$ tal que el supremum $sup {f (x) | x \geq t 0$ } es finito. Por eso,

M = sup {f (x) | x \geq 1

} debe ser finito ya que

f

es una función continua , lo que implica que

f

está acotada en el intervalo

[1, \infty)

.

Finalmente, el volumen:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} V & = \ int _ {1} ^ {\ infty} f (x) \ cdot \ pi f (x) \ mathrm {d} x \\ [6pt] & \ leq \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {M} {2}} \ cdot 2 \ pi f (x) \ mathrm {d} x \\ [6pt] & \ leq {\ frac {M} {2 }} \ cdot \ int _ {1} ^ {\ infty} 2 \ pi f (x) {\ sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} \ mathrm {d} x = {\ frac { M} {2}} \ cdot A. \ end {alineado}}}

Por tanto: si el área $A$ es finita, entonces el volumen $V$ también debe ser finito.

Ver también

Hipérbola - Curva plana: sección cónica
Copo de nieve de Koch - Curva matemática y fractal
Cuerno de picard
Pseudoesfera
Forma del universo : la geometría local y global del universo
Superficie de revolución - Término matemático
Las paradojas de Zenón - Conjunto de problemas filosóficos

Referencias

Bibliografía de referencia

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Otras lecturas

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enlaces externos

La trompeta de Torricelli en PlanetMath
Weisstein, Eric W. "Cuerno de Gabriel" . MathWorld .
"Gabriel's Horn" de John Snyder, Proyecto de demostraciones de Wolfram , 2007.
Cuerno de Gabriel: una comprensión de un sólido con volumen finito y área de superficie infinita por Jean S. Joseph.

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