Espacio vectorial conveniente - Convenient vector space

En matemáticas, los espacios vectoriales convenientes son espacios vectoriales localmente convexos que satisfacen una condición de completitud muy leve .

El cálculo diferencial tradicional es eficaz en el análisis de espacios vectoriales de dimensión finita y para espacios de Banach . Más allá de los espacios de Banach, comienzan a surgir dificultades; en particular, la composición de mapeos lineales continuos deja de ser conjuntamente continua a nivel de espacios de Banach, para cualquier topología compatible en los espacios de mapeos lineales continuos.

Las asignaciones entre espacios vectoriales convenientes son suaves o si asignan curvas suaves a curvas suaves. Esto conduce a una categoría cerrada cartesiana de mapeos suaves entre subconjuntos abiertos de espacios vectoriales convenientes (ver propiedad 6 a continuación). El cálculo correspondiente de mapeos suaves se llama cálculo conveniente . Es más débil que cualquier otra noción razonable de diferenciabilidad, es fácil de aplicar, pero existen mapeos suaves que no son continuos (ver Nota 1). Este tipo de cálculo por sí solo no es útil para resolver ecuaciones. ${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle c ^ {\ infty}}$

La -topología${\ Displaystyle c ^ {\ infty}}$

Sea un espacio vectorial localmente convexo. Una curva se llama suave o si todas las derivadas existen y son continuas. Sea el espacio de curvas suaves. Se puede demostrar que el conjunto de curvas suaves no depende enteramente de la topología localmente convexa de , sólo de su bornología asociada (sistema de conjuntos acotados); ver [KM], 2.11. Las topologías finales con respecto a los siguientes conjuntos de asignaciones coinciden; ver [KM], 2.13. ${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle c: \ mathbb {R} \ to E}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, E)}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E}$

• ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, E)}$.
• El conjunto de todas las curvas de Lipschitz (de modo que esté acotado , para cada una ).${\ Displaystyle \ left \ {{\ dfrac {c (t) -c (s)} {ts}}: t \ neq s {,} | t |, | s | \ leq C \ right \}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle C}$
• El conjunto de inyecciones donde atraviesa todos los subconjuntos absolutamente convexos delimitados en , y donde está el tramo lineal de equipado con el funcional de Minkowski .${\ Displaystyle E_ {B} \ to E}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E_ {B}}$${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle \ | x \ | _ {B}: = \ inf \ {\ lambda> 0: x \ in \ lambda B \}}$
• El conjunto de todas las secuencias convergentes de Mackey (existe una secuencia con acotada).${\ Displaystyle x_ {n} \ a x}$${\ Displaystyle 0 <\ lambda _ {n} \ to \ infty}$${\ Displaystyle \ lambda _ {n} (x_ {n} -x)}$

Esta topología se llama - topología de y escribir para el espacio topológico resultante. En general (en el espacio de funciones suaves con soporte compacto en la línea real, por ejemplo) es más fino que la topología convexa local dada, no es una topología de espacio vectorial, ya que la suma ya no es conjuntamente continua. Es decir, incluso . La mejor entre todas las topologías localmente convexas en las que son más toscas que la bornologificación de la topología localmente convexa dada. Si es un espacio de Fréchet, entonces . ${\ Displaystyle c ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle c ^ {\ infty} E}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle c ^ {\ infty} (D \ times D) \ neq (c ^ {\ infty} D) \ times (c ^ {\ infty} D)}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle c ^ {\ infty} E}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle c ^ {\ infty} E = E}$

Espacios vectoriales convenientes

Se dice que un espacio vectorial localmente convexo es un espacio vectorial conveniente si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes (llamado -completo); ver [KM], 2.14. ${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle c ^ {\ infty}}$

• Para cualquier, la integral (de Riemann-) existe en .${\ Displaystyle c \ en C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, E)}$${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} c (t) \, dt}$${\ Displaystyle E}$
• Cualquier curva de Lipschitz en es localmente integrable de Riemann.${\ Displaystyle E}$
• Cualquier curva sabia escalar es : Una curva es suave si y solo si la composición está activada para todos donde está activado el dual de todos los funcionales lineales continuos . ${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle c: \ mathbb {R} \ to E}$${\ Displaystyle \ lambda \ circ c: t \ mapsto \ lambda (c (t))}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ lambda \ en E ^ {*}}$${\ Displaystyle E ^ {*}}$${\ Displaystyle E}$
  • De manera equivalente, para todos , el dual de todos los funcionales lineales acotados.${\ Displaystyle \ lambda \ in E '}$
  • De manera equivalente, para todos , donde es un subconjunto del cual reconoce subconjuntos acotados en ; ver [KM], 5.22.${\ Displaystyle \ lambda \ in V}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle E '}$${\ Displaystyle E}$
• Cualquier secuencia de Mackey-Cauchy (es decir, para algunos en converge en . Esto es visiblemente un requisito de completitud leve.${\ Displaystyle t_ {nm} (x-x_ {m}) \ to 0}$${\ Displaystyle t_ {nm} \ to \ infty}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle E}$
• Si está acotado cerrado absolutamente convexo, entonces es un espacio de Banach.${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle E_ {B}}$
• Si es escalar , entonces es , para .${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to E}$${\ displaystyle {\ text {Labio}} ^ {k}}$${\ Displaystyle f}$${\ displaystyle {\ text {Labio}} ^ {k}}$${\ Displaystyle k> 1}$
• Si es escalar, entonces es diferenciable en .${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to E}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle f}$${\ displaystyle 0}$

Aquí se llama un mapeo si todas las derivadas hasta el orden existen y son Lipschitz, localmente en . ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to E}$${\ displaystyle {\ text {Labio}} ^ {k}}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Asignaciones suaves

Sea y sea ​​espacios vectoriales convenientes, y deje que sea -open. Un mapeo se llama suave o , si es que la composición para todos . Ver [KM], 3.11. ${\ Displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle U \ subseteq E}$${\ Displaystyle c ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle f: U \ a F}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle f \ circ c \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, F)}$${\ Displaystyle c \ en C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, U)}$

Principales propiedades del cálculo suave.

1. Para mapas en espacios de Fréchet, esta noción de suavidad coincide con todas las demás definiciones razonables. Sobre esto hay un teorema no trivial, probado por Boman, 1967. Ver también [KM], 3.4. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

2. Las asignaciones multilineales son suaves si y solo si están acotadas ([KM], 5.5).

3. Si es suave, entonces la derivada es suave y también es suave donde denota el espacio de todas las asignaciones lineales limitadas con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos limitados; ver [KM], 3.18. ${\ Displaystyle f: E \ supseteq U \ to F}$${\ Displaystyle df: U \ times E \ to F}$${\ Displaystyle df: U \ a L (E, F)}$${\ Displaystyle L (E, F)}$

4. La regla de la cadena se cumple ([KM], 3.18).

5. El espacio de todos los mapeos suaves es de nuevo un espacio vectorial conveniente donde la estructura viene dada por la siguiente inyección, donde lleva la topología de convergencia compacta en cada derivada por separado; ver [KM], 3.11 y 3.7. ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (U, F)}$${\ Displaystyle U \ a F}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})}$

${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (U, F) \ to \ prod _ {c \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, U), \ ell \ in F ^ {*}} C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R}), \ quad f \ mapsto (\ ell \ circ f \ circ c) _ {c, \ ell} \ ,.}$

6. La ley exponencial se cumple ([KM], 3.12): Para -open, el siguiente mapeo es un difeomorfismo lineal de espacios vectoriales convenientes. ${\ Displaystyle c ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle V \ subseteq F}$

${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (U, C ^ {\ infty} (V, G)) \ cong C ^ {\ infty} (U \ times V, G), \ qquad f \ mapsto g, \ qquad f (u) (v) = g (u, v).}$

Este es el supuesto principal del cálculo variacional. Aquí es un teorema. Esta propiedad es la fuente del nombre conveniente , que fue tomado de (Steenrod 1967).

7. Teorema de acotación uniforme suave ([KM], teorema 5.26). Un mapeo lineal es suave (por (2) equivalente a acotado) si y solo si es suave para cada uno . ${\ Displaystyle f: E \ to C ^ {\ infty} (V, G)}$${\ Displaystyle \ operatorname {ev} _ {v} \ circ f: V \ to G}$${\ Displaystyle v \ in V}$

8. Las siguientes asignaciones canónicas son suaves. Esto se sigue de la ley exponencial mediante razonamientos categóricos simples, ver [KM], 3.13.

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ operatorname {ev}: C ^ {\ infty} (E, F) \ times E \ to F, \ quad {\ text {ev}} (f, x) = f (x) \\ [6pt] & \ operatorname {ins}: E \ to C ^ {\ infty} (F, E \ times F), \ quad {\ text {ins}} (x) (y) = ( x, y) \\ [6pt] & (\ quad) ^ {\ wedge}: C ^ {\ infty} (E, C ^ {\ infty} (F, G)) \ to C ^ {\ infty} ( E \ veces F, G) \\ [6pt] & (\ quad) ^ {\ vee}: C ^ {\ infty} (E \ times F, G) \ to C ^ {\ infty} (E, C ^ {\ infty} (F, G)) \\ [6pt] & \ operatorname {comp}: C ^ {\ infty} (F, G) \ times C ^ {\ infty} (E, F) \ to C ^ {\ infty} (E, G) \\ [6pt] & C ^ {\ infty} (\ quad, \ quad): C ^ {\ infty} (F, F_ {1}) \ times C ^ {\ infty} (E_ {1}, E) \ a C ^ {\ infty} (C ^ {\ infty} (E, F), C ^ {\ infty} (E_ {1}, F_ {1})), \ quad (f, g) \ mapsto (h \ mapsto f \ circ h \ circ g) \\ [6pt] & \ prod: \ prod C ^ {\ infty} (E_ {i}, F_ {i}) \ to C ^ {\ infty} \ left (\ prod E_ {i}, \ prod F_ {i} \ right) \ end {alineado}}}$

Cálculos convenientes relacionados

El cálculo conveniente de mapeos suaves apareció por primera vez en [Frölicher, 1981], [Kriegl 1982, 1983]. El cálculo conveniente (que tiene las propiedades 6 y 7) también existe para:

• Mapeos analíticos reales (Kriegl, Michor, 1990; ver también [KM], capítulo II).
• Mapeos holomórficos (Kriegl, Nel, 1985; ver también [KM], capítulo II). La noción de holomorfia es la de [Fantappié, 1930-33].
• Muchas clases de funciones ultradiferenciables de Denjoy Carleman, tanto de tipo Beurling como de tipo Roumieu [Kriegl, Michor, Rainer, 2009, 2011, 2015].
• Con algunas adaptaciones , [FK].${\ Displaystyle \ operatorname {Labio} ^ {k}}$
• Con más adaptaciones, incluso (es decir, la -ésima derivada es Hölder-continua con índice ) ([Faure, 1989], [Faure, These Geneve, 1991]).${\ Displaystyle C ^ {k, \ alpha}}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ alpha}$

La noción correspondiente de espacio vectorial conveniente es la misma (para su espacio vectorial real subyacente en el caso complejo) para todas estas teorías.

Aplicación: Múltiples de mapeos entre variedades de dimensión finita

La ley exponencial 6 del cálculo conveniente permite demostraciones muy simples de los hechos básicos sobre múltiples asignaciones. Sea y sea colectores lisos de dimensión finita donde es compacto . Usamos una métrica auxiliar de Riemann en . La aplicación exponencial de Riemann de se describe en el siguiente diagrama: ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle M}$ ${\ displaystyle {\ bar {g}}}$${\ Displaystyle N}$${\ displaystyle {\ bar {g}}}$

Induce un atlas de gráficos en el espacio de todas las asignaciones suaves de la siguiente manera. Un gráfico centrado en es: ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M, N)}$${\ Displaystyle M \ a N}$${\ Displaystyle f \ en C ^ {\ infty} (M, N)}$

${\ Displaystyle u_ {f}: C ^ {\ infty} (M, N) \ supset U_ {f} = \ {g: (f, g) (M) \ subset V ^ {N \ times N} \} \ a {\ tilde {U}} _ {f} \ subconjunto \ Gamma (f ^ {*} TN),}$

${\ Displaystyle u_ {f} (g) = (\ pi _ {N}, \ exp ^ {\ bar {g}}) ^ {- 1} \ circ (f, g), \ quad u_ {f} ( g) (x) = (\ exp _ {f (x)} ^ {\ bar {g}}) ^ {- 1} (g (x)),}$

${\ Displaystyle (u_ {f}) ^ {- 1} (s) = \ exp _ {f} ^ {\ bar {g}} \ circ s, \ qquad \ quad (u_ {f}) ^ {- 1 } (s) (x) = \ exp _ {f (x)} ^ {\ bar {g}} (s (x)).}$

Ahora los hechos básicos se explican fácilmente. Trivializar el paquete de vectores de retroceso y aplicar la ley exponencial 6 conduce al difeomorfismo ${\ displaystyle f ^ {*} TN}$

${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, \ Gamma (M; f ^ {*} TN)) = \ Gamma (\ mathbb {R} \ times M; \ operatorname {pr_ {2}} ^ {*} f ^ {*} TN).}$

Todas las asignaciones de cambios de gráfico son suaves ( ) ya que asignan curvas suaves a curvas suaves: ${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$

${\ Displaystyle {\ tilde {U}} _ {f_ {1}} \ ni s \ mapsto (\ pi _ {N}, \ exp ^ {\ bar {g}}) \ circ s \ mapsto (\ pi _ {N}, \ exp ^ {\ bar {g}}) \ circ (f_ {2}, \ exp _ {f_ {1}} ^ {\ bar {g}} \ circ s).}$

Así es una variedad suave modelada en espacios Fréchet. El espacio de todas las curvas suaves en esta variedad está dado por ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M, N)}$

${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, C ^ {\ infty} (M, N)) \ cong C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} \ times M, N).}$

Dado que asigna visiblemente curvas suaves a curvas suaves, la composición

${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (P, M) \ times C ^ {\ infty} (M, N) \ to C ^ {\ infty} (P, N), \ qquad (f, g) \ mapsto g \ circ f,}$

es suave. Como consecuencia de la estructura del gráfico, el paquete tangente de la variedad de asignaciones viene dado por

${\ Displaystyle \ pi _ {C ^ {\ infty} (M, N)} = C ^ {\ infty} (M, \ pi _ {N}): TC ^ {\ infty} (M, N) = C ^ {\ infty} (M, TN) \ a C ^ {\ infty} (M, N).}$

Grupos de Lie regulares

Sea un grupo de Lie suave conectado modelado en espacios vectoriales convenientes, con álgebra de Lie . La multiplicación y la inversión se denotan por: ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = T_ {e} G}$

${\ Displaystyle \ mu: G \ times G \ to G, \ quad \ mu (x, y) = xy = \ mu _ {x} (y) = \ mu ^ {y} (x), \ qquad \ nu : G \ a G, \ nu (x) = x ^ {- 1}.}$

La noción de un grupo de Lie regular se debe originalmente a Omori et al. para los grupos de Fréchet Lie, fue debilitado y hecho más transparente por J. Milnor, y luego fue trasladado a convenientes grupos de Lie; ver [KM], 38.4.

Un grupo de Lie se llama regular si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\ Displaystyle G}$

• Para cada curva suave en el álgebra de Lie, existe una curva suave en el grupo de Lie cuya derivada logarítmica derecha es . Resulta que está determinado únicamente por su valor inicial , si existe. Es decir,${\ Displaystyle X \ en C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, {\ mathfrak {g}})}$${\ Displaystyle g \ en C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, G)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle g (0)}$

${\ Displaystyle g (0) = mi, \ qquad \ parcial _ {t} g (t) = T_ {e} (\ mu ^ {g (t)}) X (t) = X (t) .g ( t).}$

Si es la única solución para la curva requerida arriba, denotamos ${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ operatorname {evol} _ {G} ^ {r} (X) = g (1), \ quad \ operatorname {Evol} _ {G} ^ {r} (X) (t): = g ( t) = \ operatorname {evol} _ {G} ^ {r} (tX).}$

• Se requiere que el siguiente mapeo sea fluido:

${\ Displaystyle \ operatorname {evol} _ {G} ^ {r}: C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, {\ mathfrak {g}}) \ to G.}$

Si es una curva constante en el álgebra de Lie, entonces es el mapeo exponencial del grupo. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ operatorname {evol} _ {G} ^ {r} (X) = \ exp ^ {G} (X)}$

Teorema. Para cada variedad compacta , el grupo de difeomorfismo es un grupo de Lie regular. Su álgebra de Lie es el espacio de todos los campos vectoriales suaves en , con el negativo del corchete habitual como corchete de Lie. ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ operatorname {Diff} (M)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {X}} (M)}$${\ Displaystyle M}$

Prueba: el grupo de difeomorfismo es una variedad suave ya que es un subconjunto abierto en . La composición es suave por restricción. La inversión es suave: si es una curva suave en , entonces f ( t ,)${\ Displaystyle \ operatorname {Diff} (M)}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M, M)}$${\ Displaystyle t \ af (t, \)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Diff} (M)}$⁻¹
${\ Displaystyle f (t, \) ^ {- 1} (x)}$satisface la ecuación implícita , por lo que según el teorema de la función implícita de dimensión finita, es suave. Por lo tanto, la inversión asigna curvas suaves a curvas suaves y, por lo tanto, la inversión es suave. Sea un campo vectorial dependiente del tiempo en (in ). Luego, el operador de flujo del campo vectorial autónomo correspondiente en induce al operador de evolución a través de ${\ Displaystyle f (t, f (t, \ quad) ^ {- 1} (x)) = x}$${\ Displaystyle (t, x) \ mapsto f (t, \) ^ {- 1} (x)}$${\ Displaystyle X (t, x)}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, {\ mathfrak {X}} (M))}$${\ Displaystyle \ operatorname {Fl}}$${\ Displaystyle \ parcial _ {t} \ veces X}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ times M}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Fl} _ {s} (t, x) = (t + s, \ operatorname {Evol} (X) (t, x))}$

que satisface la ecuación diferencial ordinaria

${\ Displaystyle \ partial _ {t} \ operatorname {Evol} (X) (t, x) = X (t, \ operatorname {Evol} (X) (t, x)).}$

Dada una curva suave en el álgebra de Lie , entonces la solución de la ecuación diferencial ordinaria depende suavemente también de la variable adicional , por lo que mapea curvas suaves de campos vectoriales dependientes del tiempo a curvas suaves de difeomorfismo. QED. ${\ Displaystyle X (s, t, x) \ en C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {2}, {\ mathfrak {X}} (M))}$${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle \ operatorname {evol} _ {\ operatorname {Diff} (M)} ^ {r}}$

El paquete principal de incrustaciones

Para colectores de dimensión finita y con compacto, el espacio de todas las incrustaciones suaves de en está abierto , por lo que es un colector suave. El grupo de difeomorfismo actúa libre y suavemente desde la derecha en adelante . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ operatorname {Emb} (M, N)}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M, N)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Diff} (M)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Emb} (M, N)}$

Teorema: es un haz de fibras principal con grupo de estructura . ${\ Displaystyle \ operatorname {Emb} (M, N) \ to \ operatorname {Emb} (M, N) / \ operatorname {Diff} (M)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Diff} (M)}$

Prueba: Se vuelve a utilizar una métrica auxiliar de Riemann en . Dada , vista como una subvariedad de , y dividir la restricción del paquete de la tangente a en el normal de subfibrado a y tangencial a como . Elija un vecindario tubular ${\ displaystyle {\ bar {g}}}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle f \ in \ operatorname {Emb} (M, N)}$${\ Displaystyle f (M)}$${\ Displaystyle N}$${\ displaystyle TN}$${\ Displaystyle f (M)}$${\ Displaystyle f (M)}$${\ Displaystyle f (M)}$${\ Displaystyle TN | _ {f (M)} = \ operatorname {Nor} (f (M)) \ oplus Tf (M)}$

${\ Displaystyle p_ {f (M)}: \ operatorname {Nor} (f (M)) \ supset W_ {f (M)} \ af (M).}$

Si está cerca de , entonces ${\ Displaystyle g: M \ a N}$${\ Displaystyle C ^ {1}}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ phi (g): = f ^ {- 1} \ circ \, p_ {f (M)} \ circ \, g \ in \ operatorname {Diff} (M) \ quad {\ text {y} } \ quad g \ circ \, \ phi (g) ^ {- 1} \ in \ Gamma (f ^ {*} W_ {f (M)}) \ subset \ Gamma (f ^ {*} \ operatorname {Nor } (f (M))).}$

Esta es la división local requerida. QED

Otras aplicaciones

En [Bauer, Bruveris, Michor, 2014] se puede encontrar una descripción general de las aplicaciones que utilizan la geometría de espacios de forma y grupos de difeomorfismo.

Notas

Referencias

• Bauer, M., Bruveris, M., Michor, PW: Descripción general de las geometrías de los espacios de forma y los grupos de difeomorfismo. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 50, 1-2, 60-97, 2014. (arXiv: 1305.11500)
• Boman, J .: Diferenciabilidad de una función y de su composición con una función de una variable, Mathematica Scandinavia vol. 20 (1967), 249-268.
• Faure, C.-A .: Sur un théorème de Boman, CR Acad. Sci., Paris}, vol. 309 (1989), 1003–1006.
• Faure, C.-A .: Théorie de la différentiation dans les espaces convenables, These, Université de Genève, 1991.
• Frölicher, A .: Aplicaciones lisses entre espaces et variétés de Fréchet, CR Acad. Sci. París, vol. 293 (1981), 125-127.
• [FK] Frölicher, A., Kriegl, A .: Espacios lineales y teoría de la diferenciación. Matemáticas puras y aplicadas, J. Wiley, Chichester, 1988.
• Kriegl, A .: Die richtigen Räume für Analysis im Unendlich - Dimensionalen, Monatshefte für Mathematik vol. 94 (1982) 109-124.
• Kriegl, A .: Eine kartesisch abgeschlossene Kategorie glatter Abbildungen zwischen beliebigen lokalkonvexen Vektorräumen, Monatshefte für Mathematik vol. 95 (1983) 287-309.
• [KM] Kriegl, A., Michor, PW: El entorno conveniente del análisis global. Encuestas y monografías de matemáticas, volumen: 53, American Mathematical Society, Providence, 1997. (pdf)
• Kriegl, A., Michor, PW, Rainer, A .: El escenario conveniente para asignaciones diferenciables no cuasianalíticas de Denjoy-Carleman, Journal of Functional Analysis, vol. 256 (2009), 3510–3544. (arXiv: 0804.2995)
• Kriegl, A., Michor, PW, Rainer, A .: El entorno conveniente para los mapeos diferenciables cuasianalíticos de Denjoy-Carleman, Journal of Functional Analysis, vol. 261 (2011), 1799–1834. (arXiv: 0909.5632)
• Kriegl, A., Michor, PW, Rainer, A .: El entorno conveniente para las asignaciones diferenciables de Denjoy-Carleman de tipo Beurling y Roumieu. Revista Matemática Complutense (2015). doi: 10.1007 / s13163-014-0167-1. (arXiv: 1111.1819)
• Michor, PW: Manifolds of mappings and shapes. (arXiv: 1505.02359)
• Steenrod, NE: Una categoría conveniente para espacios topológicos, Michigan Mathematical Journal, vol. 14 (1967), 133-152.