Apoyo (matemáticas) - Support (mathematics)

En matemáticas , el soporte de una función de valor real es el subconjunto del dominio que contiene los elementos que no están mapeados a cero. Si el dominio de es un espacio topológico , el soporte de se define en cambio como el conjunto cerrado más pequeño que contiene todos los puntos no mapeados a cero. Este concepto se utiliza mucho en el análisis matemático . ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$

Formulación

Supongamos que es una función real cuyo dominio es un conjunto arbitrario El${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle X.}$ El soporte teórico de conjuntos de loescritoes el conjunto de puntos endondeno es cero: ${\ Displaystyle f,}$${\ Displaystyle \ operatorname {supp} (f),}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f}$

El soporte de es el subconjunto más pequeño de con la propiedad que es cero en el complemento del subconjunto. Si para todos menos un número finito de puntos, entonces se dice que tiene${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f (x) = 0}$${\ Displaystyle x \ in X,}$${\ Displaystyle f}$soporte finito .

Si el conjunto tiene una estructura adicional (por ejemplo, una topología), entonces el soporte de se define de manera análoga como el subconjunto más pequeño de de un tipo apropiado tal que se desvanece en un sentido apropiado en su complemento. La noción de soporte también se extiende de forma natural a funciones que toman valores en conjuntos más generales y a otros objetos, como medidas o distribuciones . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Soporte cerrado

La situación más común se produce cuando es un espacio topológico (tal como la recta real o -dimensional espacio euclídeo ) y es un continuo real (o complejo ) función -valued. En este caso, el${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$el soporte de${\ Displaystyle f}$se define topológicamente como elcierre(tomado) del subconjunto dedondeno es cero, es decir, ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f}$

Dado que la intersección de conjuntos cerrados es cerrada, ¿ es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen el apoyo teórico de conjuntos de${\ Displaystyle \ operatorname {supp} (f)}$${\ Displaystyle f.}$

Por ejemplo, si es la función definida por ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

entonces el soporte de es el intervalo cerrado ya que no es cero en el intervalo abierto y el cierre de este conjunto es${\ Displaystyle f}$${\ displaystyle [-1,1],}$${\ Displaystyle f}$${\ displaystyle (-1,1)}$${\ displaystyle [-1,1].}$

La noción de soporte cerrado generalmente se aplica a funciones continuas, pero la definición tiene sentido para funciones arbitrarias reales o de valor complejo en un espacio topológico, y algunos autores no requieren que (o ) sea continuo. ${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {C}}$

Soporte compacto

Funciones con soporte compacto en un espacio topológicoson aquellos cuyo soporte cerrado es unsubconjuntocompactodeSies la línea real, oespacio euclidiano -dimensional, entonces una función tiene soporte compacto si y solo si tiene${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle n}$soporte acotado , ya que un subconjunto dees compacto si y solo si está cerrado y acotado. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Por ejemplo, la función definida anteriormente es una función continua con soporte compacto Si es una función suave entonces porque está idénticamente en el subconjunto abierto todas las derivadas parciales de todos los órdenes también están idénticamente en${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle [-1,1].}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ operatorname {supp} (f),}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ operatorname {supp} (f).}$

La condición de soporte compacto es más fuerte que la condición de desaparecer en el infinito . Por ejemplo, la función definida por ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

se desvanece al infinito, ya que como pero su soporte no es compacto. ${\ Displaystyle f (x) \ to 0}$${\ Displaystyle | x | \ to \ infty,}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Las funciones suaves de valor real soportadas de forma compacta en un espacio euclidiano se denominan funciones de relieve . Los suavizadores son un caso especial importante de funciones de relieve, ya que se pueden usar en la teoría de la distribución para crear secuencias de funciones suaves que se aproximan a funciones no suaves (generalizadas), mediante convolución .

En buenos casos , las funciones con soporte compacto son densas en el espacio de funciones que se desvanecen en el infinito, pero esta propiedad requiere algún trabajo técnico para justificarla en un ejemplo dado. Como una intuición para ejemplos más complejos, y en el lenguaje de los límites , para cualquier función en la línea real que se desvanece en el infinito puede aproximarse eligiendo un subconjunto compacto apropiado de tal que ${\ Displaystyle \ varepsilon> 0,}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

para todos donde está la función indicadora de Cada función continua en un espacio topológico compacto tiene un soporte compacto ya que cada subconjunto cerrado de un espacio compacto es realmente compacto. ${\ Displaystyle x \ in X,}$${\ Displaystyle I_ {C}}$${\ Displaystyle C.}$

Soporte esencial

Si es un

espacio de medida topológica con una medida de Borel (como o un subconjunto medible de Lebesgue equipado con medida de Lebesgue), entonces normalmente se identifican funciones que son iguales en casi todas partes. En ese caso, el${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ Displaystyle \ mu}$El soporte esencial de una función medibleescritase define como el subconjunto cerrado más pequeñodetal que-casi en todas partes fuera de maneraequivalente,es el complemento delconjunto abiertomás grandeen el que-casi en todas partes ${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ operatorname {ess \, supp} (f),}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f = 0}$ ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle F.}$${\ Displaystyle \ operatorname {ess \, supp} (f)}$${\ Displaystyle f = 0}$ ${\ Displaystyle \ mu}$

$${\ Displaystyle \ operatorname {ess \, supp} (f): = X \ setminus \ bigcup \ left \ {\ Omega \ subseteq X: \ Omega {\ text {está abierto y}} f = 0 \, \ mu { \ text {-casi en todas partes en}} \ Omega \ right \}.}$$

El soporte esencial de una función depende tanto de la

medida como de la misma y puede ser estrictamente menor que el soporte cerrado. Por ejemplo, si la función de Dirichlet está en números irracionales y en números racionales, y está equipada con la medida de Lebesgue, entonces el soporte de es el intervalo completo pero el soporte esencial de está vacío, ya que es igual en casi todas partes a la función cero. . ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle f,}$${\ Displaystyle f: [0,1] \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle [0,1]}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle [0,1],}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$

En el análisis, uno casi siempre quiere usar el soporte esencial de una función, en lugar de su soporte cerrado, cuando los dos conjuntos son diferentes, por lo que a menudo se escribe simplemente como soporte. ${\ Displaystyle \ operatorname {ess \, supp} (f)}$${\ Displaystyle \ operatorname {supp} (f)}$

Generalización

Si es un conjunto arbitrario que contiene cero, el concepto de soporte se puede generalizar inmediatamente a funciones. El soporte también se puede definir para cualquier

estructura algebraica con identidad (como un álgebra de grupo , monoide o composición ), en la que el elemento identidad asume el papel de cero. Por ejemplo, la familia de funciones desde los números naturales hasta los enteros es el conjunto incontable de secuencias enteras. La subfamilia es el conjunto contable de todas las secuencias enteras que tienen solo un número finito de entradas distintas de cero. ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle f: X \ a M.}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ left \ {f \ in \ mathbb {Z} ^ {\ mathbb {N}}: f {\ text {tiene soporte finito}} \ right \}}$

Las funciones de soporte finito se utilizan para definir estructuras algebraicas como anillos de grupo y grupos abelianos libres .

En teoría de la probabilidad y la medida

Más información: soporte (teoría de la medida)

En la teoría de la probabilidad , el apoyo de una distribución de probabilidad puede pensarse libremente como el cierre del conjunto de valores posibles de una variable aleatoria que tiene esa distribución. Sin embargo, hay algunas sutilezas a considerar cuando se trata de distribuciones generales definidas en un álgebra sigma , en lugar de en un espacio topológico.

Más formalmente, si es una variable aleatoria, entonces el soporte de es el conjunto cerrado más pequeño tal que${\ Displaystyle X: \ Omega \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle R_ {X} \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle P \ left (X \ in R_ {X} \ right) = 1.}$

Sin embargo, en la práctica, el soporte de una variable aleatoria discreta a menudo se define como el conjunto y el soporte de una

variable aleatoria continua se define como el conjunto donde es una función de densidad de probabilidad de (el soporte de la teoría de conjuntos ). ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle R_ {X} = \ {x \ in \ mathbb {R}: P (X = x)> 0 \}}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle R_ {X} = \ {x \ in \ mathbb {R}: f_ {X} (x)> 0 \}}$${\ Displaystyle f_ {X} (x)}$${\ Displaystyle X}$

Tenga en cuenta que la palabra soporte puede referirse al logaritmo de la probabilidad de una función de densidad de probabilidad.

Soporte de una distribución

También es posible hablar del soporte de una distribución , como la función delta de Dirac en la línea real. En ese ejemplo, podemos considerar funciones de prueba que son

funciones suaves con soporte sin incluir el punto Dado que (la distribución aplicada como funcional lineal a ) es para tales funciones, podemos decir que el soporte de es solo. Dado que las medidas (incluidas las medidas de probabilidad ) en la línea real son casos especiales de distribuciones, también podemos hablar del soporte de una medida de la misma manera. ${\ Displaystyle \ delta (x)}$${\ Displaystyle F,}$${\ Displaystyle 0.}$${\ Displaystyle \ delta (F)}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ {0 \}}$

Suponga que es una distribución, y que es un conjunto abierto en el espacio euclidiano tal que, para todas las funciones de prueba tales que el soporte de está contenido en Then se dice que se desvanece en Now, si se desvanece en una familia arbitraria de conjuntos abiertos, entonces para cualquier función de prueba apoyada en un argumento simple basado en la compacidad del soporte de y una partición de unidad también lo muestra . De ahí que podamos definir el

soporte de como el complemento del mayor conjunto abierto sobre el que se desvanece. Por ejemplo, el soporte del delta de Dirac es${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle U,}$ ${\ Displaystyle f (\ phi) = 0.}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle U.}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle U _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ bigcup U _ {\ alpha},}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle f (\ phi) = 0}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ {0 \}.}$

Soporte singular

En el análisis de Fourier en particular, es interesante estudiar laSoporte singular de una distribución. Esto tiene la interpretación intuitiva como el conjunto de puntos en los que una distribuciónno funciona correctamente.

Por ejemplo, la transformada de

Fourier de la función escalón de Heaviside puede, hasta factores constantes, ser considerada como (una función) excepto en Mientras que es claramente un punto especial, es más preciso decir que la transformada de la distribución tiene soporte singular : no se puede expresar con precisión como una función en relación con funciones de prueba con soporte incluido. Se puede expresar como una aplicación de una integral impropia del valor principal de Cauchy . ${\ Displaystyle 1 / x}$${\ Displaystyle x = 0.}$${\ Displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle \ {0 \}}$${\ Displaystyle 0.}$

Para distribuciones en varias variables, los soportes singulares permiten definir conjuntos de frentes de onda y comprender el principio de Huygens en términos de análisis matemático . Los soportes singulares también se pueden utilizar para comprender fenómenos especiales de la teoría de la distribución, como los intentos de 'multiplicar' distribuciones (la cuadratura de la función delta de Dirac falla, esencialmente porque los soportes singulares de las distribuciones que se van a multiplicar deben ser disjuntos).

Familia de apoyos

Una noción abstracta de familia de soportes en unespacio topológico adecuado para

la teoría de la gavilla, fue definida porHenri Cartan. Al extender ladualidad de Poincaréavariedadesque no son compactas, la idea del 'soporte compacto' entra naturalmente en un lado de la dualidad; véase, por ejemplo, la cohomología de Alexander-Spanier. ${\ Displaystyle X,}$

Bredon, Sheaf Theory (segunda edición, 1997) da estas definiciones. Una familia de subconjuntos cerrados de es una

familia de soportes , si está cerrada hacia abajo y cerrada bajo unión finita . Su extensión es la unión sobre una familia de soportes paracompactantes que satisface además que cualquiera en es, con la topología subespacial , un espacio paracompacto ; y tiene algunos en los que hay un barrio . Si es un espacio localmente compacto , Hausdorff asumió que la familia de todos los subconjuntos compactos satisface las condiciones adicionales, lo que lo hace paracompactificante. ${\ Displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ Phi.}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle X}$

Ver también

• Función acotada  - Función matemática
• Función de golpe: función  suave y compatible de forma compacta
• Soporte de un módulo
• Teorema de convolución de Titchmarsh

Citas

Referencias

• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .