Construcción (matemáticas) - Building (mathematics)

En matemáticas , un edificio (también edificio de Tits , llamado así por Jacques Tits ) es una estructura combinatoria y geométrica que generaliza simultáneamente ciertos aspectos de variedades de bandera , planos proyectivos finitos y espacios simétricos de Riemann . Los edificios fueron introducidos inicialmente por Jacques Tits como un medio para comprender la estructura de grupos excepcionales del tipo Lie . La teoría más especializada de los edificios de Bruhat-Tits (también llamada así por François Bruhat ) juega un papel en el estudio de los grupos de Lie p-ádicos análogos al de la teoría de los espacios simétricos en la teoría de los grupos de Lie .

Descripción general

La noción de edificio fue inventada por Jacques Tits como un medio para describir grupos algebraicos simples en un campo arbitrario . Tits demostraron cómo cada tal grupo G uno puede asociar un complejo simplicial Δ = Δ ( G ) con una acción de G , llamado el edificio esférico de G . El grupo G impone condiciones de regularidad combinatoria muy fuertes sobre los complejos Δ que pueden surgir de esta manera. Al tratar estas condiciones como axiomas para una clase de complejos simpliciales, Tits llegó a su primera definición de edificio. Una parte de los datos que definen un edificio Δ es un grupo de Coxeter W , que determina un complejo simplicial altamente simétrico Σ  =  Σ ( W , S ), llamado complejo de Coxeter . Un edificio Δ se pega entre sí a partir de múltiples copias de Σ, llamadas apartamentos , de una manera regular. Cuando W es un grupo de Coxeter finito, el complejo de Coxeter es una esfera topológica y se dice que los edificios correspondientes son de tipo esférico . Cuando W es un grupo de Weyl afín , el complejo de Coxeter es una subdivisión del plano afín y se habla de edificios afines o euclidianos . Un edificio de tipo afín es lo mismo que un árbol infinito sin vértices terminales.

Aunque la teoría de los grupos algebraicos semisimplejos proporcionó la motivación inicial para la noción de edificio, no todos los edificios surgen de un grupo. En particular, los planos proyectivos y los cuadrángulos generalizados forman dos clases de gráficos estudiados en geometría de incidencia que satisfacen los axiomas de un edificio, pero no pueden estar conectados con ningún grupo. Este fenómeno resulta estar relacionado con el bajo rango del sistema Coxeter correspondiente (a saber, dos). Tits demostró un teorema notable: todos los edificios esféricos de rango al menos tres están conectados con un grupo; además, si un edificio de rango al menos dos está conectado con un grupo, entonces el grupo está esencialmente determinado por el edificio.

Iwahori-Matsumoto, Borel-Tits y Bruhat-Tits demostraron que, en analogía con la construcción de edificios esféricos de Tits, los edificios afines también pueden construirse a partir de ciertos grupos, a saber, grupos algebraicos reductivos sobre un campo local no arquimediano . Además, si el rango dividido del grupo es de al menos tres, está esencialmente determinado por su estructura. Más tarde, Tits reelaboró ​​los aspectos fundamentales de la teoría de los edificios utilizando la noción de un sistema de cámaras , codificando el edificio únicamente en términos de propiedades de adyacencia de los simples de dimensión máxima; esto conduce a simplificaciones tanto en los casos esféricos como en los afines. Demostró que, en analogía con el caso esférico, todo edificio de tipo afín y rango al menos cuatro surge de un grupo.

Definición

Un edificio n - dimensional X es un complejo simple abstracto que es una unión de subcomplejos A llamados apartamentos de manera que

  • cada k -simplex de X está dentro de al menos tres n -simplices si k < n ;
  • cualquier ( n - 1) -simplex en un apartamento A se encuentra exactamente en dos n -simplices adyacentes de A y la gráfica de n -simplices adyacentes está conectada;
  • cualesquiera dos simples en X se encuentran en algún apartamento común A ;
  • si dos simples se encuentran en los apartamentos A y A ', entonces hay un isomorfismo simplicial de A en A ' fijando los vértices de los dos simples.

Un n- simple en A se llama cámara (originalmente chambre , es decir, habitación en francés ).

El rango del edificio se define como n + 1.

Propiedades elementales

Cada apartamento A de un edificio es un complejo Coxeter . De hecho, por cada dos n -simplicios que se cruzan en un ( n - 1) -simplex o panel , hay un período único de dos automorfismos simpliciales de A , llamado reflexión , que lleva uno n -simplex al otro y fija sus puntos comunes. . Estas reflexiones generan un grupo de Coxeter W , llamado el grupo Weyl de A , y las complejas simplicial A corresponde a la realización geométrica estándar de W . Generadores estándar del Grupo Coxeter están dadas por las reflexiones en las paredes de una cámara fija en A . Dado que el apartamento A está determinado hasta el isomorfismo por el edificio, lo mismo ocurre con dos simples en X que se encuentran en algún apartamento A común . Cuando W es finito, se dice que el edificio es esférico . Cuando se trata de un grupo Weyl afín , se dice que el edificio es afín o euclidiano .

El sistema de cámaras es el gráfico de adyacencia formado por las cámaras; cada par de cámaras adyacentes puede además ser etiquetado por uno de los generadores estándar del grupo Coxeter (ver Tits 1981 ).

Cada edificio tiene una métrica de longitud canónica heredada de la realización geométrica obtenida al identificar los vértices con una base ortonormal de un espacio de Hilbert . Para edificios afines, esta métrica satisface la desigualdad de comparación CAT (0) de Alexandrov , conocida en este entorno como la condición de curvatura no positiva de Bruhat-Tits para triángulos geodésicos: la distancia desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto no es mayor que la distancia en el triángulo euclidiano correspondiente con las mismas longitudes de lado (ver Bruhat y Tits 1972 ).

Conexión con pares BN

Si un grupo G actúa de forma simple sobre un edificio X , transitivamente sobre pares (C, A) de cámaras C y apartamentos A que las contienen, entonces los estabilizadores de dicho par definen un par BN o sistema de Tits . De hecho, el par de subgrupos

B = G C y N = G A

satisface los axiomas de un par BN y el grupo Weyl pueden ser identificados con N / N B . Por el contrario, el edificio se puede recuperar del par BN, de modo que cada par BN define canónicamente un edificio. De hecho, usando la terminología de pares BN y llamando a cualquier conjugado de B un subgrupo de Borel y a cualquier grupo que contenga un subgrupo de Borel un subgrupo parabólico ,

  • los vértices del edificio X corresponden a subgrupos parabólicos máximos;
  • k + 1 vértices forman un k -simplex siempre que la intersección de los subgrupos parabólicos máximos correspondientes también sea parabólica;
  • apartamentos son conjugados de bajo G de la simplicial subcomplex con vértices dado por conjugados bajo N de parabólicas máximas que contienen B .

El mismo edificio a menudo se puede describir mediante diferentes pares BN. Además, no todos los edificios provienen de un par BN: esto corresponde a la falla de los resultados de clasificación en un rango y dimensión bajos (ver más abajo).

Edificios esféricos y afines para SL n

La estructura simple de los edificios afines y esféricos asociados a SL n ( Q p ), así como sus interconexiones, son fáciles de explicar directamente usando sólo conceptos del álgebra elemental y la geometría (ver Garrett 1997 ). En este caso hay tres edificios diferentes, dos esféricos y uno afín. Cada uno es una unión de apartamentos , en sí mismos complejos simpliciales. Para el edificio afín, un apartamento es un complejo simple que divide el espacio euclidiano E n −1 en mosaicos ( n  - 1) -dimensionales; mientras que para un edificio esférico es el complejo simplicial finito formado por todos (n-1) ! simplices con un vértice común dado en la teselación análoga en E n −2 .

Cada edificio es un complejo simplicial X que debe satisfacer los siguientes axiomas:

  • X es una unión de apartamentos.
  • Dos simples cualesquiera en X están contenidos en un apartamento común.
  • Si un simplex está contenido en dos apartamentos, existe un isomorfismo simplicial de uno sobre el otro fijando todos los puntos comunes.

Edificio esférico

Sea F un campo y sea X el complejo simplicial con vértices los subespacios vectoriales no triviales de V  =  F n . Dos subespacios U 1 y U 2 están conectados si uno de ellos es un subconjunto del otro. Los k -simplices de X están formados por conjuntos de k + 1 subespacios conectados entre sí. La conectividad máxima se obtiene tomando n - 1 subespacios no triviales propios y el correspondiente ( n  - 1) -simplex corresponde a una bandera completa

(0) U 1 ··· U n - 1 V

Los simplices de menor dimensión corresponden a banderas parciales con menos subespacios intermedios U i .

Para definir los departamentos en X conviene definir un marco en V como base ( v i ) determinada hasta la multiplicación escalar de cada uno de sus vectores v i ; en otras palabras, un marco es un conjunto de subespacios unidimensionales L i = F · v i tal que cualquier k de ellos genera un subespacio k -dimensional. Ahora, una trama ordenada L 1 , ..., L n define una bandera completa a través de

U i = L 1 ··· L i

Desde reordenamientos de la L i 'también S dar un marco, es fácil ver que los subespacios, obtenido como sumas de la L i ' s, forman un complejo simplicial del tipo requerido para un apartamento de un edificio esférica. Los axiomas de un edificio se pueden verificar fácilmente utilizando el argumento de refinamiento clásico de Schreier utilizado para demostrar la singularidad de la descomposición de Jordan-Hölder .

Edificio afín

Sea K un campo que se encuentra entre Q y su terminación p-ádica Q p con respecto a la norma p-ádica no arquimediana habitual || x || p en Q para algunos primos p . Sea R el subanillo de K definido por

Cuando K = Q , R es la localización de Z en p y, cuando K = Q p , R = Z p , los enteros p-ádicos , es decir, el cierre de Z en Q p .

Los vértices del edificio X son las R - celosías en V = K n , es decir, R - submódulos de la forma

L = R · v 1 ··· R · v n

donde ( v i ) es una base de V sobre K . Se dice que dos celosías son equivalentes si una es un múltiplo escalar de la otra por un elemento del grupo multiplicativo K * de K (de hecho, solo es necesario usar potencias enteras de p ). Se dice que dos rejillas L 1 y L 2 son adyacentes si alguna rejilla equivalente a L 2 se encuentra entre L 1 y su subrrejilla p · L 1 : esta relación es simétrica. Los k -simplices de X son clases de equivalencia de k + 1 celosías mutuamente adyacentes, Los ( n  - 1) - simplices corresponden, después del reetiquetado, a cadenas

p · L n L 1 L 2 ··· L n - 1 L n

donde cada cociente sucesivo tiene orden p . Los apartamentos se definen fijando una base ( v i ) de V y tomando todas las celosías con base ( p a i v i ) donde ( a i ) se encuentra en Z n y se determina de forma única hasta la suma del mismo número entero a cada entrada.

Por definición cada apartamento tiene la forma requerida y su unión es el conjunto de X . El segundo axioma sigue una variante del argumento de refinamiento de Schreier. El último axioma sigue por un argumento de conteo simple basado en los órdenes de grupos abelianos finitos de la forma

L + p k · L i / p k · L i .

Un argumento estándar compacidad muestra que X es, de hecho, independiente de la elección de K . En particular, tomando K = Q , se deduce que X es contable. Por otro lado, tomando K = Q p , la definición muestra que GL n ( Q p ) admite una acción simplicial natural sobre el edificio.

El edificio está equipado con un etiquetado de sus vértices con valores en Z / n Z . De hecho, al fijar un retículo de referencia L , la etiqueta de M viene dada por

etiqueta ( M ) = log p | M / p k L | módulo n

para k suficientemente grande. Los vértices de cualquier ( n - 1) -simplex en X tienen etiquetas distintas, corriendo a través de la totalidad de Z / n Z . Cualquier automorfismo simplicial φ de X define una permutación π de Z / n Z tal que etiqueta (φ ( M )) = π (etiqueta ( M )). En particular para g en GL n ( Q p ),

etiqueta ( g · M ) = etiqueta ( M ) + log p || det g || p módulo n .

Por tanto, g conserva las etiquetas si g se encuentra en SL n ( Q p ).

Automorfismos

Tits demostró que cualquier automorfismo que conserve la etiqueta del edificio afín surge de un elemento de SL n ( Q p ). Dado que los automorfismos del edificio permutan las etiquetas, existe un homomorfismo natural

Aut X S n .

La acción de GL n ( Q p ) da lugar a un ciclo n  τ . Otros automorfismos del edificio surgen de automorfismos externos de SL n ( Q p ) asociados con automorfismos del diagrama de Dynkin . Tomando la forma bilineal simétrica estándar con base ortonormal v i , el mapa que envía una celosía a su celosía dual da un automorfismo cuyo cuadrado es la identidad, dando la permutación σ que envía cada etiqueta a su módulo n negativo . La imagen del homomorfismo anterior es generada por σ y τ y es isomorfa al grupo diedro D n de orden 2n ; cuando n = 3, da la totalidad de S 3 .

Si E es una extensión de Galois finita de Q p y el edificio se construye a partir de SL n ( E ) en lugar de SL n ( Q p ), el grupo Galois Gal ( E / Q p ) también actuará mediante automorfismos en el edificio.

Relaciones geométricas

Los edificios esféricos surgen de dos formas bastante diferentes en relación con el edificio afín X para SL n ( Q p ):

  • El enlace de cada vértice L en el edificio afín corresponde a los submódulos de L / p · L bajo el campo finito F = R / p · R = Z / ( p ). Este es solo el edificio esférico para SL n ( F ).
  • El edificio X se puede compactar agregando el edificio esférico para SL n ( Q p ) como límite "en el infinito" (ver Garrett 1997 o Brown 1989 ).

Árboles de Bruhat-Tits con multiplicación compleja

Cuando L es un campo local de Arquímedes, entonces en el edificio para el grupo SL 2 ( L ) se puede imponer una estructura adicional de un edificio con multiplicación compleja. Estos fueron introducidos por primera vez por Martin L. Brown ( Brown 2004 ). Estos edificios surgen cuando una extensión cuadrática de L actúa sobre el espacio vectorial L 2 . Estos edificios con multiplicación compleja pueden extenderse a cualquier campo global. Describen la acción de los operadores de Hecke en los puntos de Heegner en la curva modular clásica X 0 ( N ) así como en la curva modular de Drinfeld X 0 Drin ( I ). Estos edificios con multiplicación compleja están completamente clasificados para el caso de SL 2 ( L ) en Brown 2004

Clasificación

Tits demostró que todos los edificios esféricos irreducibles (es decir, con un grupo de Weyl finito ) de rango superior a 2 están asociados a grupos algebraicos o clásicos simples. Un resultado similar es válido para los edificios afines irreductibles de dimensión superior a dos (sus edificios "en el infinito" son esféricos de rango superior a dos). En rango o dimensión inferior, no existe tal clasificación. De hecho, cada estructura de incidencia da una construcción esférica de rango 2 (ver Pott 1995 ); y Ballmann y Brin demostraron que todo complejo simplicial bidimensional en el que los enlaces de los vértices son isomorfos al complejo bandera de un plano proyectivo finito tiene la estructura de un edificio, no necesariamente clásico. Se han construido muchos edificios afines bidimensionales utilizando grupos de reflexión hiperbólicos u otras construcciones más exóticas conectadas con orbifolds .

Tits también demostró que cada vez que un edificio es descrito por un par BN en un grupo, entonces en casi todos los casos los automorfismos del edificio corresponden a automorfismos del grupo (ver Tits 1974 ).

Aplicaciones

La teoría de la edificación tiene aplicaciones importantes en varios campos bastante dispares. Además de las conexiones ya mencionadas con la estructura de grupos algebraicos reductivos sobre campos generales y locales, los edificios se utilizan para estudiar sus representaciones . Los resultados de Tits sobre la determinación de un grupo por su construcción tienen conexiones profundas con los teoremas de rigidez de George Mostow y Grigory Margulis , y con la aritmeticidad de Margulis .

Se estudian tipos especiales de edificios en matemáticas discretas, y la idea de un enfoque geométrico para caracterizar grupos simples resultó muy fructífera en la clasificación de grupos simples finitos . La teoría de edificios de tipo más general que esféricos o afines todavía está relativamente poco desarrollada, pero estos edificios generalizados ya han encontrado aplicaciones para la construcción de grupos Kac-Moody en álgebra, y para variedades de curvas no positivas y grupos hiperbólicos en topología y teoría de grupos geométricos .

Ver también

Referencias

enlaces externos