Modelo Black – Derman – Toy - Black–Derman–Toy model

En finanzas matemáticas , el modelo Black-Derman-Toy ( BDT ) es un modelo popular de tasa corta que se utiliza en la fijación de precios de opciones de bonos , permutas y otros derivados de tasas de interés ; ver modelo Lattice (finanzas) § Derivados de tipos de interés . Es un modelo de un factor; es decir, un solo factor estocástico , la tasa corta, determina la evolución futura de todas las tasas de interés. Fue el primer modelo que combinó el comportamiento de reversión a la media de la tasa corta con la distribución logarítmica normal y todavía se utiliza ampliamente.

Historia

El modelo fue presentado por Fischer Black , Emanuel Derman y Bill Toy. Fue desarrollado por primera vez para uso interno por Goldman Sachs en la década de 1980 y se publicó en el Financial Analysts Journal en 1990. En las memorias de Emanuel Derman, My Life as a Quant, se proporciona una descripción personal del desarrollo del modelo .

Fórmulas

Bajo BDT, utilizando una red binomial , se calibran los parámetros del modelo para que se ajusten tanto a la estructura temporal actual de las tasas de interés ( curva de rendimiento ) como a la estructura de volatilidad para los límites máximos de las tasas de interés (generalmente como lo implican los precios Black-76 para cada componente). cápsula); ver aparte. Utilizando la red calibrada, se puede valorar una variedad de valores y derivados de tipos de interés más complejos y sensibles a las tasas de interés .

Aunque inicialmente desarrollado para un entorno basado en celosía, se ha demostrado que el modelo implica la siguiente ecuación diferencial estocástica continua :

${\ Displaystyle d \ ln (r) = [\ theta _ {t} + {\ frac {\ sigma '_ {t}} {\ sigma _ {t}}} \ ln (r)] dt + \ sigma _ { t} \, dW_ {t}}$

donde,

${\ Displaystyle r \,}$ = la tasa corta instantánea en el tiempo t

${\ Displaystyle \ theta _ {t} \,}$ = valor del activo subyacente al vencimiento de la opción

${\ Displaystyle \ sigma _ {t} \,}$ = volatilidad instantánea de la tasa corta

${\ Displaystyle W_ {t} \,}$= un movimiento browniano estándar bajo una medida de probabilidad neutral al riesgo; su diferencial .${\ Displaystyle dW_ {t} \,}$

Para una volatilidad constante (independiente del tiempo) de las tasas cortas , el modelo es: ${\ Displaystyle \ sigma \,}$

${\ Displaystyle d \ ln (r) = \ theta _ {t} \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$

Una razón por la que el modelo sigue siendo popular es que los algoritmos "estándar" de búsqueda de raíces , como el método de Newton (el método de la secante ) o la bisección, se aplican muy fácilmente a la calibración. En relación con esto, el modelo se describió originalmente en lenguaje algorítmico y no utilizando cálculo estocástico ni martingalas .

Referencias

Notas

enlaces externos

• Función R para calcular el árbol de tipos cortos de Black – Derman – Toy , Andrea Ruberto
• En línea: Generador de árboles de tipos cortos de Black-Derman-Toy Dr. Shing Hing Man, Gestión de riesgos de Thomson-Reuters
• En línea: Fijación de precios de un bono usando el modelo BDT Dr. Shing Hing Man, Gestión de riesgos de Thomson-Reuters
• Calculadora Excel BDT y generador de árboles , Serkan Gur