Conjetura de Atiyah - Atiyah conjecture

En matemáticas , la conjetura de Atiyah es un término colectivo para una serie de afirmaciones sobre restricciones sobre los posibles valores de los números -Betti . ${\ Displaystyle l ^ {2}}$

Historia

En 1976, Michael Atiyah introdujo la -cohomología de variedades con una acción co-compacta libre de un grupo contable discreto (por ejemplo, la cubierta universal de una variedad compacta junto con la acción del grupo fundamental por transformaciones de cubierta ). Atiyah también definió los números -Betti como dimensiones de von Neumann de los grupos de cohomología resultantes , y calculó varios ejemplos, que resultaron ser números racionales. Por lo tanto, preguntó si es posible que los números -Betti sean irracionales . ${\ Displaystyle l ^ {2}}$${\ Displaystyle l ^ {2}}$${\ Displaystyle l ^ {2}}$${\ Displaystyle l ^ {2}}$

Desde entonces, varios investigadores hicieron preguntas más refinadas sobre los posibles valores de los números -Betti, todos los cuales se conocen habitualmente como "conjetura de Atiyah". ${\ Displaystyle l ^ {2}}$

Resultados

Peter Linnell probó muchos resultados positivos . Por ejemplo, si el grupo que actúa es un grupo libre, entonces los números -Betti son números enteros. ${\ Displaystyle l ^ {2}}$

La pregunta más general abierta a finales de 2011 es si los números de Betti son racionales si hay un límite en los órdenes de los subgrupos finitos del grupo que actúa. De hecho, se conjetura una relación precisa entre los posibles denominadores y los órdenes en cuestión; en el caso de grupos libres de torsión, esta afirmación generaliza la conjetura de los divisores cero . Para una discusión, vea el artículo de B. Eckmann. ${\ Displaystyle l ^ {2}}$

En el caso de que no exista tal límite, Tim Austin demostró en 2009 que -Los números Betti pueden asumir valores trascendentales. Más tarde se demostró que en ese caso pueden ser números reales no negativos. ${\ Displaystyle l ^ {2}}$

Referencias

• Atiyah, M. F (1976). "Operadores elípticos, grupos discretos y álgebras de von Neumann". Coloque "Analyse et Topologie" en l'Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974) . París: Soc. Matemáticas. Francia. págs. 43–72. Astérisque, núm. 32–33.

• Austin, Tim (2013). "Elementos de anillo de grupo racional con núcleos que tienen dimensión irracional". Actas de la London Mathematical Society . 107 (6): 1424-1448. arXiv : 0909.2360 . doi : 10.1112 / plms / pdt029 .

• Eckmann, Beno (2000). "Introducción a los métodos en topología: homología reducida , cadenas armónicas, números Betti". Revista de Matemáticas de Israel . 117 . págs. 183–219. doi : 10.1007 / BF02773570 .${\ Displaystyle \ ell _ {2}}$${\ Displaystyle \ ell _ {2}}$${\ Displaystyle \ ell _ {2}}$