Teorema de punto fijo de Atiyah-Bott - Atiyah–Bott fixed-point theorem

En matemáticas , la Atiyah-Bott de punto fijo teorema , probado por Michael Atiyah y Raoul Bott en la década de 1960, es una forma general de la Lefschetz teorema de punto fijo para múltiples lisos M , que utiliza un elíptica complejo en M . Se trata de un sistema de operadores diferenciales elípticos sobre haces de vectores , generalizando el complejo de Rham construido a partir de formas diferenciales suaves que aparece en el teorema del punto fijo original de Lefschetz.

Formulación

La idea es encontrar el reemplazo correcto para el número de Lefschetz , que en el resultado clásico es un número entero que cuenta la contribución correcta de un punto fijo de un mapeo suave.

${\ Displaystyle f \ colon M \ a M.}$

Intuitivamente, los puntos fijos son los puntos de intersección de la gráfica de f con la diagonal (gráfica del mapeo de identidad) adentro , y el número de Lefschetz se convierte así en un número de intersección . El teorema de Atiyah-Bott es una ecuación en la que el LHS debe ser el resultado de un cálculo topológico global (homológico) y el RHS una suma de las contribuciones locales en puntos fijos de f . ${\ Displaystyle M \ times M}$

Contando codimensiones en , un supuesto de transversalidad para la gráfica de fy la diagonal debería asegurar que el conjunto de puntos fijos sea de dimensión cero. Suponiendo que M una variedad cerrada debería asegurar entonces que el conjunto de intersecciones sea finito, produciendo una suma finita como el RHS de la fórmula esperada. Los datos adicionales necesarios se relacionan con el complejo elíptico de paquetes de vectores , a saber, un mapa de paquetes${\ Displaystyle M \ times M}$${\ Displaystyle E_ {j}}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {j} \ colon f ^ {- 1} (E_ {j}) \ to E_ {j}}$

para cada j , de modo que los mapas resultantes en las secciones dan lugar a un endomorfismo de un complejo elíptico . Tal endomorfismo tiene el número de Lefschetz${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T}$

${\ Displaystyle L (T),}$

que por definición es la suma alterna de sus trazas en cada parte graduada de la homología del complejo elíptico.

La forma del teorema es entonces

${\ Displaystyle L (T) = \ sum _ {x} \ left (\ sum _ {j} (- 1) ^ {j} \ mathrm {trace} \, \ varphi _ {j, x} \ right) / \ delta (x).}$

Aquí traza significa la traza de en un punto fijo x de f , y es el determinante del endomorfismo en x , con la derivada de f (la no desaparición de esto es una consecuencia de la transversalidad). La suma externa está sobre los puntos fijos x , y la suma interna sobre el índice j en el complejo elíptico. ${\ Displaystyle \ varphi _ {j, x}}$${\ Displaystyle \ varphi _ {j}}$${\ Displaystyle \ delta (x)}$${\ Displaystyle I-Df}$${\ Displaystyle Df}$

La especialización del teorema de Atiyah-Bott en el complejo de Rham de formas diferenciales suaves produce la fórmula de punto fijo original de Lefschetz. Una famosa aplicación del teorema de Atiyah-Bott es una prueba simple de la fórmula del carácter de Weyl en la teoría de los grupos de Lie .

Historia

La historia temprana de este resultado está entrelazada con la del teorema del índice de Atiyah-Singer . Hubo otra entrada, como sugiere el nombre alternativo de teorema de punto fijo de Woods Hole que se usó en el pasado (refiriéndose apropiadamente al caso de puntos fijos aislados). Una reunión de 1964 en Woods Hole reunió a un grupo variado:

Eichler inició la interacción entre los teoremas del punto fijo y las formas automórficas . Shimura jugó un papel importante en este desarrollo al explicar esto a Bott en la conferencia de Woods Hole en 1964.

Como dice Atiyah:

[en la conferencia] ... Bott y yo nos enteramos de una conjetura de Shimura sobre una generalización de la fórmula de Lefschetz para mapas holomórficos. Después de mucho esfuerzo nos convencimos de que debería haber una fórmula general de este tipo [...]; .

y fueron conducidos a una versión para complejos elípticos.

En el recuerdo de William Fulton , quien también estuvo presente en la conferencia, el primero en presentar una prueba fue Jean-Louis Verdier .

Pruebas

En el contexto de la geometría algebraica , la afirmación se aplica a variedades suaves y adecuadas en un campo algebraicamente cerrado. Esta variante de la fórmula de punto fijo de Atiyah-Bott fue probada por Kondyrev y Prikhodko (2018) al expresar ambos lados de la fórmula como trazas categóricas elegidas apropiadamente .

Ver también

• Fórmula de residuos bott

Notas

Referencias

• Atiyah, Michael F .; Bott, Raoul (1966), "Una fórmula de punto fijo de Lefschetz para operadores diferenciales elípticos" , Boletín de la American Mathematical Society , 72 (2): 245–50, doi : 10.1090 / S0002-9904-1966-11483-0 . Esto establece un teorema que calcula el número de Lefschetz de un endomorfismo de un complejo elíptico.
• Atiyah, Michael F .; Bott, Raoul (1967), "Una fórmula de punto fijo de Lefschetz para complejos elípticos: I", Annals of Mathematics , Segunda serie, 86 (2): 374–407, doi : 10.2307 / 1970694 , JSTOR   1970694 y Atiyah, Michael F .; Bott, Raoul (1968), "Una fórmula de punto fijo de Lefschetz para complejos elípticos: II. Aplicaciones", Annals of Mathematics , Second Series, 88 (3): 451–491, doi : 10.2307 / 1970721 , JSTOR   1970721 . Éstos dan las pruebas y algunas aplicaciones de los resultados anunciados en el artículo anterior.

• Kondyrev, Grigory; Prikhodko, Artem (2018), "Prueba categórica de la fórmula holomórfica de Atiyah-Bott", J. Inst. Matemáticas. Jussieu : 1–25, arXiv : 1607.06345 , doi : 10.1017 / S1474748018000543

enlaces externos

• Tu, Loring W. (21 de diciembre de 2005). "El teorema del punto fijo de Atiyah-Bott" . La vida y obra de Raoul Bott .
• Tu, Loring W. (noviembre de 2015). "Sobre la génesis del teorema del punto fijo de Woods Hole" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 1200–1206.