Arbelos - Arbelos

An arbelos (región gris)

Escultura de Arbelos en Kaatsheuvel , Países Bajos

En geometría , un arbelos es una región plana delimitada por tres semicírculos con tres vértices de modo que cada esquina de cada semicírculo se comparte con uno de los otros (conectados), todos en el mismo lado de una línea recta (la línea de base ) que contiene su diámetros .

La primera referencia conocida a esta figura se encuentra en el Libro de Lemas de Arquímedes , donde algunas de sus propiedades matemáticas se expresan como Proposiciones 4 a 8. La palabra arbelos en griego significa "cuchillo de zapatero". La figura está estrechamente relacionada con la Cadena Pappus .

Propiedades

Dos de los semicírculos son necesariamente cóncava, con diámetros arbitrarias una y b ; el tercer semicírculo es convexo , con diámetro a + b .

Algunos puntos especiales sobre los arbelos.

Área

El área de los arbelos es igual al área de un círculo con diámetro . ${\ displaystyle HA}$

Prueba : Para la prueba, refleje los arbelos sobre la línea que pasa por los puntos y , y observe que el doble del área de los arbelos es lo que queda cuando las áreas de los dos círculos más pequeños (con diámetros ) se restan del área del círculo grande. (con diámetro ). Puesto que el área de un círculo es proporcional al cuadrado del diámetro ( Euclides 's Elementos , Libro XII, la Propuesta 2; no necesitamos saber que la constante de proporcionalidad es ), el problema se reduce a mostrar que . La longitud es igual a la suma de las longitudes y , por lo tanto, esta ecuación se simplifica algebraicamente al enunciado de que . Por tanto, la afirmación es que la longitud del segmento es la media geométrica de las longitudes de los segmentos y . Ahora (ver Figura) el triángulo , al estar inscrito en el semicírculo, tiene un ángulo recto en el punto (Euclides, Libro III, Proposición 31) y, en consecuencia, es de hecho una "media proporcional" entre y (Euclides, Libro VI, Proposición 8 , Porismo). Esta prueba se aproxima al argumento griego antiguo; Harold P. Boas cita un artículo de Roger B. Nelsen que implementó la idea como la siguiente prueba sin palabras . ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle BA}$ ${\ displaystyle AC}$ ${\ Displaystyle BC}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}$ ${\ Displaystyle 2 (AH) ^ {2} = (BC) ^ {2} - (AC) ^ {2} - (BA) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle (BC)}$ ${\ Displaystyle (BA)}$ ${\ Displaystyle (AC)}$ ${\ displaystyle (AH) ^ {2} = (BA) (AC)}$ ${\ displaystyle AH}$ ${\ Displaystyle BA}$ ${\ displaystyle AC}$ ${\ Displaystyle BHC}$ ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle (HA)}$ ${\ Displaystyle (BA)}$ ${\ Displaystyle (AC)}$

Rectángulo

Sean y los puntos donde los segmentos y intersecan los semicírculos y , respectivamente. El cuadrilátero es en realidad un rectángulo . ${\ Displaystyle D}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ displaystyle BH}$ ${\ Displaystyle CH}$ ${\ Displaystyle AB}$ ${\ displaystyle AC}$ ${\ Displaystyle ADHE}$

Demostración : Los ángulos , y son ángulos rectos porque están inscritos en semicírculos (según el teorema de Tales ). Por tanto, el cuadrilátero tiene tres ángulos rectos, por lo que es un rectángulo. QED

{\ displaystyle BDA}

{\ Displaystyle BHC}

{\ Displaystyle AEC}

{\ Displaystyle ADHE}

Tangentes

La línea es tangente al semicírculo en y al semicírculo en . ${\ displaystyle DE}$ ${\ Displaystyle BA}$ ${\ Displaystyle D}$ ${\ displaystyle AC}$ ${\ Displaystyle E}$

Prueba : dado que el ángulo BDA es un ángulo recto, el ángulo DBA es igual a π / 2 menos el ángulo DAB. Sin embargo, el ángulo DAH también es igual a π / 2 menos el ángulo DAB (ya que el ángulo HAB es un ángulo recto). Por lo tanto, los triángulos DBA y DAH son similares . Por lo tanto, el ángulo DIA es igual al ángulo DOH, donde I es el punto medio de BA y O es el punto medio de AH. Pero AOH es una línea recta, por lo que los ángulos DOH y DOA son ángulos suplementarios . Por tanto, la suma de los ángulos DIA y DOA es π. El ángulo IAO es un ángulo recto. La suma de los ángulos en cualquier cuadrilátero es 2π, por lo que en el cuadrilátero IDOA, el ángulo IDO debe ser un ángulo recto. Pero ADHE es un rectángulo, por lo que el punto medio O de AH (la diagonal del rectángulo) es también el punto medio de DE (la otra diagonal del rectángulo). Como I (definido como el punto medio de BA) es el centro del semicírculo BA, y el ángulo IDE es un ángulo recto, entonces DE es tangente al semicírculo BA en D. Por un razonamiento análogo, DE es tangente al semicírculo AC en E. QED

Círculos de Arquímedes

La altitud divide los arbelos en dos regiones, cada una delimitada por un semicírculo, un segmento de línea recta y un arco del semicírculo exterior. Los círculos inscritos en cada una de estas regiones, conocidos como los círculos de los arbelos de Arquímedes, tienen el mismo tamaño. ${\ displaystyle AH}$

Variaciones y generalizaciones

ejemplo de un f- belos

El parbelos es una figura similar a los arbelos, que usa segmentos de parábola en lugar de semicírculos. Una generalización que comprende tanto arbelos como parbelos es la f -belos, que utiliza un cierto tipo de funciones diferenciables similares.

En el modelo semiplano Poincaré del plano hiperbólico , un modelos Arbelos un triángulo ideales .

Etimología

El tipo de cuchillo de zapatero que dio nombre a la figura

El nombre arbelos proviene del griego ἡ ἄρβηλος he árbēlos o ἄρβυλος árbylos , que significa "cuchillo de zapatero", un cuchillo utilizado por los zapateros desde la antigüedad hasta nuestros días, cuya hoja se dice que se asemeja a la figura geométrica.

Ver también

Referencias

^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Arbelos" . MathWorld .
^ Thomas Little Heath (1897), Las obras de Arquímedes . Prensa de la Universidad de Cambridge. Proposición 4 del Libro de los Lemas . Cita: Si AB es el diámetro de un semicírculo y N cualquier punto de AB, y si los semicírculos se describen dentro del primer semicírculo y tienen AN, BN como diámetros respectivamente, la figura incluida entre las circunferencias de los tres semicírculos es "lo que Arquímedes llamó arbelos "; y su área es igual al círculo en PN como diámetro, donde PN es perpendicular a AB y se encuentra con el semicírculo original en P. ( "Arbelos - el cuchillo del zapatero" )
^ Nelsen, RB (2002). "Prueba sin palabras: El área de un arbelos". Matemáticas. Mag . 75 (2): 144. doi : 10.2307 / 3219152 .
^ Boas, Harold P. (2006). "Reflexiones sobre los Arbelos" . The American Mathematical Monthly . 113 (3): 236–249. doi : 10.2307 / 27641891 . JSTOR 27641891 .
^ Antonio M. Oller-Marcen: "Los f-belos" . En: Forum Geometricorum , Volumen 13 (2013), págs. 103-111.

Bibliografía

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Ogilvy, CS (1990). Excursiones en geometría . Dover. págs. 51–54 . ISBN 0-486-26530-7 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
Sondow, J. (2012). "Los parbelos, un análogo parabólico de los arbelos". arXiv : 1210.2279 [ matemáticas.HO ]. American Mathematical Monthly , 120 (2013), 929-935.
Wells, D. (1991). El Diccionario Penguin de Geometría Curiosa e Interesante . Nueva York: Penguin Books. págs. 5-6 . ISBN 0-14-011813-6 .

enlaces externos

Medios relacionados con Arbelos en Wikimedia Commons
La definición del diccionario de arbelos en Wikcionario

[wolfram-1] Weisstein, Eric W. "Arbelos" . MathWorld .

[archBLprop4-2] Thomas Little Heath (1897), Las obras de Arquímedes . Prensa de la Universidad de Cambridge. Proposición 4 del Libro de los Lemas . Cita: Si AB es el diámetro de un semicírculo y N cualquier punto de AB, y si los semicírculos se describen dentro del primer semicírculo y tienen AN, BN como diámetros respectivamente, la figura incluida entre las circunferencias de los tres semicírculos es "lo que Arquímedes llamó arbelos "; y su área es igual al círculo en PN como diámetro, donde PN es perpendicular a AB y se encuentra con el semicírculo original en P. ( "Arbelos - el cuchillo del zapatero" )

[RBNelsen_2002-3] Nelsen, RB (2002). "Prueba sin palabras: El área de un arbelos". Matemáticas. Mag . 75 (2): 144. doi : 10.2307 / 3219152 .

[4] Boas, Harold P. (2006). "Reflexiones sobre los Arbelos" . The American Mathematical Monthly . 113 (3): 236–249. doi : 10.2307 / 27641891 . JSTOR 27641891 .

[5] Antonio M. Oller-Marcen: "Los f-belos" . En: Forum Geometricorum , Volumen 13 (2013), págs. 103-111.

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