Cadena Pappus - Pappus chain

Una cadena de Pappus

En geometría , la cadena de Pappus es un anillo de círculos entre dos círculos tangentes investigados por Pappus de Alejandría en el siglo tercero AD .

Construcción

Los Arbelos está definida por dos círculos, C _T y C _V , que son tangentes en el punto A y en donde C _U está encerrado por C _V . Deje que los radios de estos dos círculos se denota como r _U y r _V , respectivamente, y dejar que sus respectivos centros de ser los puntos U y V . La cadena de Pappus consta de los círculos en la región gris sombreada, que son externamente tangentes a C _U (el círculo interno) e internamente tangentes a C _V (el círculo externo). Dejemos que el radio, el diámetro y el punto central del n- ^ésimo círculo de la cadena de Pappus se denoten como r _n , d _n y P _n , respectivamente.

Propiedades

Centros de los círculos

Elipse

Todos los centros de los círculos en la cadena de Pappus están ubicados en una elipse común , por la siguiente razón. La suma de las distancias desde el n- ^ésimo círculo de la cadena de Pappus a los dos centros U y V de los círculos de arbelos es igual a una constante

${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {P} _ {n} \ mathbf {U}}} + {\ overline {\ mathbf {P} _ {n} \ mathbf {V}}} = \ left (r_ { U} + r_ {n} \ derecha) + \ izquierda (r_ {V} -r_ {n} \ derecha) = r_ {U} + r_ {V}}$

Así, los focos de esta elipse son U y V , los centros de los dos círculos que definen los arbelos; estos puntos corresponden a los puntos medios de los segmentos de línea AB y AC , respectivamente.

Coordenadas

Si r = AC / AB , entonces el centro del n- ésimo círculo de la cadena es:

${\ Displaystyle \ left (x_ {n}, y_ {n} \ right) = \ left ({\ frac {r (1 + r)} {2 [n ^ {2} (1-r) ^ {2} + r]}} ~, ~ {\ frac {nr (1-r)} {n ^ {2} (1-r) ^ {2} + r}} \ right)}$

Radios de los círculos

Si r = AC / AB , entonces el radio del n- ésimo círculo de la cadena es:

${\ Displaystyle r_ {n} = {\ frac {(1-r) r} {2 [n ^ {2} (1-r) ^ {2} + r]}}}$

Inversión de círculo

Bajo una inversión particular centrada en A , los cuatro círculos iniciales de la cadena de Pappus se transforman en una pila de cuatro círculos del mismo tamaño, intercalados entre dos líneas paralelas. Esto explica la fórmula de la altura h _n = n d _n y el hecho de que los puntos originales de tangencia se encuentran en un círculo común.

La altura h _n del centro del n- ^ésimo círculo sobre el diámetro base ACB es igual a n veces d _n . Esto puede ser demostrado por invirtiendo en un círculo centrado en el punto tangente A . El círculo de inversión se elige para intersecar el n- ^ésimo círculo perpendicularmente, de modo que el n- ^ésimo círculo se transforme en sí mismo. Los dos círculos de arbelos, C _U y C _V , se transforman en líneas paralelas tangentes y intercaladas con el n- ^ésimo círculo; por lo tanto, los otros círculos de la cadena de Pappus se transforman en círculos intercalados de manera similar del mismo diámetro. El círculo inicial C ₀ y el círculo final C _n contribuyen cada uno ½ d _n a la altura h _n , mientras que los círculos C ₁ - C _{n −1} contribuyen cada uno d _n . Al sumar estas contribuciones, se obtiene la ecuación h _n = n d _n .

Se puede usar la misma inversión para mostrar que los puntos donde los círculos de la cadena de Pappus son tangentes entre sí se encuentran en un círculo común. Como se señaló anteriormente, la inversión centrada en el punto A transforma los círculos arbelos C _U y C _V en dos líneas paralelas, y los círculos de la cadena Pappus en una pila de círculos de igual tamaño intercalados entre las dos líneas paralelas. Por tanto, los puntos de tangencia entre los círculos transformados se encuentran en una línea a medio camino entre las dos líneas paralelas. Deshaciendo la inversión en el círculo, esta línea de puntos tangentes se transforma nuevamente en un círculo.

Cadena Steiner

En estas propiedades de tener centros en una elipse y tangencias en un círculo, la cadena de Pappus es análoga a la cadena de Steiner , en la que un número finito de círculos son tangentes a dos círculos.

Referencias

Bibliografía

• Ogilvy, CS (1990). Excursiones en geometría . Dover. págs.  54–55 . ISBN 0-486-26530-7.
• Bankoff, L. (1981). "¿Cómo lo hizo Pappus?". En Klarner, DA (ed.). El jardinero matemático . Boston: Prindle, Weber y Schmidt. págs. 112-118.
• Johnson, RA (1960). Geometría euclidiana avanzada: un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo (reimpresión de la edición de 1929 de Houghton Miflin ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 116-117. ISBN 978-0-486-46237-0.
• Wells, D. (1991). El Diccionario Penguin de Geometría Curiosa e Interesante . Nueva York: Penguin Books. págs.  5-6 . ISBN 0-14-011813-6.

enlaces externos

• Floer van Lamoen y Eric W. Weisstein. "Cadena de Pappus" . MathWorld .
• Tan, Stephen. "Arbelos" .