Abuso de notación - Abuse of notation

En matemáticas , el abuso de la notación ocurre cuando un autor usa una notación matemática de una manera que no es del todo formalmente correcta, pero que podría ayudar a simplificar la exposición o sugerir la intuición correcta (mientras que posiblemente minimice los errores y la confusión al mismo tiempo). Sin embargo, dado que el concepto de corrección formal / sintáctica depende tanto del tiempo como del contexto, ciertas notaciones en matemáticas que se señalan como abuso en un contexto podrían ser formalmente correctas en uno o más de otros contextos. Los abusos de notación dependientes del tiempo pueden ocurrir cuando se introducen notaciones nuevas en una teoría algún tiempo antes de que la teoría se formalice por primera vez; estos pueden corregirse formalmente solidificando y / o mejorando de otro modo la teoría. El abuso de la notación debe contrastarse con el mal uso de la notación, que no tiene los beneficios de presentación de la primera y debe evitarse (como el mal uso de las constantes de integración).

Un concepto relacionado es el abuso de lenguaje o el abuso de terminología, donde un término , en lugar de una notación, se usa incorrectamente. El abuso del lenguaje es una expresión casi sinónima de los abusos que no son de notación por naturaleza. Por ejemplo, mientras que la palabra representación designa apropiadamente un homomorfismo de grupo de un grupo G a GL ( V ) , donde V es un espacio vectorial , es común llamar a V "una representación de G ". Otro abuso común del lenguaje consiste en identificar dos objetos matemáticos que son diferentes, pero canónicamente isomórficos . Otros ejemplos incluyen identificar una función constante con su valor, identificar un grupo con una operación binaria con el nombre de su conjunto subyacente o identificar el espacio euclidiano de dimensión tres equipado con un sistema de coordenadas cartesiano . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Ejemplos de

Objetos matemáticos estructurados

Muchos objetos matemáticos consisten en un conjunto , a menudo llamado conjunto subyacente, equipado con alguna estructura adicional, como una operación matemática o una topología . Es un abuso común de la notación usar la misma notación para el conjunto subyacente y el objeto estructurado (un fenómeno conocido como supresión de parámetros ). Por ejemplo, puede denotar el conjunto de los enteros , el grupo de enteros junto con la suma o el anillo de los enteros con la suma y la multiplicación . En general, no hay problema con esto si el objeto de referencia se comprende bien, y evitar tal abuso de notación podría incluso hacer que los textos matemáticos sean más pedantes y más difíciles de leer. Cuando este abuso de notación puede resultar confuso, se puede distinguir entre estas estructuras al denotar el grupo de números enteros con suma y el anillo de números enteros. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z}, +, \ cdot)}$

De manera similar, un espacio topológico consta de un conjunto $X$ (el conjunto subyacente) y una topología que se caracteriza por un conjunto de subconjuntos de $X$ (los conjuntos abiertos ). Con mayor frecuencia, se considera solo una topología en $X$ , por lo que generalmente no hay problema en referir $X$ como el conjunto subyacente y el par que consta de $X$ y su topología , aunque son objetos matemáticos técnicamente distintos. No obstante, puede ocurrir en algunas ocasiones que dos topologías diferentes se consideren simultáneamente en un mismo conjunto. En cuyo caso, se debe tener cuidado y utilizar la notación como y para distinguir entre los diferentes espacios topológicos. ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}},}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$ ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {T}} ')}$

Notación de funciones

Uno puede encontrar, en muchos libros de texto, frases como "Sea $f (x)$ una función ...". Esto es un abuso de notación, ya que el nombre de la función es $f$ , y $f (x)$ usualmente denota el valor de la función $f$ para el elemento $x$ de su dominio. La frase correcta sería "Sea $f$ una función de la variable $x$ ..." o "Sea $x \mapsto f (x)$ una función ..." Este abuso de notación se usa ampliamente, ya que simplifica la formulación, y el uso sistemático de una notación correcta se vuelve rápidamente pedante.

Un abuso similar de notación ocurre en oraciones como "Consideremos la función $x 2 + x + 1$ ...", cuando en realidad $x 2 + x + 1$ no es una función. La función es la operación que se asocia $x 2 + x + 1$ a $x$ , a menudo indicado como $x \mapsto x 2 + x + 1$ . Sin embargo, este abuso de notación se usa ampliamente, ya que puede ayudar a evitar la pedantería sin ser confuso en general.

Igualdad vs isomorfismo

Muchas estructuras matemáticas se definen mediante una propiedad de caracterización (a menudo una propiedad universal ). Una vez que se define esta propiedad deseada, puede haber varias formas de construir la estructura, y los resultados correspondientes son objetos formalmente diferentes, pero que tienen exactamente las mismas propiedades (es decir, isomorfos ). Como no hay forma de distinguir estos objetos isomórficos a través de sus propiedades, es estándar considerarlos iguales, incluso si esto es formalmente incorrecto.

Un ejemplo de esto es el producto cartesiano , que a menudo se considera asociativo:

{\ Displaystyle (E \ times F) \ times G = E \ times (F \ times G) = E \ times F \ times G}

.

Pero esto es, estrictamente hablando, falso: si , y , la identidad implicaría que y , por lo tanto, no significaría nada. Sin embargo, estas igualdades pueden legitimarse y hacerse rigurosas en la teoría de categorías, utilizando la idea de un isomorfismo natural . ${\ Displaystyle x \ in E}$ ${\ Displaystyle y \ in F}$ ${\ Displaystyle z \ in G}$ ${\ Displaystyle ((x, y), z) = (x, (y, z))}$ ${\ Displaystyle (x, y) = x}$ ${\ Displaystyle z = (y, z)}$ ${\ Displaystyle ((x, y), z) = (x, y, z)}$

Otro ejemplo de abusos similares ocurre en afirmaciones como "hay dos grupos no abelianos de orden 8", que más estrictamente indica "hay dos clases de isomorfismos de grupos no abelianos de orden 8".

Clases de equivalencia

Hacer referencia a una clase de equivalencia de una relación de equivalencia mediante x en lugar de [ x ] es un abuso de notación. Formalmente, si un conjunto X está dividido por una relación de equivalencia ~, entonces para cada x ∈ X , la clase de equivalencia { y ∈ X | y ~ x } se denota [ x ]. Pero en la práctica, si el resto de la discusión se centra en las clases de equivalencia en lugar de los elementos individuales del conjunto subyacente, entonces es común eliminar los corchetes en la discusión.

Por ejemplo, en aritmética modular , se puede formar un grupo finito de orden n dividiendo los enteros mediante la relación de equivalencia " x ~ y si y solo si x ≡ y (mod n )". Los elementos de ese grupo serían entonces [0], [1], ..., [ n - 1], pero en la práctica generalmente se denotan simplemente como 0, 1, ..., n - 1.

Otro ejemplo es el espacio de (clases de) funciones mensurables sobre un espacio de medida , o clases de funciones integrables de Lebesgue , donde la relación de equivalencia es igualdad " casi en todas partes ".

Subjetividad

Los términos "abuso de lenguaje" y "abuso de notación" dependen del contexto. Escribir " $f : A \to B$ " para una función parcial de $A$ a $B$ es casi siempre un abuso de notación, pero no en un contexto teórico de categorías , donde $f$ puede verse como un morfismo en la categoría de conjuntos y funciones parciales.

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