Función de Walsh - Walsh function

Matriz de Hadamard ordenada natural y ordenada en secuencia de orden 16.
Especialmente la primera se suele llamar matriz de Walsh .
Ambos contienen las 16 funciones de Walsh de orden 16 como filas (y columnas).
En la matriz de la derecha, el número de cambios de signo por fila es consecutivo.

En matemáticas , más específicamente en el análisis armónico , las funciones de Walsh forman un conjunto ortogonal completo de funciones que se pueden usar para representar cualquier función discreta, al igual que las funciones trigonométricas se pueden usar para representar cualquier función continua en el análisis de Fourier . Por lo tanto, pueden verse como una contraparte digital discreta del sistema analógico continuo de funciones trigonométricas en el intervalo unitario . Pero a diferencia de las funciones seno y coseno, que son continuas , las funciones de Walsh son constantes por partes. Toman los valores -1 y +1 únicamente, en subintervalos definidos por fracciones diádicas .

El sistema de funciones de Walsh se conoce como sistema de Walsh . Es una extensión del sistema Rademacher de funciones ortogonales.

Las funciones de Walsh, el sistema de Walsh, la serie de Walsh y la transformada rápida de Walsh-Hadamard llevan el nombre del matemático estadounidense Joseph L. Walsh . Encuentran diversas aplicaciones en física e ingeniería al analizar señales digitales .

Históricamente, se han utilizado varias numeraciones de funciones de Walsh; ninguno de ellos es particularmente superior a otro. En este artículo usamos la numeración de Walsh-Paley .

Definición

Definimos la secuencia de funciones de Walsh , como sigue. ${\displaystyle W_{k}:[0,1]\rightarrow \{-1,1\}}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

Para cualquier número natural k , y número real , sea ${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle k_{j}}$ser el j- ésimo bit en la representación binaria de k , comenzando con el bit menos significativo, y${\displaystyle k_{0}}$

${\displaystyle x_{j}}$ser el j- ésimo bit en la representación binaria, comenzando con el bit fraccionario más significativo.${\displaystyle x_{1}}$

Entonces, por definición

${\displaystyle W_{k}(x)=(-1)^{\sum _{j=0}^{\infty }k_{j}x_{j+1}}}$

En particular, en todas partes del intervalo, ya que todos los bits de k son cero. ${\displaystyle W_{0}(x)=1}$

Nótese que es precisamente la función de Rademacher r _m . Por tanto, el sistema Rademacher es un subsistema del sistema Walsh. Además, cada función de Walsh es un producto de las funciones de Rademacher: ${\displaystyle W_{2^{m}}}$

${\displaystyle W_{k}(x)=\prod _{j=0}^{\infty }r_{j}(x)^{k_{j}}}$

Comparación entre funciones de Walsh y funciones trigonométricas

Funciones de Walsh y funciones trigonométricas son ambos sistemas que forman un completo, ortonormal conjunto de funciones, una base ortonormal en el espacio de Hilbert de los cuadrados-integrable funciones en el intervalo de la unidad. Ambos son sistemas de funciones limitadas, a diferencia de, digamos, el sistema Haar o el sistema Franklin. ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

Tanto los sistemas trigonométricos como los de Walsh admiten una extensión natural por periodicidad desde el intervalo unitario hasta la línea real . Además, tanto el análisis de Fourier en el intervalo unitario ( serie de Fourier ) como en la línea real ( transformada de Fourier ) tienen sus contrapartes digitales definidas a través del sistema de Walsh, la serie de Walsh análoga a la serie de Fourier y la transformada de Hadamard análoga a la transformada de Fourier. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Propiedades

El sistema de Walsh es un grupo discreto multiplicativo conmutativo isomorfo a , la Pontryagin dual de grupo Cantor . Su identidad es , y cada elemento es de orden dos (es decir, auto-inverso). ${\displaystyle \{W_{k}\},k\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \coprod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle W_{0}}$

El sistema de Walsh es una base ortonormal del espacio de Hilbert . Ortonormalidad significa ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}W_{k}(x)W_{l}(x)dx=\delta _{kl}}$,

y ser una base significa que si, para cada , establecemos entonces ${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$${\displaystyle f_{k}=\int _{0}^{1}f(x)W_{k}(x)dx}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}(f(x)-\sum _{k=0}^{N}f_{k}W_{k}(x))^{2}dx{\xrightarrow[{N\rightarrow \infty }]{}}0}$

Resulta que para todos , las series convergen en casi todos . ${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}W_{k}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in [0,1]}$

El sistema de Walsh (en Walsh-Paley numeración) forma una base Schauder en ,   . Tenga en cuenta que, a diferencia del sistema Haar , y al igual que el sistema trigonométrico, esta base no es incondicional , ni el sistema en el que se basa Schauder . ${\displaystyle L^{p}[0,1]}$${\displaystyle 1<p<\infty }$${\displaystyle L^{1}[0,1]}$

Generalizaciones

Sistemas de Walsh-Ferleger

Sea el grupo compacto de Cantor dotado de medida Haar y sea ​​su grupo discreto de personajes . Los elementos de se identifican fácilmente con las funciones de Walsh. Por supuesto, los caracteres se definen en mientras que las funciones de Walsh se definen en el intervalo unitario, pero como existe un isomorfismo de módulo cero entre estos espacios de medida , las funciones medibles en ellos se identifican mediante isometría . ${\displaystyle \mathbb {D} =\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\hat {\mathbb {D} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\hat {\mathbb {D} }}}$${\displaystyle \mathbb {D} }$

Entonces, la teoría de la representación básica sugiere la siguiente generalización amplia del concepto de sistema de Walsh .

Para una arbitraria espacio de Banach permiten ser un fuertemente continua acción fiel, uniformemente acotada de en X . Para cada uno , considere su espacio propio . Entonces X es el cerrado envolvente lineal de los espacios propios: . Suponga que cada espacio propio es unidimensional y elija un elemento tal que . Entonces, el sistema , o el mismo sistema en la numeración Walsh-Paley de los caracteres, se denomina sistema Walsh generalizado asociado con la acción . El sistema clásico de Walsh se convierte en un caso especial, a saber, para ${\displaystyle (X,||\cdot ||)}$${\displaystyle \{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }\subset Aut(X)}$${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle \gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle X_{\gamma }=\{x\in X:R_{t}x=\gamma (t)x\}}$${\displaystyle X={\overline {\operatorname {Span} }}(X_{\gamma },\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }})}$${\displaystyle w_{\gamma }\in X_{\gamma }}$${\displaystyle ||w_{\gamma }||=1}$${\displaystyle \{w_{\gamma }\}_{\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}}$${\displaystyle \{w_{k}\}_{k\in {\mathbb {N} }_{0}}}$${\displaystyle \{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }}$

${\displaystyle R_{t}:x=\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}2^{-j}\mapsto \sum _{j=1}^{\infty }(x_{j}\oplus t_{j})2^{-j}}$

donde es la suma módulo 2. ${\displaystyle \oplus }$

A principios de la década de 1990, Serge Ferleger y Fyodor Sukochev demostraron que en una amplia clase de espacios de Banach (los llamados espacios UMD ), los sistemas de Walsh generalizados tienen muchas propiedades similares al clásico: forman una base de Schauder y una descomposición dimensional finita uniforme en la espacio, tiene propiedad de convergencia incondicional aleatoria. Un ejemplo importante de sistema de Walsh generalizado es el sistema de Fermion Walsh en espacios L ^p no conmutativos asociados con el factor hiperfinito de tipo II .

Sistema Fermion Walsh

El sistema Fermion Walsh es un análogo no conmutativo o "cuántico" del sistema Walsh clásico. A diferencia de este último, consta de operadores, no de funciones. Sin embargo, ambos sistemas comparten muchas propiedades importantes, por ejemplo, ambos forman una base ortonormal en el espacio de Hilbert correspondiente, o una base de Schauder en los espacios simétricos correspondientes. Los elementos del sistema Fermion Walsh se denominan operadores de Walsh .

El término Fermión en el nombre del sistema se explica por el hecho de que el espacio del operador envolvente, el llamado factor hiperfinito de tipo II , puede verse como el espacio de observables del sistema de un número infinito numerable de fermiones de espín distintos . Cada operador de Rademacher actúa sobre una coordenada de fermión en particular, y allí está una matriz de Pauli . Puede identificarse con el componente de espín de medición observable de ese fermión a lo largo de uno de los ejes en el espacio de espín. Por lo tanto, un operador de Walsh mide el giro de un subconjunto de fermiones, cada uno a lo largo de su propio eje. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \{x,y,z\}}$

Sistema Vilenkin

Fijar una secuencia de enteros con y dejar dotado de la topología del producto y la medida de Haar normalizada. Defina y . Cada uno puede asociarse con el número real ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},...)}$${\displaystyle \alpha _{k}\geq 2,k=1,2,\dots }$${\displaystyle \mathbb {G} =\mathbb {G} _{\alpha }=\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\alpha _{k}\mathbb {Z} }$${\displaystyle A_{0}=1}$${\displaystyle A_{k}=\alpha _{1}\alpha _{2}\dots \alpha _{k-1}}$${\displaystyle x\in \mathbb {G} }$

${\displaystyle \left|x\right|=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x_{k}}{A_{k}}}\in \left[0,1\right].}$

Esta correspondencia es un isomorfismo de módulo cero entre y el intervalo unitario. También define una norma que genera la topología de . Porque , deja donde ${\displaystyle \mathbb {G} }$${\displaystyle \mathbb {G} }$${\displaystyle k=1,2,\dots }$${\displaystyle \rho _{k}:\mathbb {G} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \rho _{k}(x)=\exp(i{\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}})=\cos({\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}})+i\sin({\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}).}$

El conjunto se denomina sistema Rademacher generalizado . El sistema de Vilenkin es el grupo de caracteres (de valor complejo) de , que son todos productos finitos de . Para cada entero no negativo hay una secuencia única tal que y ${\displaystyle \{\rho _{k}\}}$${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\alpha _{k}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {G} }$${\displaystyle \{\rho _{k}\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{0},n_{1},\dots }$${\displaystyle 0\leq n_{k}<\alpha _{k+1},k=0,1,2,\dots }$

${\displaystyle n=\sum _{k=0}^{\infty }n_{k}A_{k}.}$

Entonces donde ${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}={\chi _{n}|n=0,1,\dots }}$

${\displaystyle \chi _{n}=\sum _{k=0}^{\infty }\rho _{k+1}^{n_{k}}.}$

En particular, si , entonces es el grupo de Cantor y es el sistema de Walsh-Paley (valor real). ${\displaystyle \alpha _{k}=2,k=1,2...}$${\displaystyle \mathbb {G} }$${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}=\left\{\chi _{n}|n=0,1,\dots \right\}}$

El sistema Vilenkin es un sistema ortonormal completo sobre y forma una base de Schauder en ,   . ${\displaystyle \mathbb {G} }$${\displaystyle L^{p}(\mathbb {G} ,\mathbb {C} )}$${\displaystyle 1<p<\infty }$

Superficies binarias

Romanuke demostró que las funciones de Walsh se pueden generalizar a superficies binarias en un caso particular de función de dos variables. También existen ocho bases similares a Walsh de funciones binarias ortonormales, cuya estructura no es regular (a diferencia de la estructura de las funciones de Walsh). Estas ocho bases también se generalizan a superficies (en el caso de la función de dos variables). Se demostró que las funciones constantes por partes se pueden representar dentro de cada una de las nueve bases (incluida la base de las funciones de Walsh) como sumas finitas de funciones binarias, cuando se ponderan con coeficientes adecuados.

Extensiones de fase no lineal

Se desarrollaron extensiones de fase no lineal de la transformada discreta de Walsh- Hadamard . Se demostró que las funciones de base de fase no lineal con propiedades de correlación cruzada mejoradas superan significativamente los códigos de Walsh tradicionales en las comunicaciones de acceso múltiple por división de código (CDMA).

Aplicaciones

Las aplicaciones de las funciones de Walsh se pueden encontrar dondequiera que se utilicen representaciones de dígitos, incluido el reconocimiento de voz , el procesamiento de imágenes médicas y biológicas y la holografía digital .

Por ejemplo, la transformada rápida de Walsh-Hadamard (FWHT) puede utilizarse en el análisis de métodos digitales cuasi-Monte Carlo . En radioastronomía , las funciones de Walsh pueden ayudar a reducir los efectos de la diafonía eléctrica entre las señales de antena. También se utilizan en paneles LCD pasivos como formas de onda de conducción binaria X e Y, donde la autocorrelación entre X e Y puede reducirse al mínimo para los píxeles que están apagados.

Ver también

• Transformada discreta de Fourier
• Transformada rápida de Fourier
• Análisis armónico
• Funciones ortogonales
• Matriz de Walsh
• Función de paridad

Notas

Referencias

• Ferleger, Sergei V. (marzo de 1998). Sistemas RUC en espacios simétricos no conmutativos (informe técnico). MP-ARC-98-188.

• Ferleger, Sergei V .; Sukochev, Fyodor A. (marzo de 1996). "Sobre la contractibilidad a un punto de los grupos lineales de espacios Lp reflexivos no conmutativos". Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 119 (3): 545–560. Código Bibliográfico : 1996MPCPS.119..545F . doi : 10.1017 / s0305004100074405 .

• Fine, Nueva Jersey (1949). "Sobre las funciones de Walsh" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc . 65 (3): 372–414. doi : 10.1090 / s0002-9947-1949-0032833-2 .

• Pisier, Gilles (2011). Martingalas en Banach Spaces (en relación con Type y Cotype). Curso de PHI (PDF) .

• Romanuke, VV (2010a). "Sobre el punto de generalizar las funciones de Walsh a superficies" .

• Romanuke, VV (2010b). "Generalización de las ocho bases ortonormales conocidas de funciones binarias a superficies" .

• Romanuke, VV (2010c). "Equidistantemente discreto sobre las funciones del eje de argumentos y su representación en la serie de bases ortonormales" .

• Schipp, Ferenc; Wade, WR; Simon, P. (1990). Serie de Walsh. Una introducción al análisis armónico diádico . Akadémiai Kiadó.

• Sukochev, Fyodor A .; Ferleger, Sergei V. (diciembre de 1995). "Análisis armónico en (UMD) -espacios: Aplicaciones a la teoría de bases". Notas matemáticas . 58 (6): 1315-1326. doi : 10.1007 / bf02304891 . S2CID  121256402 .

• Walsh, JL (1923). "Un conjunto cerrado de funciones ortogonales normales" . Amer. J. Math. 45 (1): 5–24. doi : 10.2307 / 2387224 . JSTOR  2387224 . S2CID  6131655 .

• Young, W.-S. (1976). "Convergencia media de series de Walsh-Fourier generalizadas" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 218 : 311–320. doi : 10.1090 / s0002-9947-1976-0394022-8 . JSTOR  1997441 .

enlaces externos

• "Funciones de Walsh" . MathWorld .

• "Funciones de Walsh" . Enciclopedia de Matemáticas .

• "Sistema de Walsh" . Enciclopedia de Matemáticas .

• "Funciones de Walsh" . Proyecto de exploración de Stanford .