Traducción de axes - Translation of axes

En matemáticas , una traslación de ejes en dos dimensiones es una cartografía de un xy - sistema de coordenadas cartesianas a un x'y ' -Cartesian sistema de coordenadas en el que la x' eje es paralelo a los x eje y k unidades de distancia, y la y ' eje es paralelo a los y eje y h unidades de distancia. Esto significa que el origen O ' del nuevo sistema de coordenadas tiene coordenadas ( h , k ) en el sistema original. Se considera que las direcciones x ' e y' positivas son las mismas que las direcciones x e y positivas . Un punto P tiene coordenadas ( x , y ) con respecto al sistema original y coordenadas ( x ' , y' ) con respecto al nuevo sistema, donde

${\ Displaystyle x = x '+ h}$      y      ${\ Displaystyle y = y '+ k}$

( 1 )

o equivalente

${\ Displaystyle x '= xh}$      y      ${\ Displaystyle y '= yk.}$

( 2 )

En el nuevo sistema de coordenadas, el punto P parecerá trasladado en la dirección opuesta. Por ejemplo, si el sistema xy se traslada una distancia h hacia la derecha y una distancia k hacia arriba, entonces P parecerá haber sido trasladado una distancia h hacia la izquierda y una distancia k hacia abajo en el sistema x'y ' . Una traslación de ejes en más de dos dimensiones se define de manera similar. Una traslación de ejes es una transformación rígida , pero no un mapa lineal . (Consulte Transformación afín ).

Motivación

Los sistemas de coordenadas son esenciales para estudiar las ecuaciones de curvas utilizando los métodos de geometría analítica . Para utilizar el método de geometría de coordenadas, los ejes se colocan en una posición conveniente con respecto a la curva considerada. Por ejemplo, para estudiar las ecuaciones de elipses e hipérbolas , los focos suelen estar situados en uno de los ejes y se sitúan simétricamente con respecto al origen. Si la curva (hipérbola, parábola , elipse, etc.) no está ubicada convenientemente con respecto a los ejes, el sistema de coordenadas debe cambiarse para colocar la curva en una ubicación y orientación conveniente y familiar. El proceso de realizar este cambio se llama transformación de coordenadas .

Las soluciones a muchos problemas se pueden simplificar trasladando los ejes de coordenadas para obtener nuevos ejes paralelos a los originales.

Traducción de secciones cónicas

Mediante un cambio de coordenadas, la ecuación de una sección cónica se puede poner en una forma estándar , con la que generalmente es más fácil trabajar. Para la ecuación más general de segundo grado, siempre es posible realizar una rotación de ejes de tal manera que en el nuevo sistema la ecuación tome la forma

${\ Displaystyle Ax ^ {2} + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0}$     ( y no ambos cero);${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle C}$

( 3 )

es decir, no existe un término xy . A continuación, una traslación de ejes puede reducir una ecuación de la forma ( 3 ) a una ecuación de la misma forma pero con nuevas variables ( x ' , y' ) como coordenadas, y con D y E iguales a cero (con ciertas excepciones —Por ejemplo, parábolas). La principal herramienta en este proceso es "completar el cuadrado". En los ejemplos que siguen, se supone que ya se ha realizado una rotación de ejes.

Ejemplo 1

Dada la ecuación

${\ Displaystyle 9x ^ {2} + 25y ^ {2} + 18x-100y-116 = 0,}$

mediante el uso de una traslación de ejes, determine si el lugar geométrico de la ecuación es una parábola, elipse o hipérbola. Determine focos (o foco), vértices (o vértice) y excentricidad .

Solución: Para completar el cuadrado de x e y , escribir la ecuación en la forma

${\ displaystyle 9 (x ^ {2} + 2x \ qquad) +25 (y ^ {2} -4y \ qquad) = 116.}$

Completa los cuadrados y obtén

${\ displaystyle 9 (x ^ {2} + 2x + 1) +25 (y ^ {2} -4y + 4) = 116 + 9 + 100}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow 9 (x + 1) ^ {2} +25 (y-2) ^ {2} = 225.}$

Definir

${\ Displaystyle x '= x + 1}$      y      ${\ Displaystyle y '= y-2.}$

Es decir, la traslación en las ecuaciones ( 2 ) se realiza con La ecuación en el nuevo sistema de coordenadas es ${\ Displaystyle h = -1, k = 2.}$

${\ displaystyle 9x '^ {2} + 25y' ^ {2} = 225.}$

( 4 )

Divida la ecuación ( 4 ) por 225 para obtener

${\ Displaystyle {\ frac {x '^ {2}} {25}} + {\ frac {y' ^ {2}} {9}} = 1,}$

que es reconocible como una elipse con En el sistema x'y ' , tenemos: centro ; vértices ; focos${\ Displaystyle a = 5, b = 3, c ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2} = 16, c = 4, e = {\ tfrac {4} {5}}.}$${\ Displaystyle (0,0)}$${\ Displaystyle (\ pm 5,0)}$${\ Displaystyle (\ pm 4,0).}$

En el sistema xy , use las relaciones para obtener: centro ; vértices ; focos ; excentricidad${\ Displaystyle x = x'-1, y = y '+ 2}$${\ displaystyle (-1,2)}$${\ Displaystyle (4,2), (- 6,2)}$${\ Displaystyle (3,2), (- 5,2)}$${\ displaystyle {\ tfrac {4} {5}}.}$

Generalización a varias dimensiones

Para un sistema de coordenadas xyz- cartesiano en tres dimensiones, suponga que se introduce un segundo sistema de coordenadas cartesiano, con los ejes x ' , y' y z ' ubicados de manera que el eje x' sea ​​paralelo al eje x y h unidades a partir de él, el y ' eje es paralelo a los y eje y k unidades de ella, y la z' eje es paralelo a los z eje y L unidades de la misma. Un punto P en el espacio tendrá coordenadas en ambos sistemas. Si sus coordenadas son ( x , y , z ) en el sistema original y ( x ' , y' , z ' ) en el segundo sistema, las ecuaciones

${\ Displaystyle x '= xh, \ qquad y' = yk, \ qquad z '= zl}$

( 5 )

sostener. Las ecuaciones ( 5 ) definen una traslación de ejes en tres dimensiones donde ( h , k , l ) son las coordenadas xyz del nuevo origen. Una traslación de ejes en cualquier número finito de dimensiones se define de manera similar.

Traslación de superficies cuádricas

En tres espacios, la ecuación más general de segundo grado en x , y y z tiene la forma

${\ displaystyle Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cz ^ {2} + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Kz + L = 0,}$

( 6 )

donde las cantidades son números positivos o negativos o cero. Los puntos en el espacio que satisfacen tal ecuación se encuentran todos en una superficie . Cualquier ecuación de segundo grado que no se reduzca a un cilindro, plano, línea o punto corresponde a una superficie que se llama cuadrática. ${\ Displaystyle A, B, C, \ ldots, L}$

Como en el caso de la geometría analítica plana, el método de traslación de ejes se puede utilizar para simplificar ecuaciones de segundo grado, haciendo así evidente la naturaleza de ciertas superficies cuádricas. La principal herramienta en este proceso es "completar el cuadrado".

Ejemplo 2

Utilice una traslación de coordenadas para identificar la superficie cuadrática

${\ displaystyle x ^ {2} + 4y ^ {2} + 3z ^ {2} + 2x-8y + 9z = 10.}$

Solución: escribe la ecuación en la forma

${\ displaystyle x ^ {2} + 2x \ qquad +4 (y ^ {2} -2y \ qquad) +3 (z ^ {2} + 3z \ qquad) = 10.}$

Completa el cuadrado para obtener

${\ displaystyle (x + 1) ^ {2} +4 (y-1) ^ {2} +3 (z + {\ tfrac {3} {2}}) ^ {2} = 10 + 1 + 4 + { \ tfrac {27} {4}}.}$

Introducir la traducción de coordenadas

${\ displaystyle x '= x + 1, \ qquad y' = y-1, \ qquad z '= z + {\ tfrac {3} {2}}.}$

La ecuación de la superficie toma la forma

${\ displaystyle x '^ {2} + 4y' ^ {2} + 3z '^ {2} = {\ tfrac {87} {4}},}$

que es reconocible como la ecuación de un elipsoide .

Ver también

• Traducción (geometría)

Notas

Referencias

• Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5.a ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Protter, Murray H .; Morrey, Jr., Charles B. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2a ed.), Lectura: Addison-Wesley , LCCN  76087042