Ley de Torricelli - Torricelli's law

La ley de Torricelli describe la velocidad de separación de un chorro de agua, basada en la distancia debajo de la superficie a la que comienza el chorro, asumiendo que no hay resistencia del aire, viscosidad u otro obstáculo para el flujo del fluido. Este diagrama muestra varios de estos chorros, alineados verticalmente, dejando el depósito horizontalmente. En este caso, los chorros tienen una envolvente (concepto también debido a Torricelli) que es una línea que desciende a 45 ° desde la superficie del agua sobre los chorros. Cada chorro llega más lejos que cualquier otro chorro en el punto donde toca la envoltura, que está al doble de la profundidad de la fuente del chorro. La profundidad a la que se cruzan dos chorros es la suma de sus profundidades de origen. Cada chorro (aunque no salga horizontalmente) toma un camino parabólico cuya directriz es la superficie del agua.

La ley de Torricelli , también conocida como teorema de Torricelli , es un teorema en dinámica de fluidos que relaciona la velocidad del fluido que fluye desde un orificio con la altura del fluido por encima de la abertura. La ley establece que la velocidad v de salida de un fluido a través de un orificio de bordes afilados en el fondo de un tanque lleno hasta una profundidad h es la misma que la velocidad que un cuerpo (en este caso una gota de agua) adquiriría en cayendo libremente desde una altura h , es decir , donde g es la aceleración debida a la gravedad (9,81 m / s ² cerca de la superficie de la Tierra). Esta expresión proviene de igualar la energía cinética ganada, con la energía potencial perdida, mgh , y despejar v . La ley fue descubierta (aunque no en esta forma) por el científico italiano Evangelista Torricelli , en 1643. Más tarde se demostró que era un caso particular del principio de Bernoulli . ${\ Displaystyle v = {\ sqrt {2gh}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$

Derivación

Bajo los supuestos de un fluido incompresible con viscosidad insignificante , el principio de Bernoulli establece que

${\ Displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + gy + {\ frac {p} {\ rho}} = {\ text {constante}},}$

donde es la velocidad del fluido, es la aceleración debida a la gravedad (aproximadamente 9,81 m / s ² en la superficie de la Tierra), es la altura sobre algún punto de referencia, es la presión y es la densidad. Por lo tanto, para dos puntos cualesquiera en el líquido, ${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle {\ frac {{v_ {1}} ^ {2}} {2}} + g_ {1} y_ {1} + {\ frac {p_ {1}} {\ rho _ {1}}} = {\ frac {{v_ {2}} ^ {2}} {2}} + g_ {2} y_ {2} + {\ frac {p_ {2}} {\ rho _ {2}}}.}$

El primer punto se puede tomar en la superficie del líquido y el segundo justo fuera de la abertura. Dado que se supone que el líquido es incompresible, es igual a ; ambos pueden estar representados por un símbolo . Además, cuando la abertura es muy pequeña en relación con la sección transversal horizontal del contenedor, se supone que la velocidad de la superficie es insignificante ( ). se supone que es prácticamente igual en ambos puntos, por lo que . ${\ Displaystyle \ rho _ {1}}$${\ Displaystyle \ rho _ {2}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle v_ {1} = 0}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle g_ {1} = g_ {2} = g}$

${\ Displaystyle gy_ {1} + {\ frac {p_ {1}} {\ rho}} = {\ frac {{v_ {2}} ^ {2}} {2}} + gy_ {2} + {\ frac {p_ {2}} {\ rho}}}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow v_ {2} = {\ sqrt {2g (y_ {1} -y_ {2}) + 2 (p_ {1} -p_ {2}) / \ rho}}.}$

${\ Displaystyle y_ {1} -y_ {2}}$es igual a la altura de la superficie del líquido sobre la abertura. y son típicamente ambos a presión atmosférica, entonces . ${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle p_ {1}}$${\ Displaystyle p_ {2}}$${\ Displaystyle p_ {1} = p_ {2} \ Rightarrow p_ {1} -p_ {2} = 0}$

${\ Displaystyle v_ {2} = {\ sqrt {2gh}}.}$

Evidencia experimental

La ley de Torricelli se puede demostrar en el experimento de la lata de chorro, que está diseñado para mostrar que en un líquido con una superficie abierta, la presión aumenta con la profundidad. Consiste en un tubo con tres orificios separados y una superficie abierta. Se bloquean los tres orificios y luego se llena el tubo con agua. Cuando está lleno, los agujeros se desbloquean. Cuanto más bajo está un chorro en el tubo, más potente es. La velocidad de salida del fluido es mayor más abajo del tubo.

Ignorando la viscosidad y otras pérdidas, si las boquillas apuntan verticalmente hacia arriba, entonces cada chorro alcanzará la altura de la superficie del líquido en el recipiente.

Coeficiente de descarga

Si se comparan las predicciones teóricas sobre el proceso de descarga de un tanque con una medición real, se pueden encontrar diferencias muy grandes en algunos casos. En realidad, el tanque suele drenarse mucho más lentamente. Para obtener una mejor aproximación al caudal volumétrico realmente medido, en la práctica se utiliza un coeficiente de descarga :

${\ Displaystyle {\ Displaystyle {\ dot {V}} _ {\ text {real}} = \ mu \ cdot {\ dot {V}} _ {\ text {ideal}}}}$

El coeficiente de descarga tiene en cuenta tanto la reducción de la velocidad de descarga debido al comportamiento viscoso del líquido ("coeficiente de velocidad") como la reducción de la sección transversal de salida efectiva debido a la vena contracta ("coeficiente de contracción" ). Para líquidos de baja viscosidad (como agua) que fluyen por un orificio redondo en un tanque, el coeficiente de descarga es del orden de 0,65. Al descargar a través de un tubo redondo o una manguera, el coeficiente de descarga se puede aumentar a más de 0,9. Para aberturas rectangulares, el coeficiente de descarga puede ser de hasta 0,67, dependiendo de la relación altura-ancho.

Aplicaciones

Distancia horizontal recorrida por el chorro de líquido

Si es la altura del orificio sobre el suelo y la altura de la columna de líquido desde el suelo (altura de la superficie del líquido), entonces la distancia horizontal cubierta por el chorro de líquido para alcanzar el mismo nivel que la base de la columna de líquido puede ser derivado fácilmente. Dado que es la altura vertical recorrida por una partícula de corriente en chorro, tenemos de las leyes de la caída del cuerpo ${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle h}$

${\ Displaystyle h = {\ frac {1} {2}} gt ^ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad t = {\ sqrt {\ frac {2h} {g}}},}$

donde es el tiempo que tarda la partícula del chorro en caer desde el orificio al suelo. Si la velocidad de salida horizontal es , entonces la distancia horizontal recorrida por la partícula del chorro durante el tiempo es ${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle t}$

${\ Displaystyle D = vt = v {\ sqrt {\ frac {2h} {g}}}.}$

Dado que el nivel del agua está por encima del orificio, la velocidad de salida horizontal está dada por la ley de Torricelli. Por lo tanto, tenemos de las dos ecuaciones ${\ Displaystyle Hh}$${\ Displaystyle v = {\ sqrt {2g (Hh)}},}$

${\ Displaystyle D = 2 {\ sqrt {h (Hh)}}.}$

La ubicación del orificio que produce el rango horizontal máximo se obtiene diferenciando la ecuación anterior para con respecto a y resolviendo . Aquí tenemos ${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle dD / dh = 0}$

${\ Displaystyle {\ frac {dD} {dh}} = {\ frac {H-2h} {\ sqrt {h (Hh)}}}.}$

Resolviendo obtenemos ${\ Displaystyle dD / dh = 0,}$

${\ Displaystyle h ^ {*} = {\ frac {H} {2}},}$

y el rango máximo

${\ Displaystyle D _ {\ max} = H.}$

Problema de Clepsidra

Una clepsidra de afluencia

Una clepsidra es un reloj que mide el tiempo por el flujo de agua. Consiste en una olla con un pequeño orificio en el fondo por el que puede salir el agua. La cantidad de agua que escapa da la medida del tiempo. Según la ley de Torricelli, la velocidad de salida a través del agujero depende de la altura del agua; ya medida que el nivel del agua disminuye, la descarga no es uniforme. Una solución simple es mantener constante la altura del agua. Esto se puede lograr dejando que una corriente constante de agua fluya hacia el interior del recipiente, cuyo desbordamiento se deja escapar por la parte superior, desde otro agujero. Así, teniendo una altura constante, el agua de descarga del fondo se puede recoger en otro recipiente cilíndrico con graduación uniforme para medir el tiempo. Esta es una clepsidra de entrada.

Alternativamente, seleccionando cuidadosamente la forma del recipiente, se puede hacer que el nivel del agua en el recipiente disminuya a una velocidad constante. Al medir el nivel de agua que queda en el recipiente, el tiempo se puede medir con una graduación uniforme. Este es un ejemplo de clepsidra de salida. Dado que la tasa de salida de agua es mayor cuando el nivel del agua es más alto (debido a más presión), el volumen del fluido debe ser más que un simple cilindro cuando el nivel del agua es alto. Es decir, el radio debería ser mayor cuando el nivel del agua es más alto. Dejar que el radio aumenta con la altura del nivel de agua por encima del orificio de salida de la zona de Es decir, . Queremos encontrar el radio tal que el nivel del agua tenga una tasa constante de disminución, es decir . ${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle a.}$${\ Displaystyle r = f (h)}$${\ Displaystyle dh / dt = c}$

A un nivel de agua dado , el área de la superficie del agua es . La tasa instantánea de cambio en el volumen de agua es ${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle A = \ pi r ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ frac {dV} {dt}} = A {\ frac {dh} {dt}} = \ pi r ^ {2} c.}$

De la ley de Torricelli, la tasa de salida es

${\ Displaystyle {\ frac {dV} {dt}} = av = a {\ sqrt {2gh}},}$

De estas dos ecuaciones,

${\ displaystyle {\ begin {alineado} a {\ sqrt {2gh}} & = \ pi r ^ {2} c \\\ Rightarrow \ quad h & = {\ frac {\ pi ^ {2} c ^ {2} } {2ga ^ {2}}} r ^ {4}. \ End {alineado}}}$

Por lo tanto, el radio del recipiente debe cambiar en proporción a la raíz cuártica de su altura, ${\ Displaystyle r \ propto {\ sqrt [{4}] {h}}.}$

Es hora de vaciar un recipiente cilíndrico

Suponiendo que un recipiente es cilíndrico con un área de sección transversal fija , con un orificio de área en la parte inferior, entonces la tasa de cambio de la altura del nivel del agua no es constante. De las relaciones anteriores, tenemos ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle a}$${\ displaystyle dh / dt}$

${\ Displaystyle A {\ frac {dh} {dt}} = a {\ sqrt {2gh}} \ quad \ Rightarrow \ quad A {\ frac {dh} {\ sqrt {h}}} = a {\ sqrt { 2g}} \; dt}$

Integrando ambos lados y reordenando, obtenemos

${\ Displaystyle T = {\ frac {A} {a}} {\ sqrt {\ frac {2h} {g}}},}$

donde es la altura inicial del nivel del agua y es el tiempo total necesario para drenar toda el agua y, por tanto, vaciar el recipiente. ${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle T}$

Esta fórmula tiene varias implicaciones. Si un tanque con volumen con sección transversal y altura , de modo que está completamente lleno, entonces el tiempo para drenar toda el agua es ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle V = AH}$

${\ Displaystyle T = {\ frac {V} {a}} {\ sqrt {\ frac {2} {gH}}}.}$

Esto implica que los tanques altos con el mismo volumen de llenado se drenan más rápido que los más anchos.

Del mismo modo, si la forma del recipiente de la clepsidra de salida no se puede modificar de acuerdo con la especificación anterior, entonces necesitamos usar una graduación no uniforme para medir el tiempo. La fórmula anterior nos dice que el tiempo debe calibrarse como la raíz cuadrada de la altura del agua descargada, más precisamente, ${\ Displaystyle T \ propto {\ sqrt {h}}.}$

${\ Displaystyle \ Delta t = {\ frac {A} {a}} {\ sqrt {\ frac {2} {g}}} ({\ sqrt {h_ {1}}} - {\ sqrt {h_ {2 }}})}$

donde es el tiempo que tarda el nivel del agua en caer desde la altura de hasta la altura de . ${\ Displaystyle \ Delta t}$${\ Displaystyle h_ {1}}$${\ Displaystyle h_ {2}}$

Por último, podemos reorganizar la ecuación anterior para determinar la altura del nivel del agua en función del tiempo como ${\ Displaystyle h (t)}$${\ Displaystyle t}$

${\ Displaystyle h (t) = H \ left (1 - {\ frac {t} {T}} \ right) ^ {2},}$

donde es la altura del contenedor mientras que es el tiempo de descarga como se indica arriba. ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle T}$

Ver también

• Ley de darcy
• Presión dinámica
• Estática de fluidos
• Ecuación de Hagen-Poiseuille
• Teoremas de Helmholtz
• Ecuaciones de Kirchhoff
• Ecuación de Knudsen
• Ecuación de manning
• Ecuación de pendiente suave
• Ecuación de Morison
• Ecuaciones de Navier-Stokes
• Oseen flujo
• Ley de pascal
• Ley de Poiseuille
• Flujo potencial
• Presión
• Presión estática
• Cabeza de presión
• Ecuaciones relativistas de Euler
• Descomposición de Reynolds
• Flujo de Stokes
• Función de flujo de Stokes
• Función de corriente
• Líneas de aerodinámica, líneas de trazos y líneas de ruta

Referencias

Otras lecturas

• TE Faber (1995). Dinámica de fluidos para físicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-42969-6.
• Stanley Middleman, Introducción a la dinámica de fluidos: principios de análisis y diseño ( John Wiley & Sons , 1997) ISBN  978-0-471-18209-2
• Dennis G. Zill (14 de mayo de 2008). Un primer curso de ecuaciones diferenciales . Aprendizaje Cengage. ISBN 978-0-495-10824-5.