Muchas propiedades de un número natural n pueden verse o calcularse directamente a partir de la factorización prima de n .
La multiplicidad de un factor primo p de n es el mayor exponente m para el cual p m divide n . Las tablas muestran la multiplicidad de cada factor primo. Si no se escribe ningún exponente, la multiplicidad es 1 (ya que p = p 1 ). La multiplicidad de un primo que no divide n puede llamarse 0 o puede considerarse indefinida.
Ω ( n ), la gran función Omega , es el número de factores primos de n contados con multiplicidad (por lo que es la suma de todas las multiplicidades de factores primos).
Un número compuesto tiene Ω ( n )> 1. El primero: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21 (secuencia A002808 en la OEIS ). Todos los números por encima de 1 son primos o compuestos. 1 no es ninguno.
Un semiprimo tiene Ω ( n ) = 2 (por lo que es compuesto). El primero: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34 (secuencia A001358 en la OEIS ).
Un k - casi primo (para un número natural k ) tiene Ω ( n ) = k (por lo que es compuesto si k > 1).
Un número par tiene el factor primo 2. El primero: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 (secuencia A005843 en la OEIS ).
Un número impar no tiene el factor primo 2. El primero: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 (secuencia A005408 en la OEIS ). Todos los números enteros son pares o impares.
Un cuadrado tiene multiplicidad par para todos los factores primos (tiene la forma a 2 para algunos a ). El primero: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 (secuencia A000290 en la OEIS ).
Un cubo tiene todas las multiplicidades divisibles por 3 (tiene la forma a 3 para algunas a ). El primero: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728 (secuencia A000578 en la OEIS ).
Una potencia perfecta tiene un divisor común m > 1 para todas las multiplicidades (tiene la forma a m para algunas a > 1 y m > 1). El primero: 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100 (secuencia A001597 en la OEIS ). A veces se incluye 1.
Un número poderoso (también llamado cuadrado ) tiene una multiplicidad superior a 1 para todos los factores primos. El primero: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72 (secuencia A001694 en la OEIS ).
Una potencia prima tiene solo un factor primo. El primero: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19 (secuencia A000961 en la OEIS ). A veces se incluye 1.
Un número de Aquiles es poderoso pero no un poder perfecto. El primero: 72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968 (secuencia A052486 en la OEIS ).
Un número entero libre de cuadrados no tiene factor primo con multiplicidad por encima de 1. El primero: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17 (secuencia A005117 en la OEIS )). Un número en el que algunos factores primos, pero no todos, tienen una multiplicidad superior a 1 no es cuadrado ni libre de cuadrados.
La función de Liouville λ ( n ) es 1 si Ω ( n ) es par, y es -1 si Ω ( n ) es impar.
La función de Möbius μ ( n ) es 0 si n no está libre de cuadrados. De lo contrario, μ ( n ) es 1 si Ω ( n ) es par, y es -1 si Ω ( n ) es impar.
Un número esfénico tiene Ω ( n ) = 3 y no tiene cuadrados (por lo que es el producto de 3 primos distintos). El primero: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154 (secuencia A007304 en la OEIS ).
a 0 ( n ) es la suma de los números primos que dividen n , contados con multiplicidad. Es una función aditiva .
Un par Ruth-Aaron son dos números consecutivos ( x , x +1) con un 0 ( x ) = un 0 ( x +1). El primero (por valor de x ): 5, 8, 15, 77, 125, 714, 948, 1330, 1520, 1862, 2491, 3248 (secuencia A039752 en la OEIS ), otra definición es el mismo número primo solo cuenta una vez, si entonces, el primero (por valor x ): 5, 24, 49, 77, 104, 153, 369, 492, 714, 1682, 2107, 2299 (secuencia A006145 en el OEIS )
Un primorial x # es el producto de todos los números primos de 2 ax . Los primeros: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810 (secuencia A002110 en la OEIS ). A veces se incluye 1 # = 1.
¡Un factorial x ! es el producto de todos los números del 1 al x . El primero: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600 (secuencia A000142 en la OEIS ). 0! = 1 a veces se incluye.
Un número k - suave (para un número natural k ) tiene el factor primo más grande ≤ k (por lo que también es j - suave para cualquier j > k).
m es más suave que n si el factor primo más grande de m está por debajo del mayor de n .
Un número regular no tiene un factor primo por encima de 5 (por lo que es 5-suave). El primero: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16 (secuencia A051037 en la OEIS ).
Un número k - powersmooth tiene todo p m ≤ k donde p es un factor primo con multiplicidad m .
Un número frugal tiene más dígitos que el número de dígitos en su factorización prima (cuando se escribe como las siguientes tablas con multiplicidades por encima de 1 como exponentes). El primero en decimal : 125, 128, 243, 256, 343, 512, 625, 729, 1024, 1029, 1215, 1250 (secuencia A046759 en la OEIS ).
Un número equidigital tiene el mismo número de dígitos que su factorización prima. El primero en decimal: 1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17 (secuencia A046758 en la OEIS ).
Un número extravagante tiene menos dígitos que su factorización prima. El primero en decimal: 4, 6, 8, 9, 12, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 (secuencia A046760 en la OEIS ).
Un número económico se ha definido como un número frugal, pero también como un número que es frugal o equidigital.
gcd ( m , n ) ( máximo común divisor de m y n ) es el producto de todos los factores primos que son tanto en m y n (con la multiplicidad más pequeño para m y n ).
m y n son primos entre sí (también llamado relativamente primo) si gcd ( m , n ) = 1 (lo que significa que no tienen ningún factor primo común).
lcm ( m , n ) ( mínimo común múltiplo de m y n ) es el producto de todos los factores primos de m o n (con la mayor multiplicidad de m o n ).
gcd ( m , n ) × lcm ( m , n ) = m x n . Encontrar los factores primos es a menudo más difícil que calcular gcd y lcm utilizando otros algoritmos que no requieren factorización prima conocida.
m es un divisor de n (también llamado m divide n , on es divisible por m ) si todos los factores primos de m tienen al menos la misma multiplicidad en n .
Los divisores de n son todos productos de algunos o todos los factores primos de n (incluido el producto vacío 1 sin factores primos). El número de divisores se puede calcular aumentando todas las multiplicidades por 1 y luego multiplicándolas. Los divisores y las propiedades relacionadas con los divisores se muestran en la tabla de divisores .