Función de Moebius - Möbius function

La función de Möbius μ ( n ) es una función multiplicativa importante en la teoría de números introducida por el matemático alemán August Ferdinand Möbius (también transcrito Moebius ) en 1832. Es omnipresente en la teoría de números elemental y analítica y con mayor frecuencia aparece como parte de su homónimo el Fórmula de inversión de Möbius . Tras el trabajo de Gian-Carlo Rota en la década de 1960, las generalizaciones de la función de Möbius se introdujeron en la combinatoria y se denominan de manera similar μ ( x ) .

Definición

Para cualquier entero positivo n , defina μ ( n ) como la suma de las raíces primitivas n -ésimas de la unidad . Tiene valores en {-1, 0, 1} dependiendo de la factorización de n en factores primos :

• μ ( n ) = -1 si n es unnúmero entero positivo libre de cuadrados con unnúmero par de factores primos.
• μ ( n ) = −1 si n es un número entero positivo sin cuadrados con un número impar de factores primos.
• μ ( n ) = -0 si n tiene un factor primo al cuadrado.

La función de Möbius se puede representar alternativamente como

${\ Displaystyle \ mu (n) = \ delta _ {\ omega (n)} ^ {\ Omega (n)} \ lambda (n)}$

donde δ es el delta de Kronecker , λ ( n ) es la función de Liouville , ω ( n ) es el número de divisores primos distintos de n , y Ω ( n ) es el número de factores primos de n , contados con multiplicidad.

Los valores de μ ( n ) para los primeros 30 números positivos (secuencia A008683 en la OEIS ) son

Los primeros 50 valores de la función se representan a continuación:

Aplicaciones

Serie matemática

La serie de Dirichlet que genera la función de Möbius es la inversa (multiplicativa) de la función zeta de Riemann ; si s es un número complejo con una parte real mayor que 1 tenemos

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {1} {\ zeta (s)}}. }$

Esto se puede ver en su producto Euler.

${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ zeta (s)}} = \ prod _ {p {\ text {prime}}} {\ left (1 - {\ frac {1} {p ^ {s}} } \ right)} = \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {5 ^ {s}}} \ right) \ cdots}$

También:

${\ Displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {| \ mu (n) |} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s)} { \ zeta (2s)}}}$

La serie de Lambert para la función de Möbius es:

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = q,}$

que converge para | q | <1 . Para prima α ≥ 2 , también tenemos

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (\ alpha n) q ^ {n}} {q ^ {n} -1}} = \ sum _ {n \ geq 0} q ^ {\ alpha ^ {n}}, | q | <1.}$

Teoría algebraica de números

Gauss demostró que para un número primo p la suma de sus raíces primitivas es congruente con μ ( p - 1) (mod p ) .

Si F _q denota el campo finito de orden q (donde q es necesariamente una potencia prima), entonces el número N de polinomios mónicos irreducibles de grado n sobre F _q viene dado por:

${\ Displaystyle N (q, n) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {d \ mid n} \ mu (d) q ^ {\ frac {n} {d}}.}$

Propiedades

La función de Möbius es multiplicativo (es decir, μ ( ab ) = μ ( un ) μ ( b ) ) cada vez que un y b son primos entre sí .

La suma de la función de Möbius sobre todos los divisores positivos de n (incluido el propio n y 1) es cero, excepto cuando n = 1 :

${\ Displaystyle \ sum _ {d \ mid n} \ mu (d) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} n = 1, \\ 0 & {\ text {if}} n> 1. \ end {cases}}}$

La igualdad anterior conduce a la importante fórmula de inversión de Möbius y es la razón principal por la que μ es de relevancia en la teoría de las funciones multiplicativas y aritméticas.

Otras aplicaciones de μ ( n ) en combinatoria están relacionadas con el uso del teorema de enumeración de Pólya en grupos combinatorios y enumeraciones combinatorias.

Existe una fórmula para calcular la función de Möbius sin conocer directamente la factorización de su argumento:

${\ Displaystyle \ mu (n) = \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, \, n) = 1}} e ^ {2 \ pi i {\ frac {k }{norte}}},}$

es decir, μ ( n ) es la suma de las n - ésimas raíces primitivas de la unidad . (Sin embargo, la complejidad computacional de esta definición es al menos la misma que la de la definición del producto de Euler).

Prueba de la fórmula para Σ _{d | n} μ ( d )

Utilizando

${\ Displaystyle \ mu (n) = \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, \, n) = 1}} e ^ {2 \ pi i {\ frac {k }{norte}}},}$

la formula

${\ Displaystyle \ sum _ {d \ mid n} \ mu (d) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} n = 1, \\ 0 & {\ text {if}} n> 1 \ finalizar {casos}}}$

puede verse como una consecuencia del hecho de que las raíces n -ésimas de la unidad suman 0, ya que cada raíz n -ésima de la unidad es una raíz d- ésima primitiva de la unidad para exactamente un divisor d de n .

Sin embargo, también es posible probar esta identidad desde los primeros principios. En primer lugar, tenga en cuenta que es trivialmente cierto cuando n = 1 . Supongamos entonces que n > 1 . Entonces hay una biyección entre los factores d de n para los cuales μ ( d ) ≠ 0 y los subconjuntos del conjunto de todos los factores primos de n . El resultado afirmado se deriva del hecho de que todo conjunto finito no vacío tiene un número igual de subconjuntos de cardinalidad pares e impares.

Este último hecho puede demostrarse fácilmente por inducción sobre la cardinalidad | S | de un conjunto finito no vacío S . Primero, si | S | = 1 , hay exactamente un subconjunto de cardinalidad impar de S , a saber, S mismo, y exactamente un subconjunto de cardinalidad par, a saber ∅ . A continuación, si | S | > 1 , y luego dividir los subconjuntos de S en dos subclases dependiendo de si contienen o no algún elemento fijo x en S . Hay una biyección obvia entre estas dos subclases, emparejando aquellos subconjuntos que tienen el mismo complemento relativo al subconjunto { x } . Además, una de estas dos subclases consta de todos los subconjuntos del conjunto S \ { x } y, por lo tanto, según la hipótesis de inducción, tiene un número igual de subconjuntos de cardinalidad pares e impares. Estos subconjuntos, a su vez, corresponden biyectivamente a los subconjuntos de S que contienen cardinalidad par e impar { x } . El paso inductivo se deriva directamente de estas dos biyecciones.

Un resultado relacionado es que los coeficientes binomiales exhiben entradas alternas de potencia pares e impares que suman simétricamente.

Función de Mertens

En teoría de números, otra función aritmética estrechamente relacionada con la función de Möbius es la función de Mertens , definida por

${\ Displaystyle M (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mu (k)}$

para cada número natural n . Esta función está estrechamente relacionada con las posiciones de los ceros de la función zeta de Riemann . Consulte el artículo sobre la conjetura de Mertens para obtener más información sobre la conexión entre M ( n ) y la hipótesis de Riemann .

De la fórmula

${\ Displaystyle \ mu (n) = \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} e ^ {2 \ pi i {\ frac {k} { norte}}},}$

se deduce que la función de Mertens viene dada por:

${\ Displaystyle M (n) = - 1+ \ sum _ {a \ in {\ mathcal {F}} _ {n}} e ^ {2 \ pi ia},}$

donde F _n es la secuencia de Farey de orden n .

Esta fórmula se utiliza en la demostración del teorema de Franel-Landau .

Orden promedio

El valor medio (en el sentido de órdenes promedio) de la función de Möbius es cero. Esta afirmación es, de hecho, equivalente al teorema del número primo .

μ ( n ) secciones

μ ( n ) = 0 si y solo si n es divisible por el cuadrado de un primo. Los primeros números con esta propiedad son

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, .. . (secuencia A013929 en la OEIS ).

Si n es primo, entonces μ ( n ) = −1 , pero lo contrario no es cierto. El primer n no primo para el cual μ ( n ) = −1 es 30 = 2 × 3 × 5 . Los primeros números con tres factores primos distintos ( números esfénicos ) son

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... (secuencia A007304 en la OEIS ) .

y los primeros números con 5 factores primos distintos son

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ... ( secuencia A046387 en la OEIS ).

Generalizaciones

Álgebras de incidencia

En combinatoria , a cada conjunto parcialmente ordenado localmente finito (poset) se le asigna un álgebra de incidencia . Un miembro distinguido de este álgebra es la "función de Möbius" de poset. La función de Möbius clásica tratada en este artículo es esencialmente igual a la función de Möbius del conjunto de todos los enteros positivos parcialmente ordenados por divisibilidad . Consulte el artículo sobre álgebras de incidencia para obtener una definición precisa y varios ejemplos de estas funciones generales de Möbius.

La función de Popovici

Constantin Popovici definió una función de Möbius generalizada μ _k = μ ∗ ... ∗ μ como la convolución de Dirichlet k- veces de la función de Möbius consigo misma. Por tanto, es de nuevo una función multiplicativa con

${\ Displaystyle \ mu _ {k} \ left (p ^ {a} \ right) = (- 1) ^ {a} {\ binom {k} {a}} \}$

donde el coeficiente binomial se toma como cero si a > k . La definición puede extenderse al complejo k leyendo el binomio como un polinomio en k .

Física

La función de Möbius también surge en el modelo de supersimetría de gas primon o gas libre de Riemann . En esta teoría, las partículas fundamentales o "primones" tienen energías log p . En la segunda cuantificación , se consideran las excitaciones de múltiples partículas; estos están dados por log n para cualquier número natural n . Esto se deriva del hecho de que la factorización de los números naturales en números primos es única.

En el gas de Riemann libre, puede ocurrir cualquier número natural, si los primones se toman como bosones . Si se toman como fermiones , el principio de exclusión de Pauli excluye los cuadrados. El operador (-1) ^F que distingue fermiones y bosones no es otro que la función de Möbius μ ( n ) .

El gas de Riemann libre tiene otras conexiones interesantes con la teoría de números, incluido el hecho de que la función de partición es la función zeta de Riemann . Esta idea es la base del intento de prueba de Alain Connes de la hipótesis de Riemann .

Ver también

Notas

Citas

Fuentes

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función de Möbius" . MathWorld .