Hiperplano de apoyo - Supporting hyperplane

Un conjunto convexo (en rosa), un hiperplano de apoyo de (la línea discontinua) y el medio espacio de apoyo delimitado por el hiperplano que contiene (en azul claro).${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$

En geometría , un hiperplano de apoyo de un conjunto en el espacio euclidiano es un hiperplano que tiene las dos propiedades siguientes: ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

• ${\ Displaystyle S}$está contenido completamente en uno de los dos cerrados semiespacios delimitadas por el hiperplano,
• ${\ Displaystyle S}$ tiene al menos un punto límite en el hiperplano.

Aquí, un medio espacio cerrado es el medio espacio que incluye los puntos dentro del hiperplano.

Apoyando el teorema del hiperplano

Un conjunto convexo puede tener más de un hiperplano de soporte en un punto dado de su límite.

Este teorema establece que si es un conjunto convexo en el espacio vectorial topológico y es un punto en el límite de entonces existe un hiperplano de apoyo que contiene If ( es el espacio dual de , es un funcional lineal distinto de cero) tal que para todos , entonces ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle S,}$${\ Displaystyle x_ {0}.}$${\ Displaystyle x ^ {*} \ en X ^ {*} \ barra invertida \ {0 \}}$${\ Displaystyle X ^ {*}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x ^ {*}}$${\ Displaystyle x ^ {*} \ left (x_ {0} \ right) \ geq x ^ {*} (x)}$${\ Displaystyle x \ in S}$

${\ Displaystyle H = \ {x \ in X: x ^ {*} (x) = x ^ {*} \ left (x_ {0} \ right) \}}$

define un hiperplano de apoyo.

Por el contrario, si es un conjunto cerrado con un interior no vacío tal que cada punto en el límite tiene un hiperplano de apoyo, entonces es un conjunto convexo. ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$

El hiperplano del teorema puede no ser único, como se observa en la segunda imagen de la derecha. Si el conjunto cerrado no es convexo, el enunciado del teorema no es verdadero en todos los puntos del límite de como se ilustra en la tercera imagen de la derecha. ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S,}$

Los hiperplanos de apoyo de los conjuntos convexos también se denominan planos tac o hiperplanos tac .

Un resultado relacionado es el teorema del hiperplano separador , según el cual cada dos conjuntos convexos disjuntos pueden estar separados por un hiperplano.

Ver también

Un hiperplano de soporte que contiene un punto dado en el límite de puede no existir si no es convexo.${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$

• Función de apoyo
• Línea de apoyo (apoyo a los hiperplanos en )${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Notas

Referencias y lectura adicional

• Ostaszewski, Adam (1990). Métodos matemáticos avanzados . Cambridge; Nueva York: Cambridge University Press. pags. 129 . ISBN 0-521-28964-5.

• Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1996). Cálculo de variaciones . Berlina; Nueva York: Springer. pags. 57. ISBN 3-540-50625-X.

• Goh, CJ; Yang, XQ (2002). Dualidad en optimización y desigualdades variacionales . Londres; Nueva York: Taylor & Francis. pags. 13. ISBN 0-415-27479-6.